Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Волгоградский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

матан

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.05.2015

Размер:

3.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 7273 / 7573 74 75 > Следующая >>>

Глава 26. Практикум вычисления неопределенных интегралов

721

ПРИМЕР 39. Найти интеграл

dx.

3 sin2 x + 5 cos2 x

+5 cos2 x, то де-

Решение. Так как

sin x)2+5( cos x)2 =

−

3 sin x t2

лаем подстановку tg x

= t, откуда

sin x =

cos

x =

1+t2

dx =

. Значит,

1+t2

dx =

1+t2

3t2

3 sin x + 5 cos2 x

1+t2

d(√

= √

3t2 + 5

√

tg x

= √

· √

· arctg

√

+ C =

√

arctg

√

+ C.

Если подинтегральная функция зависит только от tg x, то замена tg x = t, x = arctg t, dx = 1+dtt2 приводит этот инте-

грал к интегралу от рациональной функции:

R(tg x)dx =	R(t)	dt
			.
		1 + t2

ПРИМЕР 40. Найти интеграл

1 + 2 tg x.


Решение.				= tg x = t, dx =					=
	dx						dt

	1 + 2 tg x						1 + t2
	=			dt	=	dt
			1+t2			dt		.
		1 + 2t				(1 + t2)(1 + 2t)		.

Представим подинтегральную функцию в виде суммы элементарных дробей.

1	=	At + B	+	C	.
2		2
(1 + t )(1 + 2t)		1 + t		1 + 2t

1 = (2A + C)t2 + (A + 2B)t + B + C.

722 Глава 26. Практикум вычисления неопределенных интегралов

+C =

+2B +C = 1

Откуда A = −52 ,

B = 51 ,

C = 54 . Следовательно,

2t + 1

5 t +

−

(1 + t2)(1 + 2t)

1 + t2

1 + 2t

1 + t2

1 + 2t

−2

tdt

(1 + t2)(1 + 2t)

1 + t2

− ln |1 + t2| + arctg t + 2 ln |1 + 2t| +C =

1 + 2t

=15 − ln |1 + tg2 x| + arctg(tg x) + 2 ln |1 + 2 tg x| + C =

=15 ln cos2 x + x + ln |1 + 2 tg x| + C =

= 15 (x + 2 ln | cos x + 2 sin x|) + C.

ПРИМЕР 41. Найти интеграл

cos3 x sin4 x dx.

Решение.

cos3 x

cos

2 x cos x

sin2 x) cos xdx

dx =

(1 −

sin4 x

Обозначим sin x = t,

cos xdx = dt, значит

cos3 x

t2)dt

−

= −

+ C =

sin4 x

3t3

=−3 sin3 x + sin x + C.

ПРИМЕР 42. Найти интеграл

sin2 x · cos4 xdx.

Решение.

sin2 x · cos4 xdx = (sin x cos x)2 cos2 xdx =

(1 + t)(1 + t2)2

sin2 x cos x

Глава 26. Практикум вычисления неопределенных интегралов

723

sin2 2x(1 + cos 2x)dx =

sin2 2xdx +

sin2 2x cos 2xdx =

(1 − cos 4x)dx +

sin2 2x cos 2xdx =

sin 4x

sin3 2x

−

+ C.

ПРИМЕР 43. Найти интеграл

sin5 x cos4 xdx.

Решение. Подинтегральное выражение меняет знак от замены sin x на − sin x. Подстановка t = cos x :

sin5 x		t4	2t2 + 1	2			1
	dx = −		−	dt = −t −		+		+ C =
cos4 x			t4		t		3t3

=− cos x − cos x + 3 cos3 x + C.

ПРИМЕР 44. Найти интеграл

sin4 x cos2 x.

Решение. Подинтегральное выражение не изменяет своего значения при замене sin x на − sin x и cos x на − cos x. Подстановка t = tg x :

dx	=	(1	+ t2)2	2		−	1
				dt = t −				+ C =
sin4 x cos2 x			t4		t		3t3

= tg x − 2 ctg x − 13 ctg3 x + C.

