матан

Ясно, что это множество находится во взаимно однозначном соответствии с множеством точек вида

{0, b1 b2 b3 . . .},

где b1, b2, . . . могут принимать значения 0 или 1, т.е. множеством всех двоичных дробей y, 0 ≤ y ≤ 1.

Каждая такая двоичная дробь y однозначным образом соответствует точке отрезка [0, 1] и наоборот, каждая точка этого отрезка может быть записана, (вообще говоря, не единственным образом) в виде двоичной дроби. Следовательно, множество двоичных дробей, а, тем самым, и множество F , имеют мощность не меньшую, чем C. Однако, F есть часть отрезка [0, 1] и его мощность не превосходит C, т.е. m(F ) = C. Теорема доказана.

УПРАЖНЕНИЕ 11.

1. Сумма длин удаленных интервалов из отрезка [0, 1] равна

13 + 29 + 274 + . . . = 1.

Проверить с помощью калькулятора правдоподобность данного утверждения.

2. Попытаться дать строгое доказательство этому равенству.

ЗАМЕЧАНИЕ. Множество удаленных при построении F интервалов счетно. Следовательно, счетно и множество их концов. Таким образом, канторово множество F содержит не только концы таких интервалов.

2.7.Замечания о двоичных дробях

Возможно, следующие комментарии относительно двоичных дробей не будут излишними.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.10. Двоичными дробями называются бесконечные суммы вида

Мы будем обозначать такие суммы символом 0, a1 a2 a3 . . ..

Всякое число x [0, 1] допускает представление в форме

x = 0, a1 a2 . . . .

Это представление единственно в случае, когда x не является

Число

π(Ξ) = sup π(x, Ξ)

x X

называется кратностью покрытия Ξ.

Теоремы о покрытиях играют важную роль во многих вопросах современной математики. Как правило, их доказательства весьма нетривиальны. Мы докажем здесь только одну из таких теорем.

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть E – ограниченное подмножество Rn. Предположим, что для всякой точки x E имеется шар B {B(x, r(x))}x E. Тогда существует последова-

тельность шаров {Bk}∞ , Bk {B(x, r(x))}x E, такая,

∞ k=1

что E k=1Bk и ее кратность

π ({Bk}∞k=1) ≤ N(n).

Здесь N(n) – некоторая постоянная, зависящая только от n.

Доказательство. Пусть a0 = supx E r(x). Если a0 = ∞, то мы можем покрыть E одним шаром. Таким образом, мы впра-

берем шар B1 = B(x1, r(x1)) с центром в точке x1 E, для которого

r(x1) > q a0.

Пусть a1 = supx E\B1 r(x). Ясно, что a1 ≤ a0. Выберем B2 = B(x2, r(x2)), для которого

x2 E \ B1 и r(x2) > q a1.

Продолжим указанный процесс неограниченно. Предположим, что точки x1, x2, . . . , xm уже выбраны. Если

E \ mk=1Bk = ,

то процесс выбора считаем оконченным. В противном случае мы полагаем

am = sup r(x)

x E\mk=1Bk

и выбираем xm+1 E \ mk=1Bk так, чтобы r(xm+1) > q am.

Если процесс выбора заканчивается после конечного числа шагов, то мы получаем конечный набор шаров {Bk}, в противном случае набор {Bk} бесконечен. Опишем некоторые его

654 Глава 22. Элементы теории множеств и метрических пространств

свойства, следуя методу конструирования. Во-первых, заметим, что

и

. . . . . . . . . . . . ,

qam < r(xm+1) ≤ am,

. . . . . . . . . . . . ,

(2)

qa1 < r(x2) ≤ a1,

qa0 < r(x1) ≤ a0.

Во-вторых, пусть Bp и Bs – шары из семейства {Bk}. Тогда имеет место альтернатива:

(α) либо xp / Bs = B(xs, r(xs)) и xs / Bp = B(xp, r(xp));

(β) либо один из центров, например, xp принадлежит шару

Bs, p < s.

В случае (β) из (1) и (2) следует, что

В третьих, наряду с шарами Bk = B(xk, r(xk)) рассмотрим

|xp − xs| < 1 − q2r(xp) + 1 − q2r(xs) ≤

≤ 2 1 − q2 max{r(xp), r(xs)}.

Однако, в случае (α) выполнено

|xp − xs| ≥ max{r(xp), r(xs)},

а в случае (β), согласно (3), мы получаем

|xp − xs| > min{r(xp), r(xs)} = r(xp) > > qr(xs) = q max{r(xp), r(xs)}.

Поскольку q (2/ 5, 1), то 2 1 − q2 < q и, следовательно,

|xp − xs| ≤ 2 1 − q2 max{r(xp), r(xs)} <

< q max{r(xp), r(xs)}.

