Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1304 вуза, 5157 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Волгоградский государственный университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

матан

.pdf
Скачиваний:
41
Добавлен:
27.05.2015
Размер:
3.81 Mб
Скачать
☆

§3. Иллюстрирующие примеры. Несобственные интегралы

731

2. Найти область сходимости ряда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n2

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

а)

 

∞

 

(4+(−1)n)n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

√

 

 

 

 

 

 

 

n

1

 

 

 

 

 

n=1

 

√

 

 

 

(x + 2) ;

 

б)

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

2 sin x

 

 

n;

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

г)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

1)− ;

 

 

 

 

n=1

 

 

 

2 cos x

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n

n∞=1

 

n

 

n2

n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n∞=1(

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д)

 

x+1

)n;n2е)

 

 

n+1

 

 

 

 

(x − 1)n;n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n2

 

 

 

 

 

 

 

n∞=1 n−1

 

(x − 1)n;

ж)

 

n∞=1 n+1

(x + 1)n; з)

 

 

 

 

 

и)

 

n∞=1

 

 

 

 

 

(x)n;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n+1

 

 

 

 

 

 

n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)n; л)

1

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

)n;

 

 

 

x+1

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x+1

к)

n∞=1(

 

n∞=1

n−1

 

 

 

 

(x−1)−n ; м)

 

 

n∞=1(

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n2

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

н)

 

∞

 

 

√2 cos x

 

;

о)

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

;

п)

 

∞

 

(

 

 

)n;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x+1

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

z+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x − 1)−n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р) n∞=1 n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§3. Иллюстрирующие примеры. Несобственные интегралы

1. Вычислить интегралы

1

 

 

 

 

∞

 

2

 

 

а) 0

lnxdx; б) 0

xe−x

dx;

 

 

dx

 

 

dx

 

+∞

 

 

2

 

г)

 

x2

−

2x+4

; д)

1

√

lnx

;

−∞

 

 

 

x

 

+∞

 

 

 

 

 

 

 

ж)

0

x2e−x dx.

 

 

 

 

в) 1 1+xdx;

√

x

0

е) ∞ dx ;

e xln2x

2. Исследовать следующие интегралы на сходимость.

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

1

 

+∞

2

 

 

 

1

 

 

3

 

 

 

x4e−x

dx

 

 

 

 

 

 

 

а)

√x; б)

−∞

 

 

 

 

 

 

; в)

0

1−√x;

0

 

 

 

+∞

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

∞ xdx

 

 

dx

 

 

 

dx

г) 1

 

;

д)

2

√

 

−1

;

е) 0

 

 

;

(x+1)3

ln2x

x

732

Глава 27. Примеры и контрпримеры в теории рядов и интегралов

1

 

 

 

∞ x2 sin xdx

; з)

ж)

(x+1)3

 

1

 

 

 

 

к) 0

√3

dx

; л)

 

x(1−x)

+

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

dx

 

∞ dx

0

 

1−√x

; и)

2

 

ln

x

;

0

 

3

 

 

 

 

2

 

 

 

e√−x dx; м)

0

1−√x.

 

∞

 

x

 

 

 

 

lnxdx

Ряды Фурье

1.Записать ряд Фурье для следующих функций а) y = sin2 x на [0, 2π]; б) y = cos3 x на [−π; π]; в) y = x на [−π, π]; г) y = sign(x − 1) на [0; 2]; д) y = ex на [0; 2π]; е) y = sin x2 на [−π; π].

§4. Иллюстрирующие примеры. Интегралы, зависящие от параметра

1. Вычислить произодную интеграла по параметру.

1

3t

sin(x−t)

 

sin t

а) e−(x−t)2 dx; б)

 

dx; в)

f(x)dx.

0

t

x−t

1−t

 

 

 

 

 

2. При каких значениях p справедливо равенство

 

0

1

tdx

 

 

lim

 

= 0 ?

 

xp + t

t→+0

 

 

3. Найти значения параметра t, при которых интеграл

1

sin txdx x

−1

непрерывен по параметру t.

