матан

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Волгоградский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Глава 26. Практикум вычисления неопределенных интегралов

eax sin bx −

eax sin bxdx.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.05.2015

Размер:

3.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 / 7571 72 73 74 75 > Следующая >>>

§2. Замечания о других методах

701

Это связано в первую очередь с тем, что в практической работе общее число признаков, характеризующих исследуемые объекты, крайне велико. При этом многие из признаков – взаимосвязаны, а некоторые – малоинформативны и практически не меняются при переходе от одного объекта к другому. Кроме того, некоторые группы переменных допускают возможность агрегирования, т.е. "взвешенного"суммирования. Все это служит предпосылками к переходу от большого числа показателей (переменных) анализируемой системы к существенно меньшему. К новой системе признаков, как правило, предъявляются требования максимальной информативности, взаимной некоррелированности, минимального искажения геометрической структуры множества исходных данных и т.д.

Одним из основных предположений факторного анализа является то, что наблюдаемые переменные являются линейными комбинациями некоторых скрытых (ненаблюдаемых) факторов. При этом некоторые из этих факторов могут быть общими для нескольких переменных. Кроме того, как правило, считают, что характерные факторы ортогональны друг другу. Все это позволяет достаточно точно идентифицировать факторную структуру исследуемой системы.

Глава 26

Добавление 5. Практикум вычисления неопределенных интегралов

Основные формулы для вычисления производных.

Если x независимая переменная, то справедливы следующие формулы

y = C :

y = 0;

y = cos x :

y =

sin x;

−1

y = x :

y = 1;

y = tgx :

y =

;

cos2 x

y = xµ :

y = µxµ−1;

y = ctgx :

y = −

;

sin2 x

y = ax :

y = axlna;

10.

y = arcsin x :

y =

√

1−x1

y = logax :

y =

x logae;

11.

y = arccos x :

y = −

√

;

−

y =

y = lnx :

12.

y = arctgx :

;

1+x2

y = sin x :

y = cos x;

13.

y = arcctgx :

y = −

;

1+x2

Основные формулы для вычисления неопределенных интегралов.

0 dx = C;
1 dx = x + C;
				xα+1
xα dx =						+ C (α = −1);
				α + 1
	dx
		= ln \|xx\| + C;
	x
				a
ax dx =					+ C;
			ln a
ex dx = ex + C;

Глава 26. Практикум вычисления неопределенных интегралов

703

sin x dx = − cos x + C;

cos x dx = sin x + C;

= tg x + C;

cos2 x

= −ctgx + C;

sin2 x

√

arcsin x

− arccos x

1 − x2

arctg x

1 + x2

− arcctg x

√

x + x2 ± 1

+ C;

= ln

x2 ± 1

1 + x

+ C;

−

sh x dx = ch x +

;

ch x dx = sh x + C;

= th x + C;

ch2x

= − cth x + C.

sh2x

Далее приведем примеры нахождения неопределенных интегралов. Номера в скобках – номера указанных задач в сборнике задач Б.П. Демидовича.

ПРИМЕР 1.

Найти (6x2 + 8x + 3)dx.

Решение. Из свойств интеграла получим

(6x2 + 8x + 3)dx = 6

x2dx + 8

xdx + 3

dx =

= 6

+ 8

+ 3x + C = 2x3 + 4x2 + 3x + C.

ПРИМЕР 2.

Найти

√x

704 Глава 26. Практикум вычисления неопределенных интегралов

Решение. Преобразуя подинтегральную функцию, полу-

чим

√x

−n + 1

n − 1

1 +1

n−1

= x−n1 dx =

+ C =

+ C.

ПРИМЕР 3. Найти

3x5xdx.

Решение. По формуле 5 имеем

3x5xdx =

15xdx =

15x

+ C.

ln 15

ПРИМЕР 4. (1650) Найти

tg2 ϕdϕ.

Решение. Применяя формулу tg2 ϕ = cos12 ϕ − 1, находим

		1					1
	tg2	ϕdϕ =			− 1 dϕ =			dϕ −	dϕ =
	tg2	ϕdϕ =	cos2 ϕ		− 1 dϕ =		cos2 ϕ	dϕ −	dϕ =
			= tg ϕ − ϕ + C.
ПРИМЕР 5. Найти
				x4 + x2 + 1
						dx.
					x2 + 1	dx.

