Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Волгоградский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

матан

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.05.2015

Размер:

3.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 7172 / 7572 73 74 75 > Следующая >>>

−4A

Решая систему, находим:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в

обеих частях равенства, получаем систему уравнений:

4x2

+B +C = 4 −2B +2C = 16 = −8

+ 16x − 8 = (A + B + C)x2 + (−2B + 2C)x − 4A.

Глава 26. Практикум вычисления неопределенных интегралов

711

Освобождаясь от знаменателей, получаем:

4x2 + 16x − 8 = A(x2 − 4) + Bx(x − 2) + Cx(x + 2).

Поэтому

A = 2, B = −3, C = 5.

4x2 + 16x − 8

(2)

− x + 2

x(x + 2)(x

−

Приняв во внимание (1) и (2), находим:

x5 + x4 − 8

dx =

x2 + x + 4 +

dx =

x3 − 4x

− x + 2 x − 2

+ 4x + ln

x2(x

2)5

+ C.

3 +

(x +−2)3

ПРИМЕР 24. Найти

y2dy

y3 + 5y2 + 8y + 4.

Решение. Подинтегральная функция есть правильная дробь. Разложим знаменатель этой дроби на простые множители:

y3 + 5y2 + 8y + 4 = (y + 2)2(y + 1).

Представим данную подинтегральную функцию в виде суммы элементарных дробей:

y2	=	A1	+	A2		+		B1	.
2					2		y + 1
(y + 2) (y + 1) y + 2 (y + 2)

Освободимся от общего знаменателя, получим:

y2 = A1(y + 2)(y + 1) + A2(y + 1) + B1(y + 2)2

или

y2 = (A1 + B1)y2 + (3A1 + A2 + 4B1)y + 2A1 + A2 + 4B1.

712 Глава 26. Практикум вычисления неопределенных интегралов

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях y, получим систему трех уравнений:

A1		+B1	= 1
3A1	+A2	+4B1	=	0
2A1	+A2	+4B1	=	0

Решая эту систему, получим:

A1 = 0, A2 = −4, B1 = 1.

Следовательно,

−4

(y + 2)2(y + 1) (y + 2)2

y + 1

Поэтому

y2dy

−4

dy =

y3 + 5y2 + 8y + 4

(y + 2)2

y + 1

= (y + 2) + ln |y + 1| + C.

ПРИМЕР 25. Найти интеграл

xdx x3 + 1.

Решение. Подинтегральную функцию представим в виде суммы элементарных дробей

x		x		A1		M1x + N1
	=		=		+		.
x3 + 1	=	(x + 1)(x2 − x + 1)	=	x + 1	+	x2 − x + 1	.

После освобождения от знаменателей получим:

x = (A1 + M1)x2 + (−A1 + M1 + N1)x + A1 + N1.

Составим систему

+M1

= 0

A1 +M1 +N1 = 1

−A1

+N1

= 0

Откуда

A1 = −

, M1 =

, N1 =

Следовательно,

xdx

x + 1

−

dx =

x3 + 1

x + 1

x2 − x + 1

Глава 26. Практикум вычисления неопределенных интегралов

713

−

x + 1

z = x − 21

= −

ln |x+1|+

x + 1

dx =

x = z + 1 , dx = dz =

z + 23

= −

|x + 1| +

dz =

z2 + z + 41 − z − 21 + 1

= −

ln |x + 1| +

z + 23

dz = −

|x + 1|

zdz

z2 + 43

= −

ln |x+1|+

ln |z2

√

arctg √

+C =

z2 + 43

−

x + 1 +

−

x + 1 +

arctg

2x − 1

+ C =

√3

= ln

(x2 − x +

+ 1 arctg 2x − 1 + C.

11)6

(x + 1)3

√3

ПРИМЕР 26. Найти интеграл

dx.

(x + 1)4

Решение. При вычислении этого интеграла нецелесообразно применять общий метод интегрирования рациональных функций (с помощью разложения данной дроби на простейшие). Имеется более легкое решение этой задачи с использованием метода подстановки и метода разложения.