ПРИМЕР 45. Найти интеграл

sin x + cos xdx.

Решение. Так как при изменении знаков у sin x и cos x подинтегральное выражение не терпит изменения, то пригодна подстановка t = tg x :

sin2 x cos x		t2dt
	dx =		=
sin x + cos x

724	Глава 26. Практикум вычисления неопределенных интегралов
=	1	−	t 1	+	t − 1	dt =
	4(t + 1)
			4(t2−+ 1) 2(t2 + 1)2

1 1 + t 1 1 + t

=4 ln √1 + t2 − 4 · 1 + t2 + C =

=14 ln | sin x + cos x| − 14 cos x(sin x + cos x) + C.

ПРИМЕР 46. Найти интеграл

sin 5x · cos 3xdx.

Решение.

[sin 8x + sin 2x]dx =

sin 5x · cos 3xdx =

= −

cos 8x

−

cos 2x + C.

ПРИМЕР 47. Найти интеграл

Решение.

sin 8x · sin 5xdx.

[cos 3x − cos 13x]dx =

sin 8x · sin 5xdx =

sin 3x −

sin 13x + C.

ПРИМЕР 48. Найти интеграл

sinn xdx,

n − целое положительное число.

Решение. Применим метод интегрирования по частям. Пусть

u = sinn−1 x, dv = sin xdx, тогда du = (n − 1) sinn−2 x cos xdx

и v = − cos x. Следовательно,


	sinn xdx = − sinn−1 x cos x +		(n − 1) sinn−2 x cos2 xdx =
	= − sinn−1 x cos x + (n − 1)		sinn−2 x(1 − sin2 x)dx =
= − sinn−1 x cos x + (n − 1)		sinn−2 xdx − (n − 1)		sinn xdx.

Глава 26. Практикум вычисления неопределенных интегралов

725

Перенося последнее слагаемое в левую часть равенства и

деля на n, получим:
sinn xdx =	−	sinn−1 x cos x	+	n − 1	sinn−2 xdx.	(3)
		n		n

Эта формула является рекуррентной формулой, приводящей интегрирование дифференциала sinn xdx к интегрированию дифференциала того же типа, но уже с показателем не n, а n − 2.

Повторным ее применением мы приведем вычисление ин-

теграла sinn xdx к вычислению одного из двух интегралов:

dx или

sin xdx, смотря по тому, представляет ли собой n

четное или нечетное число.

а) Пусть n = 6, тогда по формуле (3) получим:

sin5 x

sin6 xdx = −

cos

sin4 xdx = −

cos

−

sin3 x cos x

sin2 xdx

sin5 x cos x

= −

−

sin3 x cos x −

sin x cos x +

x + C.

б) Пусть n = 3, тогда

sin3 xdx = −sin2 x cos x + 2 sin xdx = 3 3

= −sin2 x cos x − 2 cos x + C. 3 3

ПРИМЕР 49. Найти интеграл

(t2 + m2)k , k − целое число, большее 1

Решение.

(t2 + m2) − t2

dt =

(t2 + m2)k

−

(t2 + m2)k−1

(t2 + m2)k

(4)

(5)

Преобразуем интеграл:
	t2		t t		1		d(t2 + m2)
		dt =	·	dt =		t		=
	(t2 + m2)k		(t2 + m2)k		2		(t2 + m2)k

726	Глава 26. Практикум вычисления неопределенных интегралов

= −		1		td	1		.

