матан

площади θ, тем самым, имеем

ϕ (θ) = p2 + q2 + r2 du dv,

где ϕ есть парметризация поверхности S.

Таким образом, если в каждой точке ориентированной поверхности S единичный вектор нормали имеет компоненты cos α, cos β, cos γ, то форма элемента площади S есть

cos α dy dz + cos β dz dx + cos γ dx dy.

Для доказательства достаточно заметить, что

dy dz = p du dv, dz dx = q du dv, dx dy = r du dv.

ПРИМЕР 2. Рассмотрим одномерную ориентированную кривую Γ, погруженную в пространство R3. Найдем ее элемент длины дуги. Это есть дифференциальная 1-форма, заданная вдоль кривой. Предположим, что кривая задается C1-уравнениями

x = x(t), y = y(t), z = z(t).

Так как кривая погружена, то производные x (t), y (t), z (t) не обращаются в нуль одновременно.

В предположении, что ориентация Γ соответствует возрастанию параметра t, элемента длины дуги имеет вид

x 2 + y 2 + z 2 dt.

632 Глава 21. Внешние дифференциальные формы

Если же эта кривая лежит на поверхности S R3, параметризованной параметрами u и v как в предыдущем примере, то данная кривая определяется заданием u и v как функций параметра t. Элемент длины в таком случае вычисляется

по формуле

E u 2 + 2F u v + G v 2 dt,

где E, F и G суть коэффициенты первой квадратичной формы поверхности S.

С другой стороны, если мы знаем коэффициенты E, F , G, то мы можем вычислить элемент площади поверхности S по

(bc − cb )2 + (ca − ac )2 + (ab − ba )2 =

= (a2 + b2 + c2)(a 2 + b 2 + c 2) − (aa + bb + cc )2,

имеем

p2 + q2 + r2 = EG − F 2

и потому для элемента 2-мерной площади S находим

EG − F 2 du dv.

Таким образом, знание элемента длины на поверхности поз-

воляет определить (с точностью до знака) форму площади.

8.4.Формула Стокса

Теперь уже можно сформулировать обобщенную интегральную теорему Стокса, ранее доказанную нами для случая двумерных поверхностей в R3.

ТЕОРЕМА 8.1. Пусть S — m-мерная ориентируемая поверхность в Rn, 1 ≤ m ≤ n − 1, класса Cr, r ≥ 1, с

кусочно-гладким краем ∂S. Тогда для всякой дифференциальной формы θ, deg θ = m − 1, класса C1 выполнено

∂S S

Мы не будем доказывать эту теорему, но отметим два ее частных случая. Пусть n = 3, x, y, z – координаты пространства R3, S R3 – ориентированная двумерная поверхность с

кусочно – гладким краем ∂S. Если

θ= P dx + Q dy + R dz

иP (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) – функции класса C1 на S

∂S, то равенство (2) переписывается в виде

P dx + Q dy + R dz =

Второй случай. Пусть D R3 – область с кусочно – глад-

кой границей ∂D такая, что множество D ∂D – компактно. Пусть

θ = A dy dz + B dz dx + C dx dy,

где A(x, y, z), B(x, y, z), C(x, y, z) – функции класса C1(D). Тогда имеет место формула Гаусса – Остроградского

A dy dz + B dz dx + C dx dy =

∂D

Глава 22

Добавление 1. Элементы теории множеств и метрических пространств

Нашей целью здесь является определение вещественной прямой как пополнения множества рациональных чисел. Попутно мы даем некоторые начальные сведения из теории множеств, теории метрических пространств; вводим понятия меры Хаусдорфа1 и фрактала.

Используемая литература:

1)А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука, 1981.

2)И.П. Натансон, Теория функций вещественной переменной, Москва-Ленинград, ГИТТЛ, 1950.

3)P. Mattila, Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces,

Cambridge Studies in Advanced Mathematics 44, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.

