матан

В соответствии с этим утверждением, выделим конечное покрытие

{V1, V2, . . . , Vm}.

Предположим, что Vi не пересекаются с supp ϕν при ν > νi. Пусть

ν0 = max{ν1, . . . , νm}.

Отметим утверждение, используемое при доказательстве теоремы. Пусть A – произвольное непустое множество в Rn. Положим

Величина d(x, A) является расстоянием от точки x до множества A. Функция d(x, A) непрерывна и, если множество A замкнуто и x / A, то d(x, A) > 0.

ЛЕММА 7.2. Пусть U – открытое множество в Rn. Существует последовательность множеств {Am}∞m=1 со свойствами:

i) каждое из Am компактно;

ii) каждая точка x U имеет окрестность, пересекающуюся лишь с конечным числом множеств Am и

iii) ∞m=1Am = U.

Доказательство. Зафиксируем произвольно точку x0 U. Положим

Gm = {x Rn : m − 1 < |x − x0| < m} m = 1, 2, . . . .

Если U = Rn, то последовательность {Gm} является искомой. Предположим, что U = Rn. Тогда Rn \U не пусто. Обозна-

чим

δ0 = d(x0, Rn \ U).

Пусть

F1 = {x U : d(x, Rn \ U) ≥ δ0}

Пусть, наконец,

Hm,l = Gm ∩ Fl.

Семейство Hm,l счетно. Занумеровав его, мы получим требуемую последовательность компактных множеств.

Действительно, зафиксируем произвольно точку x U. Найдем натуральные числа m и l такие, что m−1 ≤ |x−x0| ≤ m и либо d(x, Rn \ U) ≥ δ0, либо

{x U : l −δ0 1 ≥ d(x, Rn \ U) ≥ δl0 }.

Очевидно, x Gm и x Fl, а потому x Hm,l. В силу произвола в выборе x U это доказывает, что

m,lHm,l = U.

Снова возьмем произвольно точку x U и найдем числа m0 > 2 и l0 > 2, для которых

Положим

δ = min{1, l0 δ−0 1}.

Тогда при m > m0 шар B(x, δ) не пересекается с множеством Gm. При l > 1 имеем

B(x, δ) ∩ Fl = .

Это значит, что

B(x, δ) ∩ Hm,l = ,

если либо m > m0, либо l > l0. Таким образом, шар B(x, δ)

7.7.Доказательство теоремы

Построим сначала вспомогательную последовательность функций ψν со свойствами:

1)каждая из ψν финитна, принадлежит C∞ и существует открытое множество Uξ такое, что supp ψν Uξ;

2)для всякой точки x U найдется окрестность V такая,

что

V ∩ supp ψν =

лишь для конечного числа значений ν;

3) ψν(x) ≥ 0 при всех x Rn и для каждой точки x U найдется ν такое, что ψν(x) > 0.

Последовательность функций {ψν} будем строить по индукции. При этом на каждом шаге будет предъявляться не одна функция ψν, а целый ”кусок” последовательности {ψν}.

Пусть {Am}∞m=1 – последовательность компактных подмножеств открытого множества U, удовлетворяющая условиям леммы 7.2.

Рассмотрим множество Am. Зафиксируем произвольно точку x Am. Поскольку x U, а

U = ξ ΞUξ,

то существует ξx такое, что x Uξx . Но Uξx – открытое множество и потому найдется δ1(x) такое, что шар

B(x, δ1(x)) Uξx .

Положим

1 1

δ(x) = min{m, 2 δ1(x)}.

Пусть Vx = B(x, δ(x)). Замыкание шара Vx, очевидно, содержится в шаре B(x, δ1(x)) Uξx . Каждой из точек x Am сопоставляется таким образом открытое множество Vx со свойством x Vx. Система шаров {Vx}x Am образует открытое покрытие множества Am. Но Am – компакт и потому в нем найдется такой конечный набор точек {x1, x2, . . . , xkm },

что

Am ki=1m Vxi .

Пусть Vxi = B(xi, rm,i). Положим ψm,i = fxi,rm,i , где

fa,r(x) = f(r2 − |x − a|2)

определены в начале предыдущего раздела. Тогда

supp ψm,i Uξxi .

При x Vxi выполнено ψm,i(x) > 0. Поэтому если x Am – произвольно, то существует i такое, что x Vxi , и тем самым,

ψm,i(x) > 0.

Теперь мы можем определить последовательность {ψν}∞ν=1. Положим

ν1 = k1, ψν = ψ1,ν при ν = 1, 2, . . . , ν1.

