матан

Rn, для которых dimH (E) = α. Такие множества могут строиться по тому же принципу, что и множество Кантора, т.е. по принципу самоподобия. Сколь угодно малая часть самоподобного множества содержит информацию обо всем множестве. Самоподобные множества дробной размерности изучаются в теории фракталов.

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х годов прошлого века, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Мандельбротом9 в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому".

Рождение фрактальной геометрии связано с выходом в 1977 году книги Мандельброта ‘The Fractal Geometry of Nature’. Его работы опираются на научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1930 годов в теории функций (Фату, Жюлиа, Пенлеве, В.В. Голубев) 10.

Сегодня фракталы довольно широко используются в компьютерной графике. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности сложной формы. С точки зрения компьютерной графики, фрактальная геометрия весьма полезна при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически – это способ простого представления сложных объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Многие физические феномены могут быть интерпретированы как фрактальные множества или процессы (см. "Фракталы в физике", Труды VI международного симпозиума по фракталам в физике под редакц. Пьетронеро и Тозатти, Мир, М.: 1988.)

УПРАЖНЕНИЕ 5. Доказать следующее соотношение между размерностями Минковского и Хаусдорфа

dimH (E) ≤ dimM (E).

УПРАЖНЕНИЕ 6. Построить пример множества, для которого данное неравенство является строгим.

9Мандельброт Бенуа – знаменитый математик, родился 20.11.1924 в Варшаве, Польша, учился и работал во Франции, США, Швейцарии

10См. сборник статей В.В. Голубева, Однозначные аналитические функции. Автоморфные функции, ГИФМЛ, М.: 1961

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Если в пространстве (X, ρ) всякая фундаментальная последовательность сходится к некоторой точке пространства, то это пространство называется полным.

ПРИМЕР 1. Пространство R всех точек числовой прямой является полным. Это следует из критерия Коши, доказанного для R.

Пространство Q всех рациональных точек числовой прямой не полно, поскольку, например, имеется последовательность рациональных точек xn = (1 + 1/n)n, не имеющая рационального предела.

ПРИМЕР 2. Рассмотрим пространство l2 всевозможных последовательностей вещественных чисел x = (x1, x2, . . . , xn, . . .) таких, что

∞

x2k < ∞.

k=1

Расстояние между точками x , x l2 определяется выраже-

Покажем, что пространство l2 полно. Пусть {xk} – фундаментальная в l2 последовательность, т.е. для любого ε > 0 найдется номер N(ε) такой, что

для любых k , k > N(ε). Здесь xk = (xk1, xk2, . . . , xki , . . .).

Из (1) следует, что при всех i = 1, 2, . . . выполнено

(xki − xki )2 < ε2.

Другими словами, при всяком i = 1, 2, . . . последовательность

{xki } фундаментальна и потому сходится. Положим ai = lim xki .

k→∞

Рассмотрим последовательность a = (a1, a2, . . . , ai, . . .). Для

доказательства полноты l2 достаточно показать, во-первых,

что a l2, т.е.

∞

a2i < ∞,

i=1

и, во-вторых, что ρ(xk, a) → 0, т.е.

Будем доказывать оба свойства одновременно. Из соотношения (1) следует, что для произвольного фиксированного m

выполняется

m

(xki − xki )2 < ε2.

i=1

Переходя здесь к пределу при k → 0, при всяком фиксированном k получаем

m

(xki − ai)2 ≤ ε2.

i=1

Однако, данное соотношение справедливо для любого m, а потому полагая m → ∞, находим

то при всех m = 1, 2, . . ., пользуясь неравенством Минковского, имеем

т.е. a l2.

Свойство (2) означает, что для любого ε > 0 найдется номер N(ε) такой, что при всех k > n(ε) выполнено

ρ(xk , a) ≤ ε,

т.е. xk → a в метрике l2.

Таким образом, мы доказали, что пространство l2 полно.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Сформулировать и доказать критерий Коши сходимости последовательности точек в метрическом пространстве (X, ρ).

4.2.Принцип вложенных шаров

ТЕОРЕМА 4.2. Для того, чтобы метрическое пространство (X, ρ) было полным необходимо и достаточно, чтобы в нем всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение.