	2(k	−	1)		(t2 + m2)k	1
		−			−

Применим метод интегрирования по частям. Пусть u = t,

dv = d

,1тогда

(t2+m2)k−1

du = dt,

v =

. Следовательно,

(t2+m2)k−1

−

dt = −

(t2 + m2)k

2(k

(t2 + m2)k−1

= −

2(k − 1)

(t2 + m2)k−1

2(k − 1)

(t2 + m2)k−1

Подставив последний результат в формулу (5) и выполнив приведение подобных членов, получим:


dt				t
		=				+
(t2 + m2)k			2m2(k − 1)(t2 + m2)k−1
+	2k − 3			dt	.
	2m2(k − 1)			(t2 + m2)k−1

Эта формула является рекуррентной формулой для интеграла (4). Повторным ее применением мы приведем вычисление интеграла (4) к вычислению табличного интеграла

dt	1			t
	=		arctg		+ C.
t2 + m2		m		m

Глава 27

Добавление 6. Примеры и контрпримеры в теории рядов и интегралов

§1. Иллюстрирующие примеры. Числовые ряды

1. Вычислить сумму ряда

∞

n=1 n(n + 1)(n + 2)

Решение.

Представим общий член ряда un =

в виде

n(n+1)(n+2)

n(n + 1)(n + 2)

n + 1

n + 2

Умножая на обе части равенства на n(n + 1)(n + 2), получим

1 ≡ A(n + 1)(n + 2) + Bn(n + 2) + Cn(n + 1).

Полагая n = 0, −1, −2, находим A = 1/2, B = −1, C =

1/2. Таким образом

un =

−

n + 1

n + 2

Теперь легко вычислить частичную сумму

1 −

Sn =

−

+ ...

... +

−

n − 1

n + 1

n + 2

728 Глава 27. Примеры и контрпримеры в теории рядов и интегралов

			1			1			1							1
	=						−					+						.
	=		2			2	−	n + 1				+		n + 2				.
Тогда сумма ряда есть предел												lim Sn =								41 .
2. Вычислить суммы рядов												n→∞
2. Вычислить суммы рядов
∞	1		1					1													1

	+ 5n + 6;		1	·	3	+ 3		·	5		+ ... +					(2n		−			1)(2n + 1)			+ ...;
n2	+ 5n + 6;		1		3	+ 3			5		+ ... +					(2n					1)(2n + 1)			+ ...;
n=1	∞		2								4	8				16					32
	∞		2								4	8				16					32
										;		−			+				−				+ ...
	n=1	(2n + 3)(2n + 5)								;	3	−	9		+		27		−			81	+ ...

3. Найти сумму ряда

∞ 2n + 3n

n=1

4. С помощью критерия Коши показать сходимость ряда

∞ cos n

n=1 2n

Решение. Отметим, что для любых n ≥ m выполнено

	2k	≤		\|	2k	\|	≤		2k =
n	cos k		n		cos k			n	1

	1				1			1
			k=m					k=m
k=m			k=m					k=m

1 −

≤

2m−1

2n−m+1

2m−1

1 + log

Зафиксируем

ε > 0

для всех m > N(ε)

≡

. Тогда

имеет место неравенство 1/2

−

< ε. Следовательно для

любых m > N(ε) выполнено

cos k

≤

< ε,

2m−1

k=m

ряд сходится.

таким образом рассматриваемый

5. Используя критерий Коши исследовать на сходимость ряды

а)	∞	sinn 2n;
	n=1 3 −1
	n∞=1	narctgn
б)		(−1) 2	;
в)	n∞=1	2n1 3n;

		−

§1. Иллюстрирующие примеры. Числовые ряды

729

6. Показать, что ряд

∞

расходится.

(1+√

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим. Для

этого воспользуемся теоремой 4.2. Полагая an =

(1+√

bn = 1/n, имеем

nlim

= nlim

√

(1 +

→∞ bn

→∞

= nlim

√

= 1 > 0.

→∞ (1/

n + 1)

Следовательно, ряд сходится.

− cos(n1 )).

7. Исследовать на сходимость ряд

∞ (1

РЕШЕНИЕ: Для всех натуральных n имеем

0 ≤ 1 − cos(

) = 2 sin

≤

В силу того, что ряд

∞

сходится, то по теореме 4.1

n=1

исходный ряд тоже

сходится.