Пусть x + 1 = z, тогда dx = dz. Следовательно,

dx =

(z − 1)3

dz =

(x + 1)4

−

= ln |z| +

+ C =

2z2

3z3

= ln |x + 1| +

−

+ C.

x + 1

2(x + 1)2

3(x + 1)3

ПРИМЕР 27. Найти интеграл

x2(1 + x2)2

Решение. Разложение на простые дроби здесь достигается путем незамысловатых преобразований:

1	=	(1 + x2) − x2	=		1	−	1	=
x2(1 + x2)2		x2(1 + x2)2		x2(1 + x2)			(1 + x2)2

714	Глава 26. Практикум вычисления неопределенных интегралов
=	(1 + x2) − x2	1	=		1		1		1	.
	x2(1 + x2) −	(1 + x2)2		x2		−	1 + x2	−	(1 + x2)2

Принимая во внимание ранее вычисленный интеграл IV (см. пункт "Простые дроби и их интегрирование"), получаем

= −

−

arctg x + C.

x2(1 + x2)2

1 + x2

ПРИМЕР 28. Найти интеграл

x3 + x + 3

dx.

(x2 + 1)2

Решение.

2x3 + x + 3

M1x + N1

M2x + N2

+ 1

+ 1)

Откуда

2x3 + x + 3 = (M1x + N1)(x2 + 1) + (M2x + N2).

С помощью метода неопределенных коэффициентов найдем:

M1 = 2, M2 = −1, N1 = 0, N2 = 3.

Следовательно,

2x3 + x + 3

dx =

2xdx

−x + 3

dx =

x2 + 1

(x2 + 1)2

−

(x2 + 1)2

d x2 + 1)

xdx

(

+ 3

x2 + 1

(x2 + 1)2

d(x2 + 1)

= ln |x2 + 1| −

+ 3

(x2 + 1)2

= ln |x2 + 1| +

+ 3

2(x2 + 1)

(x2 + 1)2

Используя интеграл IV (см. параграф "Простые дроби и

их интегрирование"), получаем

arctg x+C.

(x2 + 1)2

2(x2 + 1)

x2 + 1

2(x2 + 1)

Таким образом, получим:

2x3 + x + 3

dx = ln |x2 + 1| +

(x2 + 1)2

2(x2 + 1)

x2 + 1

+ arctg x

+ C.

Глава 26. Практикум вычисления неопределенных интегралов			715
ПРИМЕР 29. Найти интеграл
2x4	− 4x3 + 24x2 − 40x + 20	dx.

	(x − 1)(x2 − 2x + 2)3

Решение. Прибегнем к выделению рациональной части интеграла (метод Остроградского). Имеем

	Q1 = (x2 − 2x + 2)2, Q2 = (x − 1)(x2 − 2x + 2).
Таким образом,
	2x4 − 4x3 + 24x2 − 40x + 20	=	ax3 + bx2 + cx + d	+
	(x − 1)(x2 − 2x + 2)3		(x2 − 2x + 2)2

efx + g

+x − 1 + x2 − 2x + 2,

причем мы заодно уже разлагаем на простые дроби то выражение, которое еще подлежит интегрированию (после выделения рациональной части интеграла). Тождество

2x4−4x3+24x2−40x+20 = (3ax2+2bx+c)(x2−2x+2)(x−1)− −(ax3 + bx2 + cx + d) · 2 · (2x − 2)(x − 1)+

+e(x2 − 2x + 2)3 + (fx + g)(x − 1)(x2 − 2x + 2)2

приводит к системе уравнений

−a

−6e −5f

−a −2b

−3c

+18e

+12f

−5g

+2b

−32e

−16f

+12g

−4,

| −6a

+4b

+5c −4d +36e

+12f

−16g

24,

−4b

+8d −24e

−4f

+12g

= −40,

−2c −4d +8e

−4g

= 20,

откуда

a = 2,

b = −6,

c = 8,

d = −9,

e = 2,

f = −2,

g = 4.

2x4 − 4x3 + 24x2 − 40x + 20

dx =

2x3 − 6x2 + 8x − 9

(x − 1)(x2 − 2x + 2)3

(x2 − 2x + 2)2

2x + 4

2x3

6x2 + 8x 9

dx +

−

dx =

− −

x − 1

x2 − 2x + 2

(x2 − 2x + 2)2

+ ln

(x − 1)2

+ 2 arctg(x

−

1) + C.

x2 − 2x + 2

716	Глава 26. Практикум вычисления неопределенных интегралов

ПРИМЕР 30. Найти интеграл

x6 − x5 + x4 + 2x3 + 3x2 + 3x + 3dx.