§5. Важнейшие контрпримеры

733

Несобственные интегралы, зависящие от параметра

1. Найти область сходимости несобственного интеграла

 

+

 

 

 

 

 

0 1

 

 

 

 

1 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

+∞ xmdx

 

1 xmdx

 

 

 

+∞

 

 

dx

 

 

 

 

 

1

 

 

xp+x

; б)

 

x+xq ; в)

 

 

xp+xq

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

sin xdx

 

 

∞ xmdx

 

 

г)

11 xpeqx; д)

0

√

 

 

; е)

11

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

xp+xq

 

 

x+xq

 

 

 

 

1

 

 

xmdx

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

ж)

0

 

 

xp+xq

; з)

1

sin x

 

;

и)

0

sin x

 

dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к) 0

 

 

 

 

 

 

л) 0

cos xαdx; м) 0

dx

xβ sin xαdx;

 

;

xα(1−x2)β

 

∞ x2+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

н) 1

 

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xα+xβ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§5. Важнейшие контрпримеры

В данном параграфе рассмотрим некоторые полезные примеры.

ПРИМЕР 1. Расходящийся ряд, общий член которого стремится к нулю:

 

 

∞ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

n

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИМЕР 2. Сходящийся ряд

∞

 

 

и расходящийся

=1

an

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bn такие что an ≥ bn:

1

 

 

 

 

ряд

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an = 0, bn = −

 

.

 

 

 

 

n

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

n

 

 

 

ПРИМЕР 3. Сходящийся ряд

∞

 

 

и расходящийся

=1

an

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ряд

bn такие что выполнено |an| ≥ |bn|:

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

an =

(−1)n+1

,

bn =

1

.

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

734

Глава 27. Примеры и контрпримеры в теории рядов и интегралов

ПРИМЕР 4 (Контрпримеры на условия теоремы Лейбница). Напомним условия выполнения признака Лейб-

∞

ница: ряд cn сходится, если

n=1

(a) |c1| ≥ |c2| ≥ . . .

(b) c2n−1 ≥ 0, c2n ≤ 0

(c) lim cn = 0.

n→∞

(a)Следующий пример показывает существенность усло-

вия монотонности. Пусть cn = n1 , если n –нечётное, cn = −n12 , если чётное

 

 

1

1

1

 

 

 

1 −

 

 

+

 

−

 

+ . . . .

 

22

3

42

По критерию Коши

 

 

 

 

 

 

 

(2n+1)+(2p−1) ck =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=2n+1

 

 

 

 

 

2n + 1 +

2n + 3 + . . . + 2n + (2p

 

 

1) −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

ε

1

 

 

 

(2n + 2)2

 

+ . . . + (2n + 2p + 2)2

 

>

 

 

 

 

 

 

 

2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

> ε1, т.к.

ряд расходится (мы приняли первую скобку

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε1

 

 

 

 

 

ряд

 

1 –расходится, и вторую скобку <

 

, т.к. ряд

 

 

 

 

 

 

n=1

n

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

–сходится).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1 n

(b)Для cn = n1 выполнены условия (a) и (c). Однако ряд расходится.

(c)Для cn = (−1)n выполнены условия (a) и (b). При этом ряд расходится.

§5. Важнейшие контрпримеры

735

ПРИМЕР 5. Приведем еще один пример, подчеркивающий существенность монотонности в условиях выполнения признака Лейбница. Для ряда

 

(−√n−

+ n

n=1

∞

 

1)n 1

1

отсутствует монотонность, ряд расходится.

∞

ПРИМЕР 6. Пусть an – ряд из предыдущего приме-

b = (−1)n−1

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

∞

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ра, n

 

 

 

√

n

 

, тогда ряд

 

 

n сходится, однако

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

an

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞ bn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

1

 

 

 

 

n + 1

 

ПРИМЕР 7. Рассмотрим ряд n=1

 

 

 

− ln

 

 

 

 

 

. Ра-

n

 

 

n

нее было доказано неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

< ln

n + 1

 

= ln (1 +

 

1

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n + 1

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

− ln

n + 1

1

 

−

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

0 <

 

 

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

=

 

 

<

 

,

n

 

n

n

n + 1

n(n + 1)

n2

т.е. ряд сходится. Обозначим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

1

 

 

 

 

 

 

n + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− ln

 

 

 

 

 

 

 

) = C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1(

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть Hn =

n

1

– частичные суммы гармонического

 

 

 

 

 

 

ряда. Тогда k=1 k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

1

 

 

 

 

 

 

 

k + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

− ln

 

 

 

 

 

 

 

) = Hn

− ln (n + 1) → C

 

 

 

 

 

(

k

 

k

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при n → ∞.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hn = ln n + C + γn,

 

 

 

 

lim γn = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где C = 0.577215 . . . – постоянная Эйлера.