Предположим, что найдено число νm. Тогда пусть

νm+1 = νm + km+1,

624 Глава 21. Внешние дифференциальные формы

а для ν, удовлетворяющего условию νm < ν ≤ νm+1, пусть

ψ1,1, . . . , ψ1,k1 , ψ2,k1+1, . . . , ψ2,k1+k2 , ψ3,k1+k2+1, . . . .

Покажем, что последовательность {ψν} удовлетворяет условиям 1), 2) и 3) . Выполнение условия 1) ясно из построения. Далее, для всякого x U найдется m такое, что x Am и, значит, существует i, 1 ≤ i ≤ km, такое, что ψm,i(x) > 0 (это было замечено ранее). Условие 3) , следовательно, выполняется.

Покажем, что последовательность {ψν}∞ν=1 обладает свойством 2). Зафиксируем произвольно x0 U. Существуют δ > 0 и m0 такие, что при m > m0 пересечения

B(x0, δ) ∩ Am = .

Пусть m1 ≥ m0 таково, что при m ≥ m1 выполнено m1 < 2δ . Покажем, что при ν > νm1 носитель ψν не пересекает шар

B(x0, δ/2). Действительно, если ν > νm1 , то ψν = ψm,i, где

m ≥ m1. Носитель ψν есть замкнутый шар B(xi, ri), где xi

Am, а ri < m1 < 2δ .

Пусть x B(xi, ri). Здесь xi Am и B(x0, δ) ∩ Am = и потому

δ

|x − x0| ≥ |x0 − xi| − |xi − x| ≥ δ − ri > 2.

Значит, x / B(x0, δ/2) и шары B(x0, δ/2) и

B(xi, ri) = supp ψm,i = supp ψν

не имеют общих точек, что и требуется.

Таким образом, последовательность {ψν}∞ν=1 построена. По-

ложим

∞

ψ0(x) = ψν(x).

ν=1

Функция ψ0 определена и конечна при x U, ψ0(x) > 0 при x U и, кроме того, ψ0(x) C∞.

Действительно, пусть x0 U – произвольно. Тогда, на основании условия 2), найдется окрестность B(x0, δ) U, пересекающаяся с носителями лишь конечного числа функций ψν. Тем самым, найдется m0 такое, что

Отсюда, очевидным образом, следует, что

ψ0(x) < ∞ при всех x B(x0, δ)

и ψ0(x) C∞ в шаре B(x0, δ).

Поскольку x0 – произвольная точка, то тем самым доказа-

но, что ψ0 C∞.

По построению, функция ψν неотрицательна в U и для всех x U существует ψν0 такая, что ψν0 (x) > 0. Отсюда, ψ0(x) > 0 при всех x U.

Положим теперь

ϕν(x) = ψν(x). ψ0(x)

Последовательность функций {ϕν(x)}∞ν=1 является искомой. Действительно, ясно, что ϕν(x) C∞. Далее, очевидно, носитель функции ϕν совпадает с носителем ψν, а потому последовательность {ϕν} удовлетворяет требованиям 1) и 2) тео-

7.8.Следствия

Приведем два часто используемых следствия теоремы.

ТЕОРЕМА 7.2. Пусть A и B – замкнутые подмножества Rn и A ∩ B = . Найдется функция ϕ C∞ такая, что

Доказательство. Если одно из множеств, например, A не пусто, а B = то можно взять ϕ(x) = 1 при x A. Поэтому будем предполагать, что не пусты оба множества.

Пусть U1 = Rn \ A и U2 = Rn \ B. Множества U1, U2 открыты, причем U1 U2 = Rn. Найдем разбиение единицы,

подчиненное семейству множеств {U1, U2}. Пусть

ϕ(x) = ϕν(x),

supp ϕν U1

где суммирование производится по всем ν таким, что supp ϕν U1. Согласно требованию 2) в определении разбиения, всякая точка x Rn имеет окрестность, в которой отлично от нуля лишь конечное число функций ϕν. Отсюда вытекает, что ϕ C∞ в окрестности каждой точки x Rn и, тем самым, ϕ принадлежит классу C∞ в Rn.

Ясно, что ϕ(x) = 0 при всех x B. Покажем, то ϕ(x) = 1 при x A. Действительно, для любых x Rn и, в частности, для всех x A мы имеем

∞

ϕν(x) = 1.

ν=1

Но если supp ϕν не содержится в U1, то supp ϕν U2. Таким образом, все функции, носители которых не содержатся в U1, обращаются в нуль в каждой точке x A. Отсюда при всяком x A имеем

∞

ТЕОРЕМА 7.3. Пусть A Rn – компактное множество, {Uξ} – семейство открытых подмножеств Rn такое, что

A ξ ΞUξ.

