матан

Пользуясь (2), находим

Таким образом, при θ = 0 выполнено αn → 0. Обобщенная сумма ряда (1) (в смысле Чезаро) равна 0.

Метод суммирования расходящихся рядов с помощью средних арифметических не является единственно возможным. Таких методов достаточно много и целесообразность выбора метода зависит от задачи. Мы касаемся здесь только линейных методов. Ниже мы следуем статье Д.Е. Меньшова4 "Суммирование рядов по ортогональным функциям линейными методами", Изв. АН СССР, сер. матем., 1937, с. 203227.

Возьмем какой-нибудь бесконечный числовой ряд

∞

n=1

и бесконечную матрицу

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

4Меньшов Дмитрий Евгеньевич (18.4.1892 – 25.11.1988). Род. в Москве. Получил фундаментальные результаты по проблемам единственности представления функциий тригонометрическими рядами, теории сходимости и суммируемости ортогональных рядов. Ему также принадлежат исследования по теории конформных отображений.

682 Глава 24. Еще раз о рядах

Рассмотрим ряд

=1

где

k

sk = un.

n=1

Говорят, что ряд (3) суммируется линейным методом, соответствующим матрице (4), если ряд (5) сходится для всех достаточно больших значений i и имеет сумму, которая стремится к определенному конечному пределу при i → ∞. Этот предел называется обобщенной суммой ряда (3).

Линейный метод суммирования называется регулярным,

если элементы матрицы (4) удовлетворяют условиям:

∞

i) Ряд k=1 aik сходится абсолютно для всех значений i, причем

ii) Для всех значений i выполняется неравенство

∞

|aik| < M,

k=1

где M не зависит от i.

ТЕОРЕМА 1.2. Для того чтобы всякий сходящийся ряд суммировался данным линейным методом и имел обобщенную сумму, равную обычной сумме, необходимо и достаточно, чтобы рассматриваемый линейный метод был регулярным.

Доказательство ¨

см. Toeplitz "Uber lineare Mittelbildingen", Prace mat. fiz., v. 22, 1911, 113-119 или найдите в современной математической литературе.

§2. Обвертывающие ряды

В данном параграфе будут обсуждены некоторые аспекты использования расходящихся рядов в приближенных вычислениях. В начале рассмотрим несложные примеры.

ПРИМЕР 1. Хорошо известно (см. параграф "Разложение в ряд Маклорена функции y = ln(1 + x)"), что для всех x (−1, 1] выполнено

Вне указанного полуинтервала (например при x > 1) ряд стоящий в правой части равенства (1) будет расходящимся.

С другой стороны, и для значений x > 1 по формуле Тейлора справедливо соотношение

ln(1 + x) = n (−1)k−1 xk + rn(x), k

k=1

где "остаточный член" можно взять, например, в форме Лагранжа

Здесь 0 < θ, θ1 < 1.

Заметим, что по абсолютной величине "остаточный член" меньше первого отбрасываемого члена ряда и имеет одинаковый с ним знак. Таким образом, если при x > 1 заменить значение ln(1 + x) отрезком расходящегося ряда (1), то у нас имеется достаточно удобная оценка погрешности. Конечно, при любом фиксированном x > 1 остаточный член растет до бесконечности при n → ∞. Однако, если x – фиксировано, но достаточно близко к 1, члены ряда (1) даже при x > 1 будут сначала убывать по абсолютной величине. Действитель-

получаем, что при n < x−1 1 члены ряда (1) – убывают, и лишь

затем начнут возрастать. Таким образом, для получения наилучшего приближения числа ln(1 + x) выгоднее всего обо-

рвать ряд на члене с номером n = [x−1 1 ].

Далее перейдем к общим формулировкам. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Пусть дан числовой ряд

∞

n=0

Если его частичные суммы поочередно то больше, то меньше некоторого числа A, т.е. последовательность

является знакопеременной, то говорят, что ряд (2) обвертывает число A.

Из формулы (3) сразу следует, что

rn+1 = rn − an+1.

Из данного равенства сразу следует, что предыдущее определение эквивалентно следующему.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Ряд (2) называется обвертывающим число A, если он является знакопеременным и, кроме того, все rn из (3) меньше an+1 по абсолютной величине и имеют одинаковый с ним знак.

ПРИМЕР 2. Ряд (1) является обвертывающим для ln(1+x) при любом x > 0.

ЗАМЕЧАНИЕ. В случае расходимости ряда (2) он может одновременно обвертывать бесконечное множество чисел A. Например ряд 1 − 1 + 1 − 1 + . . . с частичными суммами 1, 0, 1, 0, . . . обвертывает каждое из чисел интервала (0, 1).

§3. Разложение по собственным функциям

Обозначим через L2 a, b множество всех измеримых функций f : a, b → R, для которых

b

|f(x)|2 dx < ∞.

a

Вплоть до детального знакомства с основами теории интеграла Лебега, читатель может считать, что функции f кусочнонепрерывны.

Зафиксируем произвольно функцию q(x) C[0, π] и рассмотрим уравнение

Зафиксируем α, β [0, π]. Будем искать решения y(x) уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям

y(0) cos α+y (0) sin α = 0, y(π) cos β +y (π) sin β = 0. (2)

При q(x) ≡ 1 — решения задачи Штурма–Лиувилля (1) – (2) суть тригонометрические функции.