736

Глава 27. Примеры и контрпримеры в теории рядов и интегралов

ПРИМЕР 8. Пусть {an}, {bn} –последовательности положительных чисел, p > 1, p1 + 1q = 1, тогда имеют место неравенства Гёльдера и Минковского

 

n

 

n

 

1

 

 

n

 

1

 

 

 

 

p

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

i

,

 

 

aibi ≤

 

aip

 

biq

 

 

i=1

 

i=1

 

 

 

=1

 

 

 

 

n

 

1

n

 

 

1

 

n

1

 

 

p

 

 

p

 

p

 

 

≤

 

 

 

 

 

i

bip .

(ai + bi)p

aip

 

+

 

 

i=1

 

 

i=1

 

 

 

 

=1

 

Перейдём к пределу при n → ∞:

 

∞

 

 

∞

 

1

 

∞

 

1

 

 

 

 

 

p

 

 

q

 

 

 

 

 

 

aip

i

biq ,

 

 

aibi ≤

 

 

 

 

i=1

 

 

i=1

 

 

 

=1

 

 

 

 

∞

 

1

 

∞

 

 

1

 

∞

1

 

 

p

 

 

 

p

 

p

 

 

≤

 

 

+

i

bip ,

(ai + bi)p

aip

 

 

i=1

 

 

 

i=1

 

 

 

 

=1

 

причём из сходимости рядов в правых частях вытекает сходимость рядов в левых.

ПРИМЕР 9. Приведем пример ряда, для которого не выполняются условия теоремы Лейбница, а ряд сходится:

1 −

1

+

1

−

1

+

1

−

1

+ . . . .

 

 

 

 

 

22

33

42

53

62

Глава 28

Добавление 7. Примерная рабочая программа

по дисциплине "Математический анализ" Факультет Математический

Курс

1

2

Семестры

1

Всего аудиторных занятий, час

144

136

Лекции, час

72

68

Лабораторные занятия, час

72

68

Практические занятия, час

1

1

Экзамен

Зачет

1

1

Рабочая программа составлена на основании учебного плана по специальности "Математика".

Составители рабочей программы:

д.ф.-м.н. доц. A.А. Клячин

д.ф.-м.н. проф. А.Г. Лосев

д.ф.-м.н. проф. В.М. Миклюков

Раздел 1. Цели и задачи учебной дисциплины

1.1. Цели преподавания дисциплины. Математический анализ — важнейший базовый курс, целью которого является закладка фундамента математического образования.

1.2.Задачи изучения дисциплины. 1.2.1. Студент должен знать:

основные понятия (предела последовательности; предела функции; точной верхней и точной нижней граней; непрерывности; равномерной непрерывности; производной и дифференциала; экстремума и локального экстремума функции;

738

Глава 28. Примерная рабочая программа

неопределенного и определенного интегралов; суммы числового и функционального рядов; неявной и параметрически заданной функции), формулировки важнейших теорем (о пределе числовой последовательности; о непрерывных и дифференцируемых функциях одного и нескольких переменных; о неопределенном и определенном интегралах; о числовых и функциональных рядах; об интегралах, зависящих от параметра).

1.2.2. Студент должен уметь:

находить предел числовой последовательности и функции; вычислять производную и интеграл; строить и исследовать графики функций одного и нескольких переменных; исследовать на сходимость (в том числе, равномерную) числовые и функциональные ряды; раскладывать функцию в ряд Тейлора и ряд Фурье; исследовать на сходимость интегралы, зависящие от параметра.

1.3. Взаимосвязь учебных дисциплин. Как базовый курс, математический анализ является основой при обучении студентов специальности "математика". Без знания математического анализа не может быть полноценно усвоена практически ни одна из математических дисциплин учебного плана.

Традиционно согласуются лишь рабочие программы курсов "дифференциальная геометрия" и "дифференциальные уравнения", чтение которых начинается до завершения полного изучения математического анализа. При обучении математическому анализу необходимо до начала чтения "дифференциальной геометрии" и "дифференциальных уравнений" ознакомить студентов с важнейшими понятиями и свойствами функций нескольких переменных (в частности, с теоремой о неявной функции, градиентом и его геометрическим смыслом).