Решение. Выделяя целую часть, приходим к табличным

интегралам

+ x2 + 1

dx =

x2 +

dx =

x2dx+

x2 + 1

+ arctg x + C.

x2 + 1

ПРИМЕР 6. Найти

(1 − √x)2dx.

Решение. Раскроем квадрат разности, получим

√ √

(1 − x)2dx = (1 − 2 x + x)dx =

Глава 26. Практикум вычисления неопределенных интегралов

705

dx −

2√

xdx +

xdx =

dx − 2

x1/2dx +

xdx =

x3/2

4 √

= x − 2

+ C = x −

x x +

+ C.

ПРИМЕР 7.

d(2x + 5)

√

(2x + 5)−2 d(2x + 5) =

2x + 5

√

= 0, 5 ·

(2x + 5)2

+ C = 2x + 5 + C.

0, 5

ПРИМЕР 8.

cos 7xdx =

cos 7xd(7x) =

sin 7x + C.

ПРИМЕР 9.

xdx

d(x2 + 1)

ln(x2 + 1) + C.

x2 + 1

ПРИМЕР 10.

2		1	2	d(x2) =	1		2
xex	dx =		ex				ex	+ C.
		2				2

ПРИМЕР 11. Найти интеграл

a2 − x2dx.

Решение. Здесь полезно применить тригонометрическую

подстановку x = a sin t,

dx = a cos tdt. Следовательно,

dx =

· a cos tdt = a2

cos2 tdt =

a2 − x2

a2 − a2 sin2 t

(1 + cos 2t)dt =

dt +

cos 2td(2t) =

=a2 t + a2 sin 2t + C.

2 4

Возвращаясь обратно к переменной x, будем иметь

sin t =	x	t = arcsin	x	.
	a
			a

706

Глава 26. Практикум вычисления неопределенных интегралов

Далее,

sin 2t = 2 sin t cos t = 2 sin t

1 − sin2 t = 2

−

a2 − x2.

Окончательно получим

a2 − x2dx =

arcsin

a2 − x2 + C.

ПРИМЕР 12.

x√x2

− 2.

Решение. Сделаем подстановку x = 1 , тогда

dx = −

dt. В результате получим

−

x√x

−

√1 2t

−

t t

−

√

d( 2t)

= −√2

−

(√

t)2

= √2 arccos √2t + C =

√

=√ arccos x + C.2

ПРИМЕР 13. Найти интеграл

ex + 1

Решение. Сделаем подстановку x =

−

ln t, тогда

dx = −1t dt, значит

−1t dt

−

ex + 1

e− ln t + 1

t(1t + 1)

= −

− ln |1 + e−x| + C.

= − ln |1 + t| + C =

1 + t

Глава 26. Практикум вычисления неопределенных интегралов

707

ПРИМЕР 14. Найти интеграл

tg3 xdx.

Решение. Сделаем подстановку x = arctg t, тогда dx =

. В итоге получим

1+t2

tg3 xdx =

tg3(arctg t) ·

dt =

1 + t2

= t −

dt =

tdt−

dt =

−

ln |t2+1|+C =

1 + t2

tg2 x

−

ln | tg2 x + 1| + C =

+ ln | cos x| + C.

ПРИМЕР 15. Найти интеграл

x · exdx.

Решение. Рассуждая аналогично, будем иметь

u = x,

dv = exdx

x·exdx = du = dx,

v = ex = xex− exdx = xexdx =

= xex − ex + C.

Иногда интегрирование по частям приходится выполнять несколько раз.

ПРИМЕР 16. (1799) Найти интеграл

x2 · sin 2xdx.

Решение. Положим u = x2, dv = sin 2xdx, тогда du =

2xdx,

v = −cos22x. Следовательно,

x2 · sin 2xdx = −

x2 cos 2x

x cos 2xdx.

Теперь надо вычислить интеграл

x cos 2xdx. Положим

dv = cos 2xdx, тогда du =

dx,

sin 2x

u = x,

2 , и пото-

му

x sin 2x

x cos 2xdx =

−

sin 2xdx =

cos 2x+C.

708

Глава 26. Практикум вычисления неопределенных интегралов

Окончательно имеем

x2 · sin 2xdx = −

x2 cos 2x

x sin 2x

cos 2x + C.

