матан

тельные или отрицательные). Как было отмечено в примере 1 первого пункта данного параграфа, множество Q не полно.

В соответствии с результатами предыдущего раздела, его пополнение R единственно с точностью до изометрии. Так что любой другой метод пополнения множества Q (напри-

мер, посредством иногда используемых сечений Дедекинда14) приводит к тому же самому результату.

Элементами R являются классы эквивалентности x фундаментальных последовательностей {xn} рациональных чи-

сел xn = pn . Чтобы задать x достаточно указать хотя бы

qn

одну последовательность {xn} из класса эквивалентности. В десятичной системе счисления такие последовательности могут задаваться десятичными дробями вида

a0 ; a0, a1 ; a0, a1a2 ; . . . a0, a1a2 . . . an ; . . .

где a0 – некоторое целое и a1, a2, . . . суть цифры от 0 до 9. Например, для хорошо нам известного числа x = π подоб-

ная последовательность может выглядеть следующим образом

3; 3, 1; 3, 14; 3, 141; 3, 1415; . . .

Арифметические операции над элементами из R определяются с помощью предельного перехода. К примеру, чтобы сложить x и y необходимо взять произвольные представители {xn} x и {yn} y из классов эквивалентности и определить сумму x + y как предел сумм рациональных чисел xn + yn при n → ∞. Введенные таким образом операции над иррациональными числами удовлетворяют всем нужным аксиомам множества R.

4.6.Принцип "сжатых" отображений

Пусть (X, ρ) – метрическое пространство и пусть A : X → X – произвольное отображение X в себя. Отображение A называется сжатием (сжатым отображением), если существует постоянная 0 < α < 1 такая, что

ρ(Ax, Ay) ≤ α ρ(x, y) для любых x, y X.

Ясно, что всякое сжатие непрерывно (и даже равномерно непрерывно).

Точка x0 X называется неподвижной точкой отображения A, если Ax0 = x0.

14Дедекинд Рихард Юлиус Вильгельм (6.10.1831 - 12.2.1916). Род. в Браушвейге (Германия). Член Берлинской, Парижской и Римской академий наук. Имеет значительные результаты в теории алгебраических чисел, алгебре.

ТЕОРЕМА 4.6. Всякое сжатое отображение, заданное в полном метрическом пространстве, имеет одну и только одну неподвижную точку.

Доказательство. Зададим произвольно x0 X. Далее полагаем

x1 = Ax0, x2 = Ax1, . . . , xn = Axn−1, . . . ,

т.е.

x1 = Ax0, x2 = A2x0, . . . xn = Anx0, . . .

Покажем, что последовательность {xn} фундаментальна. Действительно, при любых m ≥ n имеем

ρ(xn, xm) = ρ(Anx0, Amx0) = ρ(A(An−1x0), A(Am−1x0)) ≤

Поэтому, используя, что α < 1,

ρ(x0, xm−n) ≤ ρ(x0, x1) + αρ(x0, x1) + α2ρ(x0, x1) + . . . +

Поскольку α < 1, то при достаточно больших n величина в правой части (7) сколь угодно мала. Тем самым, последовательность {xn} фундаментальна.

Пространство (X, ρ) полно и, следовательно, существует limn→∞ xn = x. В силу непрерывности отображения A, можно заключить теперь, что

Ax = A lim xn = lim Axn =

n→∞ n→∞

= lim xn+1 = x,

n→∞

т.е. Ax = x и существует неподвижная точка отображения A. Докажем, что неподвижная точка единственна. Предположим противное. Пусть x = y – неподвижные точки A. Тогда

Ax = x и Ay = y.

Мы имеем

ρ(x, y) = ρ(Ax, Ay) ≤ αρ(x, y)

и 1 ≤ α, что невозможно. Теорема доказана.

676 Глава 23. Неравенства Юнга, Гельдера, Минковского

при 0 < p < 1. Знак равенства возможен только в случае пропорциональности векторов

(xp1, ..., xpn) , (y1q, ..., ynq ) .

Доказательство. Проверим (4). Пусть

X p Y q

что эквивалентно (4). Аналогично, из (3) выводим (5).

Поскольку знак равенства в (2) и (3) возможен лишь при a = b, мы заключаем, что в (4) и (5) он возможен лишь при

условии

xpi = λyiq или yiq = λxpi .

Применим неравенства Гельдера к каждому из слагаемых правой части. Тогда правая часть не превосходит (не менее) величины

получаем требуемое.

ТЕОРЕМА 1.1. Если последовательность {an}∞n=1 имеет предел (конечный либо бесконечный), то тот же предел имеет и последовательность

bn = a1 + a2 + . . . + an . n

Опишем метод обобщенного суммирования рядов, идея которого принадлежит Фробениусу2 и была развита в дальней-

если последовательность αn имеет предел A при n → ∞, то этот предел называется обобщенной (в смысле Чезаро)

суммой данного ряда.

Замечание. Из теоремы Коши вытекает, что если ряд сходится в обычном смысле и имеет своей суммой A, то он имеет сумму A и в смысле Чезаро.

ПРИМЕР 1. Рассмотрим расходящийся ряд

∞

(−1)i = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . . + .

i=0

Здесь имеем

A0 = 1, A1 = 0, A2 = 1, A3 = 0, . . . A2k−1 = 0, A2k = 1, . . .

2Фробениус Фердинанд Георг (26.10.1849 – 3.8.1917). Род. в Берлине (Германия). Работал в Берлине и Цюрихе. Его основные научные исследования относятся к алгебре, теории алгебраических чисел, теории матриц. Ему принадлежит строгое изложение метода суммирования средними арифметическими.

3Чезаро Эрнесто (12.3.1859 – 12.9.1906). Род. в Неаполе (Италия). Работал над теорией расходящихся рядов. Значительный вклад внес в создание натуральной геометрии.

Таким образом, обобщенной суммой данного ряда является величина

lim αn = 1.

n→∞ 2

Следующий результат нами использовался в теории рядов Фурье.

ПРИМЕР 2. Рассмотрим ряд

Для частичных сумм этого ряда при θ = 0 имеем

Действительно,