матан

Предположим противное. Пусть между элементами u, v, . . .

множества A и какими-то элементами U, V, . . . множества (т.е. подмножествами ) установлено взаимно однозначное соответствие

u ↔ U, v ↔ V, . . . .

Покажем, что найдется подмножество в A (т.е. элемент ), которое не соответствует никакому элементу A. Пусть X – совокупность элементов из A, не входящих в те подмножества, которые им соответствуют. Более точно, если u ↔ U и u U, то элемент u мы включаем в X. Ясно, что X есть подмножество в A и, в частности, элемент . Покажем, что подмножеству X не может соответствовать никакой элемент из A.

Допустим, что существует x ↔ X. Если x X, то, по определению, X есть элемент X. Противоречие. Если же x X, то, по определению, X есть элемент, не принадлежащий X. Опять противоречие. Теорема доказана.

СЛЕДСТВИЕ. Множество всех вещественных функций, заданных на отрезке [0, 1], имеет мощность, большую чем C.

Доказательство. Пусть χE(x) – характеристическая функция множества E [0, 1], т.е.

E ↔ χE(x). Множество всевозможных подмножеств отрезка [0, 1] имеет мощность, большую чем C. Следовательно, множество всех вещественных функций на [0, 1] также имеет мощность, большую чем C.

Проблема !!! Cуществуют ли множества, имеющие мощность, промежуточную между счетной и континуальной?

Данная проблема упирается в логические и философские первоосновы математики. Ответа, удовлетворяющего всех математиков, в настоящее время не имеется. Заинтересованным читателям мы рекомендуем следующую литературу.

1.Н.Н. Лузин, Собрание сочинений. Т.1. Метрическая теория функций и теория функций комплексного переменного, М.: Изд-во АН СССР, 1953.

2.Н.Я. Виленкин, Рассказы о множествах, М.: Наука, 1965.

3.П.Д. Коэн, Теория множеств и континуум гипотеза, М.:Наука, 1969.

§2. Метрические пространства

Метрическим пространством называется пара (X, ρ), состоящая из некоторого множества X и однозначной, неотрицательной функции ρ, определенной на декартовом произведении X × X и удовлетворяющей условиям:

i)ρ(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y (аксиома тождества);

ii)ρ(x, y) = ρ(y, x) для всех x, y X (аксиома симметрии);

iii)ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) (аксиома треугольника).

Функция ρ называется в данном случае расстоянием (или метрикой) в пространстве (X, ρ).

2.1.Точки прикосновения. Замыкание

Пусть (X, ρ) – метрическое пространство. Открытым шаром в пространстве (X, ρ) с центром в точке x0 X и радиусом r > 0 называется множество

B(x0, r) = {x X : ρ(x0, x) < r}.

Открытый шар радиуса ε > 0 с центром в x0 X будем называть также ε-окрестностью точки x0 и обозначать символом

Oε(x0).

ПРИМЕР 1. Пусть X – множество, состоящее из трех точек в плоскости R2 :

a = (0, 0), b = (0, 1) и c = (1, 0);

и пусть ρ(x, y) – стандартное (евклидово) расстояние между точками x, y X. Аксиомы i), ii), iii) метрики в данном случае, очевидно, выполнены и мы имеем метрическое пространство (X, ρ).

Легко видеть, что здесь

√

B(a, 1) B(c, 2),

√

т.е. шар радиуса 1 содержит внутри себя шар радиуса 2.

УПРАЖНЕНИЕ 1.

1.Прочитать главу IV части первой из книги Ярослава Гашека "Похождения бравого солдата Швейка".

2.Рассмотреть утверждение профессора из сумасшедшего дома, доказывавшего, что "внутри земного шара имеется другой шар, значительно больше наружного".

3.Имеются ли логические противоречия в данном высказывании?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Пусть M – множество в метрическом пространстве (X, ρ). Точка x X называется точкой прикосновения множества M, если всякая ее окрестность содержит хотя бы одну точку из M. Совокупность всех точек прикосновения множества M обозначается через [M] и называется замыканием M.

ПРИМЕР 2. Пусть (X, ρ) = R и множество

M = (0, 1) {2}.

Здесь имеем

[M] = [0, 1] {2}.

ТЕОРЕМА 2.1. Справедливы следующие высказывания:

a)M [M];

b)[[M]] = [M];

c)если M1 M2, то [M1] [M2];

d)[M1 M2] = [M1] [M2].

Доказательство. Так как всякая точка x M является точкой прикосновения M, то, очевидно, M [M] и свойство a) действительно имеет место.