(x + 1)2(x2 + x + 1)3

Решение. Выделим рациональную часть интеграла. Имеем

Q1 = (x + 1)(x2 + x + 1)2, Q2 = (x + 1)(x2 + x + 1).

Разложение ищем в виде

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

(x + 1)(x2 + x + 1)2

Из системы уравнений:

fx2 + gx + h

+(x + 1)(x2 + x + 1).

7	\|		f	=	0,
x6	\|		f	=	0,
x5	\| −a		+g	=	1,
x4	\| a −2b		+3g +h	= −1,
x3	\| 5a −b −3c		+5g +3h	= 1,
x2	\| 4a	+3b −3c −4d	+5g +5h	= 2,
x1	\|	+3b +c −5d −5e	+3g +5h	= 3,
x0	\|	2c −d −7e	+g +3h	= 3,
x	\|	d −3e	+h	= 3,

находим
a = −1,	b = 0, c = −2 d = 0, e = −1 f = g = h = 0.

Таким образом, здесь интеграл весь сводится к рациональной функции

x4 − 2x2 + 1

−(x + 1)(x2 + x + 1)2 + C.

ПРИМЕР 31. Найти интеграл

√

√ xdx .

3 x + 1

Решение. Положим x = t6, тогда dx = 6t5dt. Следовательно,

√

= 6

t8 dt

xdx

√3

+ 1

· 6 ·

t2 + 1

Подстановка привела к интегралу от алгебраической дроби. Найдем этот интеграл:

6	t8 dt	= 6	t6			1
	·			− t4	+ t2	− 1 +		dt =
	t2 + 1						t2 + 1

Глава 26. Практикум вычисления неопределенных интегралов

717

= 6 ·

−

− t + arctg t

+ C.

Возвращаясь к переменной x, получим:

= 6 ·

√6

√xdx

√x

√3

+ 1

−

− √6 x + arctg √6 x + C.

ПРИМЕР 32. Найти интеграл

(x + 1)

2 + (x + 1)

Решение. Пусть 1 + x = t2, тогда

dx = 2tdt,

(1 + x)2 =

t3,

(x + 1)2 = t. Следовательно,

2tdt

= 2

= 2 arctg t+C =

t3 + t

(x + 1)2

+ (x + 1)2

t2 + 1

+ C.

= 2 arctg(1 + x)2

Аналогично находятся интегралы, в которых подкоренное вы-

ражение является дробно-линейной функцией

ax+b

, где

cx+d

ad − bc = 0. В этом случае делают подстановку вида

ax + b

= tk.

cx + d

ПРИМЕР 33. Найти интеграл

· x

1 + x

1 − x

1+1−xx

Решение. Положим

= t2, откуда

x =

1 − t2

dx =

4tdt

−(1 + t2)2

1 + t2

Следовательно,

t2 · dt

1 − x

1 + x

−

(1 − t2)(1 + t2)

= 2

(1 − t2) − (1 + t2)

dt = 2

(1 − t2)(1 + t2)

1 + t2 −

− t2

−

1 + x−

= 2 arctg t

1 + t

+ C = 2 arctg

1 − x

718 Глава 26. Практикум вычисления неопределенных интегралов

−

1 + x−

1−x

1 +

1+−x

+ C = 2 arctg

1 − x

−

+ x + √1

√1

−

1+x

√1

√1 + x

−

+ C.

ПРИМЕР 34. Найти

интеграл

x−1(1 + x5)−1/3dx.

x(1 + x5)1/3

В данном примере мы имеем дело с интегрированием биномиального дифференциала. Применим теорему Чебышева. Здесь m = −1, n = 5, p = −13 ; второй случай: mn+1 = 0. По-

ложим t = (1 − x5)1/3, x = (t3 − 1)1/5, dx = 53 t2(t3 − 1)−4/5dt,

имеем

x−1(1 + x5)−1/3dx =

tdt

x(1 + x5)1/3

t3 − 1

t − 1

dt =

(t − 1)2

t − 1 − t2 + t + 1

10 t2 + t + 1

√

2t + 1

и т.д.

arctg

√

+ C.