Тогда существует конечная система неотрицательных C∞-функций

ϕν, ν = 1, 2, . . . , m,

каждая из которых финитна с носителем, лежащим в одном из множеств Uξ, причем

m

ϕν(x) = 1 при всех x A.

ν=1

Доказательство. Найдем разбиение единицы {ϕν}∞ν=1, подчиненное семейству открытых множеств {Uξ}. Согласно замечанию 7.6 к теореме 7.1, найдется m такое, что при ν > m

Поэтому для произвольной точки x A, очевидно, выполнено

§8. Внешние формы на поверхности

Ниже определяются внешние дифференциальные формы на поверхностях и доказывается центральный результат главы – теорема Стокса.

8.1.Определение формы на поверхности

Предположим, что задано m-мерная поверхность S Rn класса Cr, где r ≥ 1. Говорят, что на S задана внешняя дифференциальная форма θ степени deg θ = l ≤ k класса Cs, s ≤ r − 1, если для всякой локальной параметризации ϕ : D Rm → S найдется внешняя дифференциальная форма θϕ степени l класса Cs в области D. При этом предполагается выполненным следующее условие согласования форм θϕ1 и θϕ2 , соответствующим различным параметризациям.

Именно, пусть

ϕ1 : D1 → S и ϕ2 : D2 → S

– две различных локальных параметризации S, пусть

U1 = ϕ1(D1), U2 = ϕ2(D2),

D1,2 = ϕ−1 1(U1 ∩ U2), D2,1 = ϕ−2 1(U1 ∩ U2)

и пусть ψ = ϕ−2 1 ◦ ϕ1 – отображение перехода от локальной параметризации ϕ1 к параметризации ϕ2. Тогда внешние дифференциальные формы θϕ1 , θϕ2 связаны соотношениями

θϕ1 = ψ θϕ2 ,

где ψ – индуцированное отображение.

Формы θϕ в данном определении суть различные представления формы θ, заданной на поверхности S.

Очевидным образом вводится сумма двух дифференциальных форм одной и той же степени на поверхности S. Мы можем также определить внешнее произведение форм θ1 и θ2 на S, воспользовавшись понятием внешнего произведения форм в евклидовом пространстве. Равным образом мы можем определить дифференциал dθ от формы θ класса Cr, r ≥ 1.

Мы не будем развивать здесь эту теорию. Распространение на формы, определенные на поверхности S, операций над формами, заданных в Rn провести самостоятельно, либо посмотреть в более специализированных учебниках.

8.2.Интеграл от формы по поверхности

Пусть S – компактное множество в Rn являющее собой m- мерную поверхность класса Cr, r ≥ 1. Пусть h1, h2, . . ., hk –

конечная система функций в Rn. Говорят, что система {hi}ki=1 образует разбиение единицы на S, если

i) каждая из функций hi финитна, неотрицательна и принадлежит классу C∞ в Rn;

ii) для любого x S выполнено ki=1 hi(x) = 1.

Чтобы определить интеграл от формы по S, будем рассматривать разбиения единицы специального вида. Именно мы будем предполагать, что для каждого i = 1, 2, . . . , k найдется локальная карта (Ui, ϕi) поверхности S такая, что

iii) (supp hi ∩ S) Ui.

В силу теоремы 7.1 такие разбиения единицы на S существуют. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что семейство открытых множеств {U}, (supp hi ∩S) U, образует покрытие компакта S. Найдем разбиение единицы, подчиненное этому покрытию. Функции разбиения, носители которых пересекаются с S, очевидно, образуют искомое разбиение единицы на поверхности S.

Будем предполагать, что поверхность S ориентируема и задана ее ориентация. Пусть ω – внешняя дифференциальная форма на S класса C0, deg ω = m, с компактным носителем.

D

где форма ϕ (θ) имеет вид

λ(t1, . . . , tm) dt1 . . . dtm

и λ(t) > 0. Поэтому m-мерный объем непустого открытого множества U S всегда положителен.

ПРИМЕР 1. Рассмотрим двумерную ориентируемую поверхность S, погруженную в R3. Зафиксируем точку (x, y, z) S и предположим, что в некоторой ее окрестности поверхность может быть задана посредством C1-параметризации

ϕ : D → R3, описываемой функциями

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).

Условие погруженности S влечет, что ранг матрицы

∂x ∂y ∂z

∂u ∂u ∂u∂x ∂y ∂z

∂v ∂v ∂v

равен 2. Тем самым, в каждой точке (u, v) D по крайней мере один из миноров

отличен от нуля.

В точке (x, y, z) S, соответствующей (u, v) D, единичный вектор нормали к S есть вектор с компонентами

Обозначим этот вектор символом e3. Выберем знак ε так,