Таким образом, предположение bp ∩ bs = влечет противоречие и шары bp и bs не пересекаются.

В четвертых, мы покажем, что

Предположим, что имеет место противное, т.е. существует постоянная c > 0 такая, что am → c. Тогда из (2) вытекает, что

am ≥ c (m = 0, 1, 2, . . .). Тем самым, r(xm) ≥ qc при всех m = 0, 1, 2, . . . и существует бесконечная последовательность

попарно непересекающихся шаров {bk} с радиусами

r(xk) 1 − q2 ≥ qc 1 − q2 > 0

ицентрами, лежащими в ограниченном множестве E. Так как

r(xk) 1 − q2 ≤ a0 1 − q2,

то все шары bk лежат в некотором шаре радиуса

d = diam E + 2a0 1 − q2,

т.е. имется бесконечная последовательность шаров, радиусов

не менее чем qc 1 − q2, лежащих внутри некоторого шара радиуса d < ∞. Ясно, что это невозможно и соотношение (4) доказано.

Покажем, что E ∞k=1Bk. Предположим, что имеет место

противное, т.е. E \ ∞k=1Bk = . Пусть x˜ E \ ∞k=1Bk. Тогда, согласно (4), для достаточно больших m имеем

am = sup r(x) < r(˜x).

x E\ mk=1Bk

Однако, x˜ E \ ∞k=1Bk. Таким образом, x˜ E \ mk=1Bk. Отсюда, am ≥ r(˜x), что невозможно.

Оценим кратность покрытия {Bk}∞k=1. Прежде всего заме-

Во-вторых, если имеет место (β), то для любого y / bp

−→ −→

мы можем оценить угол между векторами yxp, yxs. Простые

658Глава 22. Элементы теории множеств и метрических пространств

3.2.Размерность по Минковскому

Пусть E Rn – непустое ограниченное множество. Фиксируем 0 < ε < ∞ и обозначим через N(E, ε) наименьшее число шаров радиусов r ≤ ε нужное для покрытия E, т.е.

N(E, ε) = min{k : E ki=1B(xi, r(xi)) для которых xi Rn}.

Верхняя и нижняя размерности Минковского6 множества E

определяются выражениями

dimM (E) = inf{s : lim sup N(E, ε)εs = 0}

ε→0

и

dimM (E) = inf{s : lim inf N(E, ε)εs = 0}.

ε→0

Ясно, что7

dimM (E) ≤ dimM (E).

Можно доказать, что

dimM (E) = lim sup log N(E, ε)

ε→0

и

dimM (E) = lim inf log N(E, ε)

ε→0

(попробуйте это сделать самостоятельно!).

УПРАЖНЕНИЕ 1. Найти верхнюю и нижнюю размерности отрезка [a, b] прямой линии и прямоугольника [a, b]×[c, d]

двумерной плоскости в R3.

УПРАЖНЕНИЕ 2. Найти верхнюю и нижнюю размерности канторова множества F , построенного выше.

УПРАЖНЕНИЕ 3. Попробуйте определить верхнюю и нижнюю размерности неограниченных множеств.

6Минковский Герман – знаменитый математик, родился 22.06.1864 в Каунасе, Литва, умер 12.01.1909 в Геттингене, Германия.

7Простой пример множества E Rn, для которого

dimM (E) < dimM (E)

см. в разделе 5 монографии P. Mattila, Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 44, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.

Попытайтесь построить подобный пример самостоятельно.

Мы будем писать

Hh(E) = Hα(E)

и говорить, что Hα(E) есть α-мера Хаусдорфа множества

E X.

Пусть E X и Hs(E) < ∞, s ≥ 0. Фиксируем t, s < t < ∞ и q > 0. Существуют шары

Bk = B(xk, r(xk))

такие, что

rk = r(xk) < q, E ∞k=1Bk

и

∞

(E) + 1.

k=1

Тогда имеем

Ht(E) ≤ c(t)rkt =

≤ cc((st))qt−s (Hs(E) + 1) .

Если показатель q → 0, то мы получаем Ht(E) = 0. Таким образом, доказано следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 3.4. Пусть E – множество в метрическом пространстве (X, ρ) и 0 ≤ s < t < ∞. Если Hs(E) < ∞, то Ht(E) = 0.

Теперь мы имеем возможность определить хаусдорфову размерность dimH множества E X,

dimH (E) ≡ inf{0 ≤ α < ∞ : Hα(E) = 0}.

Можно доказать, что

dimH (E) = k

для произвольного открытого подмножества E S любой k-мерной гладкой поверхности S в Rn, 1 ≤ k ≤ n.

Величина dimH (E) не обязана быть целым числом. Для всякого α, 0 ≤ α < n, имеются подмножества E пространства