Доказательство. Необходимость. Предположим, что (X, ρ) полно. Рассмотрим произвольную последовательность замкнутых шаров

B1 B2 . . . Bk . . .

с радиусами rk → 0. Пусть xk – центр шара Bk. Так как при m > n выполнено Bn Bm, то ρ(xn, xm) ≤ rn. Тем самым, последовательность центров {xk} фундаментальна. Од-

нако, (X, ρ) полно и потому найдется точка a X такая, что

xk → a.

Точка a обязана принадлежать ∩∞k=1Bk. Действительно, по условию, Bn Bn+1 . . . и шар Bn содержит все точки последовательности {xk} за исключением, быть может, точек x1, x2, . . . , xn−1. Тем самым, a – предельная точка каждого из шаров Bn. Но все Bn замкнуты, а потому a Bn при всех

n= 1, 2, . . . . Отсюда, a ∩∞k=1Bk и множество ∩∞k=1Bk = . Достаточность. Пусть {xk} – произвольная фундаменталь-

ная последовательность в (X, ρ). Требуется доказать, что {xk} сходится к некоторой точке a X. В силу фундаментальности последовательности, мы можем найти такую точку xk1

этой последовательности, что ρ(xk, xk1 ) < 12 при всех k ≥ k1. Будем считать точку xk1 центром замкнутого шара радиуса 1. Обозначим этот шар через B1. Выберем теперь xk2 из последовательности {xk} так, чтобы при k2 > k1 выполнялось ρ(xk, xk2 ) < 212 при всех k > k2. Примем xk2 за центр

Фиксируем замкнутый шар Bn+1 радиуса 21n с центром в точке xkn+1 . Продолжим этот процесс неограниченно. Так как для любого y Bn+1 выполнено

ρ(y, xkn ) ≤ ρ(y, xkn+1 ) + ρ(xkn+1 , xkn ) ≤

≤ 21n + 21n = 2n1−1 ,

Bk.

Согласно условию теоремы ∩∞k=1Bk = . Пусть a ∩∞k=1Bk. Ясно, что a = limn→∞ xkn . Но последовательность {xk} фун-

даментальна, а потому и вся последовательность {xk} сходится к a. Теорема доказана.

УПРАЖНЕНИЕ 2. Привести пример, показывающий, что условие стремления радиусов к нулю существенно для справедливости теоремы.

4.3.Свойства полного метрического пространства

ТЕОРЕМА 4.3. Никакое полное метрическое пространство (X, ρ) не может быть представлено в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств.

B0 X – произвольный замкнутый шар радиуса 1. Так как M1 не плотно в B0, то существует замкнутый шар B1 радиуса, не превосходящего 12 , такой, что B1 B0 и B1 ∩ M1 = . Так как множество не плотно в B1, то найдется замкнутый шар B2 B1, для которого M2 ∩ B2 = и радиус B2 не превосходит 13 . Продолжая процесс неограниченно, получаем последовательность вложенных один в другой замкнутых шаров

B0 B1 . . . Bn ...,

668 Глава 22. Элементы теории множеств и метрических пространств

радиусы которых стремятся к нулю и Bn ∩ Mn = . Согласно принципу вложенных шаров и, в силу полноты (X, ρ), пе-

ресечение ∩∞n=1Bn = , т.е. найдется точка x ∩∞n=1Bn. Но точка x не принадлежит ни одному из Mn (n = 1, 2, . . .), по

воречие.

УПРАЖНЕНИЕ 3. Всякое полное метрическое пространство, не имеюще изолированных точек, несчетно. (Докажите!)

4.4.Пополнение пространства

Опишем стандартную процедуру, превращающую неполное метрическое пространство (X, ρ) в полное посредством добавления к (X, ρ) некоторых элементов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2. Пусть (X, ρ) – метрическое пространство. Полное метрическое пространство (X , ρ ) называется пополнением пространства (X, ρ), если

i)(X, ρ) является подпространством пространства (X , ρ ), т.е. X X и ρ(x, y) = ρ (x, y) при всех x, y X.

ii)X всюду плотно в X т.е. [X] = X .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.3. Два метрических пространства (X , ρ ) и (X , ρ ) называются изометричными, если суще-

ствует взаимно однозначное отображение ϕ : X → X такое, что ϕ(X ) = X и

ρ(x, y) = ρ(ϕ(x), ϕ(y)) при всех x, y X .