4) Б. Мандельброт, Фрактальная геометрия природы, Москва: Институт компьютерных исследований, 2002.

§1. Сравнение множеств

1.1.Эквивалентность множеств. Мощность множества

Пусть даны два множества A = {a} и B = {b}. Правило ϕ, по которому каждому элементу a A соотнесен один и только один элемент b B, причем каждый элемент b B оказывается соотнесенным одному и только одному a A, называется взаимно однозначным соответствием

между множествами A и B.

1Хаусдорф Феликс – выдающийся немецкий математик, родился 8.11.1868 в Бреслау, Германия (ныне – Вроцлав, Польша), умер 26.01.1942 в Бонне, Германия. Работал в Лейпцигском, Грейсфельдском и Боннском университетах. Получил значительные результаты в теории множеств, топологии, функциональном анализе, теории чисел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Если между множествами A и B можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что эти множества эквивалентны или, что они имеют одинаковую мощность (или равномощны), и пишут A B.

ПРИМЕР 1. Если A и B конечные множества, т.е. множества, состоящие из конечного числа элементов, то они имеют одинаковую мощность в том и только том случае, если они состоят из одинакового числа элементов. (Что есть здесь правило ϕ?)

УПРАЖНЕНИЕ 1. Рассмотрим две концентрические окружности S(0, r) и S(0, R) в плоскости R2. Показать, что

S(0, r) S(0, R).

УПРАЖНЕНИЕ 2. Доказать, что сфера в R3 с исключенным "северным полюсом" и плоскость R2 равномощны.

УПРАЖНЕНИЕ 3. Доказать, что множества N = {n}∞n=1 и M = {2n}∞n=1 имеют одинаковую мощность.

ПРИМЕР 2. Покажем, что отрезок [0, 1] и полуинтервал (0, 1] имеют одну и ту же мощность.

Действительно, рассмотрим строго монотонно убывающую последовательность A = {an}∞n=1 такую, что все an (0, 1) и an → 0. Между множествами (0, 1] \ A и [0, 1] \ A устанавливаем тождественное соответствие, а между множествами

{a1, a2, . . . , an, . . .} и {0, a1, a2, . . . , an, . . .}

устраиваем сдвиг на единицу.

1.2.Счетные множества

Пусть N = {1, 2, . . .} – множество всех натуральных чисел. Всякое множество A, эквивалентное N, называется счетным.

ТЕОРЕМА 1.1. Для того, чтобы множество A было счетным, необходимо и достаточно, чтобы его можно было "перенумеровать", т.е. представить в виде последовательности

Доказательство. Достаточность. Если множество A представимо в виде (1), то каждому его элементу an A соотнесен индекс n N так, что между A и N установлено взаимно однозначное соответствие. Тем самым, A – счетно.

Необходимость. Если A счетно, то существует взаимно однозначное соответствие ϕ между A и N. Обозначим через an

636 Глава 22. Элементы теории множеств и метрических пространств

тот из элементов A, который в соответствии ϕ отвечает числу n. Получаем представление (1).

ТЕОРЕМА 1.2. Во всяком бесконечном множестве A можно выделить счетное множество B.

Доказательство. Выделим в A произвольный элемент a1. Так как A бесконечно, то множество A\{a1} содержит бесконечно много элементов. Выделим в нем a2. Далее, множество A \ {a1, a2} не пусто. Выделим в нем a3. Продолжая указанный процесс неограниченно, найдем последовательность элементов a1, a2, . . . , an, . . ., которая и является искомым множеством B.

ТЕОРЕМА 1.3. Всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно.

Доказательство. Пусть A – счетное множество, а B – его бесконечное подмножество. Расположим A в виде последовательности

a1, a2, . . . , an, . . . .