Докажем b). По свойству a) имеем [M] [[M]]. Нам достаточно показать, что [[M]] [M]. Пусть x [[M]]. Тогда в любой окрестности Oε(x) найдется точка x1 [M]. Положим

ε1 = ε − ρ(x, x1).

Ясно, что ε1 > 0.

Рассмотрим шар Oε1 (x1). Этот шар лежит внутри шара Oε(x). Действительно, если z Oε1 (x1), то ρ(z, x1) < ε1. Так как

ρ(x, x1) = ε − ε1,

то по аксиоме треугольника

ρ(z, x) < ρ(z, x1) + ρ(x1, x) < ε1 + ε − ε1 = ε

и z Oε(x).

Поскольку x1 [M], то в Oε1 (x1) найдется точка x2 M.

Но Oε1 (x1) Oε(x), и потому x2 Oε(x). Так как Oε(x) – произвольная окрестность точки x, то x [M] и свойство b)

доказано.

Высказывание c) очевидно.

Докажем d). Пусть x [M1 M2]. В любой окрестности Oε(x) имеются точки из M1 M2. Значит, либо x [M1], либо x [M2]. Следовательно,

[M1 M2] ([M1] [M2]) .

Проверим обратное включение. Пусть x ([M1] [M2]). Тогда или x [M1], или x [M2]. Предположим, к примеру, что x [M1]. Так как M1 (M1 M2), то по свойству c) имеем [M1] [M1 M2]. Значит, x [M1 M2] и

([M1] [M2]) [M1 M2].

Свойство d) доказано полностью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Точка x X называется предельной точкой (точкой сгущения) множества M метрического пространства (X, ρ), если всякая ее окрестность содержит бесконечно много точек из M.

ПРИМЕР 3. Пусть (X, ρ) = R и M = (0, 1) {2}. Множество точек сгущения множества M совпадает с [0, 1].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. Точка x M называется изолированной точкой M, если в некоторой окрестности Oε(x) имеется разве лишь конечное число точек из M.

ПРИМЕР 4. Пусть (X, ρ) = R и M = (0, 1) {2}. Точка {2} – изолированная точка M и других изолированных точек у множества не имеется.

ПРИМЕР 5. Рассмотрим множество всех точек числовой прямой, снабженное метрикой

Легко видеть, что всякая точка данного метрического пространства является изолированной.

УПРАЖНЕНИЕ 2. Доказать, что всякая точка прикосновения множества M является либо предельной точкой M, либо изолированной точкой M.

УПРАЖНЕНИЕ 3. Замыкание [M] множества состоит, вообще говоря, из точек трех типов: a) изолированных точек M; b) предельных точек M, принадлежащих M; c) предельных точек M, не принадлежащих M.

2.2.Сходимость в метрическом пространстве

Пусть (X, ρ) – метрическое пространство и {xk}∞k=1 – некоторая последовательность точек в нем.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4. Последовательность {xk} сходится к точке x X, если для любого ε > 0 найдется число N(ε) такое, что при всех k > N(ε) выполнено ρ(x, xk) < ε.

Точка x называется в этом случае пределом последовательности {xk}.

УПРАЖНЕНИЕ 4. Доказать, что никакая последовательность не может иметь двух различных пределов.

УПРАЖНЕНИЕ 5. Доказать, что если {xk} сходится к x, то всякая ее подпоследовательность {xk } также сходится к x.

ТЕОРЕМА 2.2. Для того, чтобы точка x была точкой прикосновения множества M, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность {xk} точек из M, сходящаяся к x.

Доказательство. Необходимость. Пусть x – точка прикосно-

вения M. Тогда в каждой окрестности O1 (x) (k = 1, 2, . . .)

k

содержится хотя бы одна точка xk M. Последовательность {xk} сходится к x.

Достаточность. Пусть {xk} сходится к x. Тогда ρ(xk, x) → 0 и в любой окрестности точки x имеются точки xk M. Значит, точка x является точкой прикосновения M, и теорема доказана.

УПРАЖНЕНИЕ 6. Доказать, что для того, чтобы x была предельной точка множества M, необходимо и достаточно, чтобы в M существовала последовательность попарно различных точек, сходящаяся к x.

2.3.Плотные подмножества. Сепарабельность

Пусть (X, ρ) – метрическое пространство и пусть A, B – подмножества X.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.5. Множество A называется плотным в B, если [A] B.

Множество A называется всюду плотным в X, если [A] совпадает с X.