ТЕОРЕМА 4.4. Если (X , ρ ) и (X , ρ ) – два различных пополнения метрического пространства (X, ρ), то (X , ρ ) и (X , ρ ) изометричны между собой.

Доказательство. Пусть x – произвольная точка X . По определению пополнения, существует последовательность {xn} точек из X такая, что xn → x . Точки x принадлежат также X , поскольку X есть также пополнение X. Так как X

полно, то последовательность {xn} сходится к некоторой точке x X . Положим

ϕ(x ) = x .

Ясно, что x , а, следовательно, и отображение ϕ, определены однозначным образом. Покажем, что ϕ является изометрическим отображением X на X .

Прежде всего заметим, что для произвольной точки x X выполнено ϕ(x) = x. Так как всякая точка x X имет прообраз x X , то ϕ является отображением "на". Проверим изометричность ϕ.

Пусть

Мы имеем

= lim ρ (xn, yn) = ρ (x , y ).

n→∞

Теорема доказана полностью.

ТЕОРЕМА 4.5. Всякое метрическое пространство (X, ρ) имеет пополнение (X , ρ ).

Доказательство. Опишем сперва конструкцию пространства (X , ρ ). Будем говорить, что две фундаментальные последовательности точек {xn} и xn из X эквивалентны, если

lim (xn, xn) = 0.

n→∞

Легко видеть, что

i){xn} {xn} (рефлексивность);

ii)если {xn} {xn}, то {xn} {xn} (симметричность);

iii)если {xn} {xn} и {xn} {xn}, то {xn} {xn} (транзитивность).

Таким образом, все фундаментальные последовательности, которые можно составить из точек пространства X, распадаются на классы эквивалентных между собой последовательностей.

Определим пространство (X , ρ ) следующим образом. За точки в (X , ρ ) мы примем всевозможные классы эквивалентных между собой фундаментальных последовательностей, а под расстоянием ρ будем понимать следующую величину. Пусть X , y X . Выберем в каждом из классов эквивалентности x , y по одному представлению, т.е. по одной фундаментальной последовательности {xn} и {yn}. Положим

Докажем корректность определения предела ρ . Покажем,

что предел (3) не зависит от выбора представителей {xn} x

и {yn} y .

{xn} и {yn} фундаментальны, то на основании аксиомы треугольника для достаточно больших m и n можно записать

Таким образом, последовательность чисел ρn = ρ(xn, yn) фундаментальна, и предел (3) существует.

Этот предел не зависит от выбора представителей {xn} и

{yn} в классах эквивалентности x и y . Действительно, пусть

{xn}, {xn} x и {yn}, {yn} y . В точности, как и (4), находим

|ρ(xn, yn) − ρ(xn, yn)| ≤ ρ(xn, xn) + ρ(yn, yn).

Но {xn} {xn} и {yn} {yn}, и потому

ρ(xn, xn) → 0 и ρ(yn, yn) → 0.

Тем самым,

|ρ(xn, yn) − ρ(xn, yn)| → 0 при n → ∞,

т.е.

и предел (3) не зависит от выбора конкретных представителей из классов эквивалентности x и y .

Покажем, что посредством соотношения действительно вводится метрика ρ . Другими словами, нам надо доказать, что (X , ρ ) является метрическим пространством.

Выполнение аксиома тождества: ρ (x , y ) x = y следует из определения эквивалентности.

Выполнение аксиомы симметрии: ρ (x , y ) = ρ (y , x ) очевидно.

Аксиома треугольника для ρ следует из аксиомы треугольника для ρ. Действительно, пусть {xn} x , {yn} y , {zn} z . Тогда

ρ(xn, zn) ≤ ρ(xn, yn) + ρ(yn, zn)

и, переходя к пределу при n → ∞, находим

т.е.

ρ (x , z ) ≤ ρ (x , y ) + ρ (y , z ).