Будем перебирать один за другим элементы A в порядке их номеров. При этом мы будем время от времени встречать элементы B, и каждый из элементов B обязательно когда-нибудь встретится. Соотнесем каждому элементу B номер "встречи" с ним. Тем самым, мы перенумеруем все точки B, причем, в силу бесконечности B, нам придется на эту нумерацию израсходовать все натуральные числа.

СЛЕДСТВИЕ. Если из счетного множества A удалить конечное подмножество C, то оставшееся множество A\C будет счетным.

ТЕОРЕМА 1.4. Сумма любого конечного или счетного множества счетных множеств есть опять же счетное множество.

Доказательство. Пусть A1, A2, . . . – счетные множества. Можно считать, что эти множества попарно не пересекаются. В противном случае мы могли бы рассмотреть вместо них множества A1, A2 \ A1, A3 \ (A1 ∩ A2), ... , каждое из которых счетно (или конечно), а их сумма будет такой же, что и сумма множеств A1, A2, A3, ... .

Расположим элементы множеств A1, A2, ... в виде следующей таблицы

Будем двигаться в порядке

a11 → a12 → a21 → a31 → a22 → a13 → a14 → a23 → a32 → . . .

(проследите, пожалуйста, этот порядок по таблице !) и нумеровать элементы. Очевидно, все элементы суммы

A1 A2 A3 A4 . . .

будут в результате перенумерованы.

ТЕОРЕМА 1.5. Множество Q всех рациональных чисел счетно.

Доказательство. Действительно, множество всех дробей вида pq с данным знаменателем q, т.е. множество

1q , 2q , 3q , . . . ,

счетно. Но знаменатель может принимать счетное множество натуральных значений 1, 2, 3, . . . и, по предыдущей теореме, множество всевозможных дробей pq счетно. Это озна-

чает, что множество Q+ всех положительных рациональных чисел счетно. Ясно, что множество Q− всех отрицательных рациональных чисел также счетно. Пользуясь еще раз теоремой 1.4, убеждаемся, что множество Q = Q− Q+ счетно.

УПРАЖНЕНИЕ 4. Доказать, что множество всех рациональных чисел, лежащих на отрезке [a, b], счетно.

УПРАЖНЕНИЕ 5. Доказать, что множество всех попарно непересекающихся кругов на плоскости счетно.

638Глава 22. Элементы теории множеств и метрических пространств

1.3.Мощность континуума

ТЕОРЕМА 1.6. Множество всех вещественных чисел, лежащих на отрезке [0, 1], несчетно.

Доказательство. Предположим, что мы смогли перенумеровать все действительные числа отрезка [0, 1], т.е. представить это множество в виде последовательности {αn}∞n=1. Тогда имеем

...

αn = 0, αn1 αn2 αn3 . . . αnn . . .

...

Здесь αij – j-я десятичная цифра числа αi.

Построим дробь β = 0, β1 β2 β3 . . . βn . . . по следующему правилу. В качестве β1 примем любую цифру, отличную от α11, в качестве β2 примем любую цифру, отличную от α22, в

качестве β3 – отличную от α33 и т.д. Число β (0, 1) и не совпадает ни с α1, ни с α2, . . . Противоречие.

Вообще говоря, несовпадение двух десятичных дробей не означает, что дроби изображают разные числа. Для некоторых чисел (а именно, чисел вида p/10q) имеются две разных формы записи: с бесконечным числом нулей или бесконечным числом девяток, например,

12 = 105 = 0, 5000 . . . = 0, 4999 . . .

Тем самым, рассуждения нуждаются в небольшом уточнении. Именно, десятичную дробь β достаточно строить так, чтобы цифры β1, β2, . . . не совпадали ни с нулем, ни с девяткой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Если некоторое множество A эквивалентно отрезку [0, 1], то говорят, что оно имеет мощность континуума (мощность C).

УПРАЖНЕНИЕ 6. Показать, что множества точек отрезка [a, b], интервала (a, b), полуинтервалов (a, b] и [a, b) имеют мощность C.