8. Исследовать на сходимость ряды

а)

∞

(cos n1 − cos(n2 ));

6 +n

б)

∞

(2n+1)(4n+3)

9. Исследовать на сходимость ряды

∞ (n + 1)−√

∞

√

а)

5+3/2; б)

3/2

;

в)

(3n + 4)−

;

n=1

1+n

n=1

∞

√

∞

lnn

г)

(n + 1)2− 5; д)

2n+1

;

n=1

(√

ж)

∞

+ 1)−√

3+1/2;

з)

∞

n=1

		∞	1
е)				lnn(1+√			)2	;
е)				lnn(1+√		n	)2	;
=1
√		n		∞	1
√	n	n		∞	1
				n
				n
n+1 ;			и)		√n;
			=1

к)

н)

∞ √

( 4 n + 1)−3; л)

n=1

∞

2 1 √ 2 .

n=1 ln n(1+ n)

			n	√3
∞	ln2n	; м)	∞	√3		lg2009	;
n=1	2n2+n−2	; м)	=1(		n + 1)−		;

730Глава 27. Примеры и контрпримеры в теории рядов и интегралов

10.Исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды.

−

а)

∞

(−1)nlnn

; б)

∞

(−1)nn

; в)

∞

(−1)n+1lnn

;

n=1

n+1

n=1

lnn

√

+n 1

г)

∞

(−1) +1

∞

(−1) n

∞ (−1) lnlnn

√n

;

д)

n=1

3n−2

;

е) n=3

nlnn

;

∞

(−1) lnn

∞ (−1)

√n

∞ (−1)

ж)

√n+1

; з)

1+√n

;

и)

√n+3

;

n=1

к) ∞ (−1)nn;

3n+2

n=1

∞ (−1)n

н) √ ;

2−3 n

n=1

л)

о)

∞ (−1)n√n

1+√n ; м)

n=1

∞ 1+(−1)n

1+√n ; п)

n=1

∞ (−1)nn n+√n+1 ;

n=1

∞ (−1)nln2n √n+1 .

n=1

11. Исследовать следующие ряды на сходимость.

√

∞

а)

sin

(

√n+1)2

;

б)

n+1

;

в)

√n

;

n=1

√4

√3

∞

(−1)

г) (

n + 1)−

;

д)

(

n + 1)−

;

е)

nlnnlnlnn

;

n=1

n=3

1+√

∞

√

∞

n32n

∞

ж)

(n + 1)− 5+3/2; з)

; и)

n=1

n−1

n+1

∞

√n+1−√n−1

к)

(−1)

n2+1

; л)

en2

; м)

n+√

;

n=1

∞

(−1)

√

∞

1+ √

∞

(−1)

√

n+1 ;

о)

;

п)

n+1 .

√

н)

n=2 (n−1)(

n=1

n+2)

§2. Иллюстрирующие примеры. Функциональные последовательности и ряды

1.Исследовать на равномерную сходимость функциональную последовательность {fn(x)}∞n=1 на множестве E.

а) {fn(x)} = {nxn+3+1 }, E = [0, 2];

б) fn(x) = ln(x + n1 ), E = [1, +∞); в) fn(x) = cos nx , E = R, E = [0, 2π];

г) fn(x) = narctgnx , E = R, E = [0, 1].

<<< < Предыдущая 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 7273 / 7573 74 75 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025391.17 Кб0макроэкономика.doc
#
14.11.20192.44 Mб6Максимов А. ЭВТ-44.docx
#
03.11.20182.6 Mб19Маслов Введение в языкознание.doc
#
01.05.202532.04 Кб0Маслова Екатерина,Мт-111.docx
#
22.11.2019743.42 Кб4Мат.для зочн.юр. № 1 Абрашин.doc
#
27.05.20153.81 Mб41матан.pdf
#
27.05.2015573.95 Кб187материал для подготовки к олимпиаде.doc
#
01.03.2025307.31 Кб0Материал к экзамену Паблик рилейшнз для 411С.docx
#
01.05.20251.08 Mб0МДК 01.01 тетрадь.doc
#
01.04.2025940.97 Кб0МДК 01.02 Методичка docx..docx
#
01.05.2025625.15 Кб0МДК 02.01 тетрадь.doc