ПРИМЕР 35. Найти интеграл

(x2 + a2)√

a2 − x2

a) Так как корни подкоренного выражения вещественны, то

можно применить подстановку √

= t(a − x); здесь

a2 − x2

−a < x < a, t > 0. Имеем

t2 − 1

4atdt

2at

x = a

, dx =

−

x2 =

t2 + 1

(t2 + 1)2

t2 + 1

x2 + a2 =

2a2(t4 + 1)

(t2 + 1)2

2t2 + 2

(x2 + a2)√

dt =

2a2

t4 + 1

a2 − x2

t2 + t√

+ 1

t2 − t√

+ 1

dt =

2a2

Глава 26. Практикум вычисления неопределенных интегралов							719
		1		√		√

=	a2	√		(arctg(t	2 + 1) + arctg(t 2 − 1)) + C,
			2

куда еще нужно подставить для получения окончательного результата

a + x t = a − x.

Воспользовавшись формулой для суммы арктангенсов, а также очевидным соотношением

= − arctg α ±

(α = 0),

arctg

можно придать результату более простую форму

x√

√

arctg

√

+ C1,

C1 = C +

2a2π√

a2 − x2

же интегралу

применить подстановку

√

б) Если к тому

a2 − x2

= tx − a, то получим, что

(x2 + a2)√

a2 − x2

√

= −

√

(arctg( 2 + 1)t + arctg(

2 − 1)t) + C2

√

при t = a+ a2−x2 . Этот результат годится в отдельности для

промежутка (−a, 0) и для промежутка (0, a); легко сообразить, что изменяя значение постоянной C2 при переходе x через 0, можно сделать его пригодным во всем промежутке (−a, a). Наконец, если преобразовать его по формуле для суммы арктангенсов, то он отождествится с предыдущим результатом.

ПРИМЕР 36. Найти интеграл

1 − √1 + x + x2

√dx.

x 1 + x + x2

Воспользуемся одной из подстановок Эйлера. Положим

1 + x + x2 = tx + 1,

тогда 1 + x + x2 = t2x2 + 2tx + 1, откуда

x =	2t − 1	,	dx = 2	1 − t + t2	dt.
	1 − t2
				(1 − t2)2

720

Глава 26. Практикум вычисления неопределенных интегралов

Далее, находим

√

1 − t + t2

, t =

1 + x + x2

−

1 − t2

Таким образом,

√

dx =

1 −

1 + x + x2

−2tdt

x√1 + x + x2

1 − t2

+ C = ln 1

−

√

− 1

2 + C.

= ln

−

1 + x + x2

ПРИМЕР 37. Найти интеграл

sin x(2 + cos x − 2 sin x)

Решение. Положим tg x2

тогда

sin x

1+t2

cos x =

1−t22

dx =

2tdt

. Следовательно,

1+t

1+t2

sin x(2 + cos x − 2 sin x)

(2 +

1+1−tt22

−

)

1+t2

(1 + t2 dt

(1 + t2

)

t(t2 − 4t + 3)

t(t − 3)(t − 1)

ln |t| − ln |t − 1| +

ln |t − 3| + C =

ln | tg

| − ln | tg

− 1|

ln | tg

− 3| + C.

ПРИМЕР 38. Найти интеграл

sin3 x

dx.

1 + cos2 x

Решение. Так как

(− sin x)3

−

sin3 x

, то делаем подстановку

1+cos2 x

cos x = t, − sin xdx = dt.

sin3 x

sin2 x

sin xdx

cos2 x) sin xdx

dx =

−

1 + cos2 x

−

(1 − t2)dt

dt =

− 1 + t2

1 + t2

= t − 2 arctg t + C = cos x − 2 arctg(cos x) + C.

<<< < Предыдущая 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 7172 / 7572 73 74 75 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025391.17 Кб0макроэкономика.doc
#
14.11.20192.44 Mб6Максимов А. ЭВТ-44.docx
#
03.11.20182.6 Mб19Маслов Введение в языкознание.doc
#
01.05.202532.04 Кб0Маслова Екатерина,Мт-111.docx
#
22.11.2019743.42 Кб4Мат.для зочн.юр. № 1 Абрашин.doc
#
27.05.20153.81 Mб41матан.pdf
#
27.05.2015573.95 Кб187материал для подготовки к олимпиаде.doc
#
01.03.2025307.31 Кб0Материал к экзамену Паблик рилейшнз для 411С.docx
#
01.05.20251.08 Mб0МДК 01.01 тетрадь.doc
#
01.04.2025940.97 Кб0МДК 01.02 Методичка docx..docx
#
01.05.2025625.15 Кб0МДК 02.01 тетрадь.doc