ТЕОРЕМА 1.7. Сумма конечного или счетного числа попарно непересекающихся множеств мощности C имеет мощность C.

Доказательство. Мы ограничимся случаем счетного числа множеств. В случае конечного числа оно проще. Пусть

S = ∞k=1Ak и Ap ∩ Aq = при p = q,

причем каждое из Ak имеет мощность C.

Выберем на полуинтервале [0, 1) монотонно возрастающую последовательность чисел

c0 = 0 < c1 < c2 < . . . , ck → 1 при k → ∞.

Так как Ak имеет мощность континуума, то оно эквивалентно [ck−1, ck) (см. предыдущий пример). Установим взаимно однозначное соответствие между Ak и [ck−1, ck) для всех k = 1, 2, . . . Тем самым будет установлено взаимно однозначное соответствие между S и [0, 1), т.е. множество S имеет мощность C.

СЛЕДСТВИЕ. Множество всех вещественных чисел R имеет мощность C.

СЛЕДСТВИЕ. Множество всех иррациональных чисел несчетно.

1.4.Критерий эквивалентности множеств

ТЕОРЕМА 1.8. Пусть A и B – произвольная пара множеств. Если в множестве A имеется подмножество A1, эквивалентное B, а в множестве B есть подмножество B1, эквивалентное A, то A и B эквивалентны между собой.

Доказательство. Пусть f – взаимно однозначное отображение множества A на B1, а g – взаимно однозначное отображение B на A1.

Тогда g(f(A)) = g(B1) – множество, эквивалентное A. Мы обозначим его через A2. Ясно, что A2 A1.

Пусть A3 = g(f(A1)). Ясно, что A3 A2. Пусть

A4 = g(f(A2)), A5 = g(f(A3)), . . . , Ak+2 = g(f(Ak)),

где k = 4, 5, . . . . При этом ясно, что

A A1 A2 . . . Ak Ak+1 . . . .

Положим D = ∩∞k=1Ak и представим A в виде суммы попарно непересекающихся множеств

A = (A \ A1) (A1 \ A2) . . . (Ak+1 \ Ak) . . . D.

Аналогично, множество A1 представимо в виде

A1 = (A1 \ A2) . . . (Ak+1 \ Ak) . . . D.

Данные разложения, очевидно, переписываются в виде

A = D ((A1 \ A2) (A3 \ A4) . . .) (A\A1) (A2 \ A3) . . . (2)

и

A1 = D ((A1 \ A2) (A3 \ A4) . . .) ((A2 \ A3) (A4 \ A5) . . .) . (3)

Первые два слагаемых в разложениях (2) и (3) одинаковы. Легко видеть, что между последними слагаемыми можно установить взаимно однозначное соответствие. Действительно, A \ A1 эквивалентно A2 \ A3, поскольку первое из этих множеств переводтися во второе посредством взаимно однозначного соответствия g ◦f. Множество A2 \A3 эквивалентно

A4 \ A5 и т.д.

Таким образом, понятно, что A и A1 эквивалентны. Однако, A1 эквивалентно B по условию. Так что, A B, и теорема доказана.

1.5.Сравнение мощностей

Пусть A и B – множества. Определим их мощности m(A) и m(B) следующим образом. Если A B, то мы полагаем m(A) = m(B). Если A эквивалентно некоторой части B, но при этом в A нет части, эквивалентной B, то пусть m(A) < m(B).

ТЕОРЕМА 1.9. Существуют множества сколь угодно большой мощности. Именно, пусть A – некоторое множество, а – множество, элементами которого являются всевозможные подмножества A. Тогда имеет мощность, большую чем мощность множества A.

Доказательство. Ясно, что m(A) ≤ m( ), поскольку в можно взять все одноэлементные подмножества и получить часть , эквивалентную A. Таким образом, для доказательства теоремы достаточно установить, что в A нет подмножества, эквивалентного .