Множество A называется нигде не плотным в X, если A не плотно ни в каком шаре, содержащемся в X.

ПРИМЕР 6. Пусть (X, ρ) = R. Множество рациональных чисел Q всюду плотно в R. Множество натуральных чисел N нигде не плотно в R.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.6. Метрическое пространство (X, ρ) называется сепарабельным, если оно имеет счетное всюду плотное подмножество.

УПРАЖНЕНИЕ 7. Множество A в метрическом пространстве (X, ρ) нигде не плотно в (X, ρ), если в каждом шаре B X содержится другой шар B , не имеющий с A ни одной общей точки. (Проверить!)

УПРАЖНЕНИЕ 8. Доказать, что пространство (X, ρ) = R сепарабельно.

УПРАЖНЕНИЕ 9. Доказать (или разобрать доказательство в другом учебнике), что метрическое пространство (X, ρ), указанное в примере 5, несепарабельно.

2.4.Простейшие свойства замкнутых и открытых множеств

Пусть (X, ρ) – метрическое пространство и M X – некоторое множество.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.7. Множество M называется замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения, т.е.

[M] = M.

Легко доказать, что множество M замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки, т.е. наше определение согласуется с определением замкнутого множества, данным ранее для Rn. В частности, для всякого мно-

жества M X выполнено M = [M], где символом M обозначено множество предельных точек M в X. Мы предполагаем, что доказательство этого факта может быть проделано самостоятельно.

ТЕОРЕМА 2.3. Пересечение любого числа и сумма конечного числа замкнутых множеств суть снова замкнутое множество.

Доказательство. Пусть

F = ∩αFα,

где каждое из множеств Fα замкнуто. Пусть x [F ]. Это означает, что всякая ее окрестность Oε(x) содержит хотя бы одну точку из F . Тогда Oε(x) содержит хотя бы одну точку в кождом из Fα. Поскольку множества Fα замкнуты, то x Fα при всех α. Тем самым, x F , т.е. [F ] = F и F замкнуто.

Пусть

F = nk=1Fk,

где Fk – замкнуты. Предположим, что x F и покажем, что x не может быть точкой прикосновения F . Действительно, x не принадлежит ни одному из множеств Fk и потому не является точкой прикосновения ни для одного из Fk. Следовательно, для любого k можно найти такую окрестность Oεk (x) точки x, которая содержит разве лишь конечное число точек Fk. Выбирая из окрестностей

Oε1 (x), Oε2 (x), . . . , Oεn (x)

наименьшую, мы найдем окрестность Oε(x) точки x, которая содержит не более конечного числа точек из F .

Таким образом, если точка x F , то она не может быть точкой прикосновения множества F , т.е. множество F замкнуто. Теорема доказана.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.8. Точка x называется внутренней точкой множества M, если существует ее окрестность Oε(x) та-

кая, что Oε(x) M.

Множество, все точки которого являются внутренними, называется открытым множеством.

ПРИМЕР 7. Открытый шар B(a, r) = {x X : ρ(a, x) < r}

в любом метрическом пространстве (X, ρ) является открытым множеством. Действительно, пусть x B(a, r). Тогда ρ(x, a) < r. Выберем ε = r−ρ(x, a) и рассмотрим шар B(x, ε). Для всякого y B(x, ε) выполнено

ρ(a, y) ≤ ρ(a, x) + ρ(x, y) < ρ(a, x) + ε = r.

Тем самым,

B(x, ε) = Oε(x) B(a, r)

и множество B(a, r) открыто.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.9. Пусть G — открытое подмножество X. Точка x X называется граничной точкой G, если в любой окрестности x имеются как принадлежащие G, так и не принадлежащие G точки.

Совокупность всех граничных точек G называется границей G и обозначается ∂G.

УПРАЖНЕНИЕ 10. Границей шара B(x, r) X является ограничивающая его сфера S(a, r) = {x X : ρ(a, x) = r} (доказать!).

ТЕОРЕМА 2.4. Для того, чтобы множество M в метрическом пространстве (X, ρ) было открытым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение X \ M было замкнутым.

Доказательство. Если M открыто, то каждая точка x M имеет окрестность Oε(x) M, т.е.

Oε(x) (X \ M) = .

Следовательно, ни одна из точек x M не может быть точкой прикосновения X \ M, т.е. X \ M замкнуто.

Обратно, если X \ M замкнуто, то множество M не содержит точек прикосновения множества X \ M. Следовательно, всякая точка x M имеет окрестность Oε(x) M, т.е. M замкнуто.