Величины λ, при которых задача Штурма–Лиувилля имеет решение, называются собственными значениями, а соответствующие им функции — собственными функциями.

ТЕОРЕМА 3.1. Имеют место следующие высказывания:

i) Существует последовательность (однократных) собственных чисел

ственных функций {yn(x)}∞n=1 образует ортонормированные базис в пространстве L2[0, π];

iii) всякая функция из C[0, π], удовлетворяющая (2) и такая, что отрезок [0, π] можно разбить на конечное число отрезков, на каждом из которых ее сужение принадлежит классу C2, раскладывается в абсолютно и равномерно сходящийся в ряд Фурье по системе {yn(x)}∞n=1.

Доказательство см., например, Ж. Дьедонне, Основы современного анализа, М.: Мир, 1964, гл. II.

Задачи на собственные значения служат источником построения обширной√серии специальных функций. Так, бессе-

левы функции Jn( λ x) могут быть интерпретированы как собственные функции дифференциального уравнения Бессе-

ля

(xy ) − n2 y + λ x y = 0, x

функции Лежандра Pn(x) — как собственные функции урав-

нения

[(1 − x2)y ] + λ y = 0,

полиномы Чебышева Tn(x) — как решения штурм – лиувиллевской задачи для уравнения

( 1 − x2 y ) + √ λ = 0,

1 − x2 y

полиномы Эрмита Hn(x) — как решения соответствующей задачи для уравнения

e−x2 y + λ e−x2 y = 0

и др.

Сказанное выше, а также описание алгоритма нахождения собственных значений в задаче Штурма–Лиувилля можно найти, например, в главах V и VI широко известной монографии Р. Куранта и Д. Гильберта "Методы математической физики", т. I, Госуд. Техн. Теорет. изд-во, Москва–Ленинград, 1933.

§4. Всплески (вэйвлеты)

Функция ψ L2(R) называется всплеском или вэйвлетом, если система функций

Z = {. . . , −1, 0, 1, . . .}.

Такого вида системы, порождаемые одной – единственной функцией, особо эффективны для применений.

Покажем, что данная система является базисом Хаара. Ясно, что

%χk,m%2 = %χ%2 = 1, при любых k, m Z,

исистема нормирована нужным образом. Нам потребуется следующее утверждение.

ЛЕММА 4.1. Если функция K абсолютно интегрируема

на R и

+∞

K(t) dt = 1,

−∞

то для произвольной ограниченной и равномерно непрерывной на R функции f осредненные функции

+∞

fh(x) = f(x + ht) · K(t) dt

−∞

равномерно на R стремятся к f при h → 0.

Для доказательства достаточно заметить, что согласно признаку Вейерштрасса о мажорантной сходимости интеграл fh сходится равномерно по параметру h и потому возможен предельный переход под знаком интеграла.

Точнее,

+∞

≤ ω(f, |ht|) |K(t)| dt,

−∞

где

ω(f, δ) = sup{|f(x + u) − f(x)|, x R, 0 < u ≤ δ}

—модуль непрерывности функции f. Поскольку

ω(f, δ) ≤ 2 sup |f(x)|,

то правомочен предельный переход под знаком интеграла при h → 0. Однако, в силу равномерной непрерывности f, имеем

Проверим ее ортонормированность. Действительно, при одном k и разных m (функции из одной "пачки"!) носители χk,m, т.е. полуинтервалы

m m + 1 2k , 2k ,

на которых функции не обращаются в нуль, не пересекаются. Если же при k1 < k2 их носители пересекаются, то на общей

нетривиальной части функция χk1,m1 постоянна и

χk2,m2 dx = 0.

R

Сказанное означает, что функции χk,m ортогональны. Нам осталось проверить, что данная система замкнута в

L2(R). Зафиксируем произвольно f L2(R) и ε > 0. При достаточно больших N имеем

%f − f · χ[−N,N]%2 < ε.

Согласно приведенной выше леммы финитная функция f · χ[−N,N] может быть приближена в L2 посредством непрерыв-

ной финитной функции с той же пограшностью, а непрерывная на отрезке — ступенчатой с интервалами постоянства

m m + 1 2n , 2n

при достаточно большом n.

Однако в замыкании линейной оболочки ступенчатых функ-

ций вместе с f(x) лежит и функция f(2kx + m). Тем самым, достаточно усмотреть, что в этом замыкании лежит при k = 0 характеристическая функция χ(0,1). Сказанное непостредственно видно из соотношения

A

A

A

AAχ(0,1) −

k=−m

Замкнутость системы {χk,m} доказана.

Теория всплесков относится в настоящее время к числу наиболее интенсивно развивающихся разделов Анализа, что связано с наличием значительного числа ее приложений. Для дальнейшего знакомства с теорией см.:

1) Б.С. Кашин, А.А. Саакян, Ортогональные ряды, М.: АФЦ,

1999.

2)Л.В. Новиков, Основы вейвлет–анализа сигналов, Учебное пособие, СПб.: Изд-во ООО "МОДУС+", 1999.

3)А.П. Петухов, Введение в теорию базисов всплесков, СПб.: СПбГТУ, 1999.

4)К. Чуи, Введение в вэйвлеты, М.: Мир, 2001.