ПРИМЕР 17. (1792) Найти интеграл

x3 · ln xdx.

Решение. Интегрируя по частям, будем иметь

u = ln x,

dv = x3dx

x3 · ln xdx = du = x1 dx,

v =

ln x −

x3dx =

ln x −

+ C.

ПРИМЕР 18. (1802) Найти интеграл

arctg xdx.

Решение. Применим метод интегрирования по частям.

u = arctg x,

dv = dx

arctg xdx =

= x arctg x

du =

dx,

v = x

−

1+x2

−

d(1 + x2

)

dx = x arctg x

1 + x2

=x arctg x − 12 ln |1 + x2| + C.

Внекоторых случаях с помощью интегрирования по частям получают уравнение, из которого определяется искомый интеграл.

ПРИМЕР 19. (1829) Найти интеграл

eax cos bxdx.

Решение. Применяя метод интегрирования по частям, по-

лучим		=
	u = eax, dv = cos bxdx
	eax cos bxdx = du = aeaxdx, v = 1b sin bx

К последнему интегралу снова применим метод интегри-

рования по частям:

u = eax,

dv = sin bxdx

eax sin bxdx = du = aeaxdx, v = −1b cos bx

= −

eax cos bx +

eax cos bxdx.

Подставляя полученное выражение в предыдущее равен-

ство, получим

eax cos bxdx =

eax sin bx +

eax cos bx −

eax cos bxdx.

Из последнего равенства найдем данный интеграл

1 +

eax cos bxdx =

+ C 1 +

= eax

sin bx +

cos bx

откуда

eax cos bxdx = eax(b sin bx + a cos bx) + C. a2 + b2

ПРИМЕР 20. Найти интеграл

a2 − x2dx.

Решение. Преобразуем подинтегральную функцию, в ре-

зультате получим

−

a2 − x2dx =

√

−

dx = a2

√

−

a2 x2

−

x2dx

−

xdx

√

= a2 arcsin

√

a2 − x2

Последний интеграл вычислим с помощью интегрирования по частям.


710		Глава 26. Практикум вычисления неопределенных интегралов
		xdx	u = x,	dv =	√	xdx		=
x						a2−x2
	√		= du = dx,	v = −√
		a2 − x2
							a2 − x2

= −x a2 − x2 + a2 − x2dx.

Следовательно,

a2 − x2dx = a2 arcsin

+ x a2 − x2 − a2 − x2dx.

Из этого равенства находим данный интеграл

a2 − x2dx =

arcsin

a2 − x2 + C.

ПРИМЕР 21.

dx = B ln |x − b| + C.

ПРИМЕР 22.

x − b

−

1 − m

(x − b)m

dx = B (x

b)−mdx =

B(x − b)−m+1

+ C =

+ C,

(m = 2, 3, . . . ).

(1 − m)(x − b)m−1

ПРИМЕР 23. Найти

− 4x

x5 + x4 − 8

dx.

Решение. В подинтегральной функции выделяется многочлен второй степени делением числителя на знаменатель:

x5 + x4 − 8

= x2 + x + 4 +

4x2 + 16x − 8

(1)

x3 − 4x

Разлагаем знаменатель данной дроби на множители

x3 − 4x = x(x + 2)(x − 2).

Правильную рациональную дробь из

(1) представляем по фор-

муле

4x2 + 16x − 8

x(x + 2)(x − 2)

x + 2

x − 2

<<< < Предыдущая 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 / 7571 72 73 74 75 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025391.17 Кб0макроэкономика.doc
#
14.11.20192.44 Mб6Максимов А. ЭВТ-44.docx
#
03.11.20182.6 Mб19Маслов Введение в языкознание.doc
#
01.05.202532.04 Кб0Маслова Екатерина,Мт-111.docx
#
22.11.2019743.42 Кб4Мат.для зочн.юр. № 1 Абрашин.doc
#
27.05.20153.81 Mб41матан.pdf
#
27.05.2015573.95 Кб187материал для подготовки к олимпиаде.doc
#
01.03.2025307.31 Кб0Материал к экзамену Паблик рилейшнз для 411С.docx
#
01.05.20251.08 Mб0МДК 01.01 тетрадь.doc
#
01.04.2025940.97 Кб0МДК 01.02 Методичка docx..docx
#
01.05.2025625.15 Кб0МДК 02.01 тетрадь.doc