СЛЕДСТВИЕ. Пустое множество и все метрическое пространство (X, ρ) одновременно замкнуты и открыты.

Доказательство. Достаточно заметить, что и X замкнуты по определению, а их дополнения X \ = X и X \ X = также замкнуты.

ТЕОРЕМА 2.5. Сумма любого (конечного или бесконечного) числа и пересечение конечного числа открытых множеств суть открытые множества.

Доказать самостоятельно с использованием соответствующей теоремы для замкнутых множеств.

2.5.Строение открытых и замкнутых подмножеств прямой

ТЕОРЕМА 2.6. Всякое открытое подмножество прямой R является суммой конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов.

Доказательство. Пусть M R – произвольное открытое множество и x M – произвольная точка. По определению открытого множества найдется интервал, содержащий x и содержащийся в M. Обозначим через Ix объединение всех таких интервалов. Покажем, что Ix также интервал.

С этой целью положим

(случаи a, b = ±∞ не исключаются). Покажем, что Ix = (a, b).

Действительно, легко видеть, что Ix (a, b). Обратно, пусть y (a, b) – произвольная точка. Нам надо доказать, что y Ix. Пусть a < y < x. В множестве Ix найдем точку y , a < y < y. Это означает, что в M имеется интервал, содержащий точки y и x. Но тогда он содержит и точку y, а потому

y Ix. Случай x < y < b рассматривается аналогично и в этом случае также y Ix. Точка x Ix по условию. Таким образом, Ix = (a, b).

Итак, интервал (a, b) M и не лежит ни в каком большем интервале, содержащимся в M. Очевидно, что интервалы Ix1 и Ix2 , отвечающие двум различным точкам x1, x2 M, либо совпадают, либо не пересекаются. Любая система попарно непересекающихся интервалов не более чем счетна, поскольку в каждом из них можно выбрать по рациональной точке. Ясно, что объединение таких интервалов составляет все M. Теорема доказана.

СЛЕДСТВИЕ. Всякое замкнутое подмножество числовой прямой R можно получить выбрасыванием из R конечного либо счетного числа интервалов.

Для доказательства достаточно заметить, что дополнение замкнутого множества открыто, и воспользоваться только что доказанной теоремой.

2.6.Канторово множество

Пусть F0 – отрезок [0, 1]. Выбросим из него интервал (13 , 23 )

и обозначим через F1 оставшееся множество. Ясно, что F1 замкнуто.

Выбросим из F1 интервалы (19 , 29 ), (79 , 89 ) и обозначим через F2 оставшееся (очевидно, замкнутое) множество.

В каждом из четырех отрезков выбросим средний интервал длины 313 и т.д.

Продолжая этот процесс неограниченно, получим убывающую последовательность замкнутых множеств

F0 F1 . . . Fk . . . .

Положим

F = ∩∞k=0Fk.

Множество F доставляет типичный пример канторова множества. Оно замкнуто, поскольку является пересечением замкнутых множеств Fk. Множество F получено из отрезка [0, 1] выбрасыванием счетного числа интервалов. Кроме того, это множество самоподобно в том смысле, что его сколь угодно малая часть подобна всему множеству.

Изучим арифметическую природу канторового множества F . Заметим сперва, что для каждой точки x первого из удаленных интервалов (13 , 23 ) при разложении ее в троичную дробь

x = 0, a1 a2 a3 . . . (ak = 0, 1, 2)

необходимо окажется a1 = 1.

Концы этого интервала допускают каждый по два представления троичными дробями

Все остальные точки отрезка [0, 1] при разложении в троичную дробь не могут иметь на первом месте после запятой 1.

Итак, на первом шаге построения множества F из отрезка [0, 1] удаляются те и только те точки, первый троичный знак которых (после запятой), необходимо есть цифра 1.

Аналогичным образом проверяется, что на втором шаге удаляются те и только те точки, второй троичный знак которых необходимо есть цифра 1 и т.д.

Тем самым, после окончания процесса останутся неудаленными те и только те точки, которые могут изображаться троичной дробью вида

0, a1 a2 a3 . . . ,

в которой ни одна из цифр ak не равна 1.

Вывод. Удаленные множества состоят из точек, троичные разложения которых невозможны без использования цифры 1, а оставшееся множество F состоит из точек, для которых такие разложения возможны.

ТЕОРЕМА 2.7. Канторово множество F имеет мощность C.

Доказательство. Множество F есть множество точек вида

{0, a1 a2 a3 . . .},

где a1, a2, . . . могут принимать значения 0 или 2.