Раздел 2. Содержание учебной дисциплины "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ": ЛЕКЦИИ

Семестр 1

Множества и операции над ними, 10 час., коллоквиум, контрольная работа, зачет, экзамен

1.Вводная лекция. Предмет математического анализа, его место в естествознании.

2.Понятие множества. Отношения между множествами. Операции над множествами.

3.Множество вещественных чисел. Список аксиом: аксиомы сложения, аксиомы умножения, аксиомы порядка, аксиома полноты.

Глава 28. Примерная рабочая программа

739

4.Множества на числовой прямой. Минимальный и максимальный элементы множества. Абсолютная величина и ее свойства. Ограниченные множества и их грани. Теорема о существовании точных граней.

5.Понятие окрестности. Понятие точки сгущения множества. Открытые и замкнутые множества. Расширенная числовая

прямая R. Окрестности бесконечно удаленных точек.

Предел последовательности, 12 час., коллоквиум, контрольная работа, зачет, экзамен

6.Предел числовой последовательности. Понятия последовательности и ее предела. Единственность предела. Ограниченные последовательности. Предельный переход в неравенстве.

7.Устойчивость неравенств при предельных переходах. Принцип "сжатой"

последовательности. Бесконечно малые последовательности и их свойства. Бесконечно большие последовательности. Предел суммы, разности, произведения и частного.

8.Некоторые, часто встречающиеся последовательности. Монотонные последовательности. Существование предела монотонной последовательности. Рекуррентные последовательности.

9.Принцип вложенных отрезков. Вещественное число как последовательность измерений с бесконечно малой погрешностью.

10.Число "e". Натуральные логарифмы. Понятие подпоследовательности. Верхний и нижний пределы последовательности.

11.Теорема Больцано-Вейерштрасса об извлечении сходящейся подпоследовательности. Последовательности Коши. Критерий Коши.

Предел функции, 12 час., коллоквиум, зачет, контрольная работа, экзамен

12.Понятие функции. Однозначные и многозначные функции, способы их задания. Сужение функции. Суперпозиция функций. Обратная функция. Обратные тригонометрические функции. Понятие о гиперболических функциях.

13.Понятие предела функции в точке. 1-й "замечательный" предел. Эквивалентность определений предела функции в точке в смысле Коши и в смысле Гейне.

14.Арифметические операции над функциями, имеющими пределы. Единственность предела функции. Предельный переход и неравенства. Односторонние пределы функции в точке и их связь с двусторонним.

740

Глава 28. Примерная рабочая программа

15.Существование предела монотонной функции. 2-й "замечательный" предел. Критерий Коши существования предела функции в точке.

16.Понятие непрерывности. Непрерывность сложной функции. Классификация точек разрыва. Непрерывность и разрывы монотонной функции. Условия существования обратной функции.

17.Обобщения понятия предела функции в точке. Бесконечно малые и их классификация. Асимптотические формулы. Некоторые пары эквивалентных функций. Выделение главной части бесконечно малой. Классификация функций одного переменного. Замечания о непрерывности элементарных функций.

Производная, 8 час., зачет, экзамен, контрольная работа

18.Производная функции в точке. Производная справа и производная слева. Геометрический и физический смыслы производной функции в точке.

19.Основные правила дифференцирования. Производная обратной функции. Таблица производных. Некоторые искусственные приемы нахождения производной.

20.Производные высшего порядка. Задача о приближении функции многочленом в окрестности точки. Дифференциал и его геометричекий смысл. Основные правила нахождения дифференциала. Дифференциалы высшего порядка.

21.Кривые на плоскости и в пространстве (основные поня-

тия). Касательная и нормаль к кривой. Уравнения касательной и нормали. Параметрическое задание функций. Вычисление производных функций, заданных параметрически.

Свойства непрерывных функций, 6 час., зачет, экзамен

22. Точные грани функции. Максимум и минимум функции. Теорема о существовании максимума и минимума непрерывной функции.

23.Теорема об обращении в нуль непрерывной функции. Метод "вилки" приближенного решения уравнения. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции.

24. Понятие равномерной непрерывности. Условия Липшица и Гельдера. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.

Основные теоремы дифференциального исчисления, 8 час., зачет, экзамен, контрольная работа

25. Понятия локального максимума и локального минимума функции. Необходимое условие локального экстремума

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности