--II семестр-- / Лекции1 / Лекция 2

Лекция 2.

Действия над множествами.

Отображение множеств Г – если заданы два непустых множества Х,У, то закон, согласно которому хХ ставится в соответствии элемент Г_хУ называется однозначным отображением Х в У или функцией, определенной на Х и принимающей значение У.

Для многократного отображения множества Х:

М ощность: /x/ = n, x={x₁,x₂,…,x_n}

Дополнением множества Х по отношению к множеству У, называется множество Х, состоящее из элементов множества У, не принадлежащих множеству Х.

Разность множеств – это новое множество R, которое образуется из элементов множества Х, за исключением элементов, принадлежащих одновременно множеству У.

Граф, у которого существует хотя бы одна пара вершин, соединенная m ребрами называется мультиграфом, при этом m (дуги) ребра, связывающие одну и туже пару вершин, считаются кратными.

Две вершины x_i, x_j Х считаются смежными, если они определяют ребро и соответственно два различных ребра смежны, если они имеют общую вершину.

Число ребер (дуг), инцидентны некоторой вершине xi называются степенью вершины и обозначаются g(x_i). Вершина x_i инцидентна ребру, если она является началом или концом ребра. Ребро (дуга) инцидентна вершине x_i, если оно входит или выходит из этой вершины.

х₁ х₂ х₃ g(x₁) = g(x₂) = 3

g(x₄) = 2

х₄ g(x₃) = g(x₅) = 1

х₅

Действия над графами:

1. Объединения графов G(x,Г) = G₁(x₁,Г₁) U G₂(x₂,Г₂)

объединение осуществляется по правилу:

• вершинами графа являются объединение вершин исходного графа

• отображение для каждой вершины графа получено путем объединения отображений этой вершины для исходных графов.

2. Пересечение графов: G (x, Г) = G₁ (x₁, Г₁) ∩ G₂ (x₂, Г₂)

3. Вычитание графов: G (x, Г) = G₁ (x₁, Г₁) \ G₂ (x₂, Г₂)

Под математическим программированием понимается совокупность метода решения задач оптимизации, связанных с нахождением полученного (с точки зрения выбранных критериев) значения некоторой целевой функции

F(x), x={x₁,x₂,…,x_n}

• многих переменных, на заданном множестве точек L(x), а также плана

x*={x₁*,x₂*,…,x_n*}, х*L(x),

при которых достигается соответствующее оптимальное значение F(x*), выраженное через параметры оптимизации целевой функции и ограничения, составляют математическую модель рассматриваемой задачи.

В качестве критерия оптимизации (целевой функции) используют стоимость, массу, габариты, вероятность безотказной работы. При использовании нескольких критериев оптимизации (многокритериальные задачи) поиск оптимального решения предполагает определение таких значений переменных

x*={x₁*,x₂*,…,x_n*}, х*(x),

которые обеспечивают оптимумы по одной из цели и допустимые уровни качества, с точки зрения использования других целевых функций.

Наибольшее распространение получили критерии, позволяющие использовать понятия минимума и максимума целевой функции. Задача сводится к нахождению набора значений переменных

x*={x₁*,x₂*,…,x_n*},

удовлетворяющего ограничениям, при которых достигается минимум и максимум.

F (x*) = min (max) F(x)

Покрытие функциональных схем модулями из заданного набора.

Одной из первых задач, решаемых на этапе конструкторского проектирования РЭА (радио электронной аппаратуры) является задача преобразования функциональной схемы в электрическую (покрытие функциональной схемой модуля из заданного набора). В связи с большим многообразием элементов, наряду с задачей покрытий часто возникает необходимость определения оптимального набора этих элементов для каждого конкретного класса схем, минимизация числа типов элементов набора в проектируемом устройстве.

Математическая формулировка.

Исходными данными для решения задачи покрытия является функциональные схемы устройства и схемы типовых конструктивных элементов используемого модулей набора элементов.

Необходимо найти такое расположение логических функций покрываемой схемы по отдельным конструктивным элементам, при котором достигается экстремум целевой функции. Известные алгоритмы покрытия оптимизируют в основном следующие показатели качества:

1. суммарную стоимость модулей, покрывающих схему;

2. общее число модулей, необходимое для реализации схемы;

3. число межмодульных соединений и т.д.

Ограничениями обычно являются требования на совместную или раздельную компоновку в едином конструктивном модуле элементов функциональной схемы, связанной с обеспечением нормального теплового режима, помехозащищенности и простоты диагностики.

Рассмотрим наиболее распространенный вариант задачи, в которой критерием качества является суммарная стоимость модулей. Определим некоторую матрицу:

,

общий элемент которой соответствует числу логических функций

i-го типа в j-ом модуле, где

к – число различных логических функций, реализуемых модулями заданного набора,

l – число типов модулей в наборе.

Пусть полная функциональная схема содержит а₁, а₂,…, a_n единиц различных логических функций. С_j – стоимость j-го конструктивного модуля (j=1,2,…,l). Если ввести целочисленные переменные x_j, определяющие число модулей j-го типа, которые необходимы для покрытия схемы, то задача сведется к минимизации функции

,

при ограничениях

, i=1,2,…,k.

Число логических функций любого i-го типа, входящих во все покрывающие модули должно быть не меньше общего числа элементов соответствующего типа в реализуемой схеме:

где - целое число для всех j (любой модуль используется только полностью, независимо от числа задействованных в нем компонентов). В некоторых математических моделях для улучшения качества решения задачи в выражении целевой функции вводят дополнительные критерии, позволяющие минимизировать число модулей, реализующих исходную схему, число межмодульных связей и т.д. Например, для уменьшения общего числа модулей покрытия, а, следовательно, и числа внешних связей используется дополнительный показатель качества

где v - общее число логических элементов в схеме. В этом случае задача запишется следующим образом:

минимизировать целевую функцию,

при указанных ранее ограничениях. Здесь k₁ и k₂ – коэффициенты, учитывающие важность используемых критериев, подбираемые из условий конкретной задачи.

6