матан

7.2.Локальная карта и атлас

Под m-мерной поверхностью в Rn, 1 ≤ m < n, класса Ck, 0 ≤ k ≤ ∞, ниже понимается множество Sm Rn, каждая точка которого имеет окрестность U в Rn такую, что

(i) существует гомеоморфное отображение ϕ : Rm → Sm класса Ck, ϕ(Rm) = U;

(ii) ранг матриц Якоби отображения ϕ равен m всюду в Rm.

Пара (U, ϕ) называется локальной картой (или картой) поверхности Sm. С помощью локальной карты на части U поверхности Sm вводятся криволинейные координаты так, что каждой точке x = ϕ(t) U ставится в соответствие некоторая точка t = (t1, . . . , tm) Rm.

ПРИМЕРЫ. 1) Если поверхность Sm Rm+1 есть график функции f : Rm → R, то для ее описания достаточно одной единственной карты (Sm, f).

2) Гиперповерхность в Rn, задаваемая уравнением x21 + . . . + x2n = r2 (r > 0),

есть (n − 1)-мерная сфера. В этом случае для описания поверхности сферы необходимо, как минимум, две локальных карты.

отображение

ψij = ϕj ◦ ϕ−1 : ϕi(Uij) → ϕj(Uij) i ϕi(Uij)

гомеоморфно. Так как отображения ψij принадлежат классу C0, то естественно назвать карты (Ui, ϕi) и (Uj, ϕj) C0-

согласованными. Карты (Ui, ϕi) и (Uj, ϕj) называются Cr- согласованными, где 0 ≤ r < ∞ – целое число, если гомеоморфизм ψij есть Cr-диффеоморфизм. Атлас называется атласом класса Cr, если все его карты Cr-согласованы.

Легко усмотреть, что объединение двух атласов одной и той же поверхности Sm также есть атлас этой поверхности. Объединение всех возможных атласов данной поверхности называется максимальным атласом Sm.

ЗАМЕЧАНИЕ. Заметим, что при определении локальной карты вместо Rm можно брать произвольную область Q в

Rm, Ck-диффеоморфную Rm, к примеру, открытый шар или открытый куб в Rm. В этом случае естественно определять локальную карту как тройку (Q, ϕ, U) и атлас как набор таких троек A(S) = {(Q, ϕ, U)}. Мы будем пользоваться этими обозначениями лишь в случае необходимости.

ПРИМЕР. Пусть Um и W n – Cr-поверхности (r ≥ 1 и m ≤ n) и {(U, ϕ)} {(W, ψ)} суть атласы класса Cr на Um и

W n. Локальные координаты в картах (U, ϕ) и (W, ψ) будем обозначать соответственно через u1, . . . , um и w1, . . . , wn.

Рассмотрим отображение

Отображение (1) называется регулярным, если ранг матрицы

равен m в каждой точке u Um. Нетрудно видеть, что ранг не зависит от выбора атласов на Um и W n.

В соответствии с теоремой о неявной функции, для каждой точки u Um найдется окрестность U Um такая, что

сужение

f|U : U → W n

является вложением. Это ясно, поскольку в предположении, что в точке u выполнено

wm+1 = ϕ1(u1, . . . , um),. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

wn = ϕn−m(u1, . . . , um),

где все ϕi Cr(U).

Отсюда вытекает, что отображение (1) является погруже-

нием.

7.3.Ориентация

Введем понятие ориентации m-мерной поверхности в Rn. Случай m = 2, n = 3 был рассмотрен ранее.

Наводящие соображения. Пусть D и ∆ – диффеоморфные

области, лежащие в двух экземплярах пространства Rn, наделенных декартовыми координатами (x1, x2, . . . , xn) и (y1, y2, . . ., yn) соответственно. Диффеоморфизм ϕ : ∆ → D можно рассматривать как способ введения в области D криволинейных координат (y1, y2, . . . , yn) посредством отображения x = ϕ(y). Другими словами, положение точки x D

определяется декартовыми координатами (y1, y2, . . . , yn) точки y = ϕ−1(x) ∆.

Рассмотрим теперь пару диффеоморфизмов ϕi : ∆i → D (i = 1, 2), вводящих посредством x = ϕi(y) в одной и той же

области D две различных системы криволинейных коорди-

нат (y1, y2, . . . , yn) и (y1 , y2 , . . . , yn). Взаимно обратные диффеоморфизмы ϕ−2 1 ◦ ϕ1 : ∆1 → ∆2, ϕ−1 1 ◦ ϕ2 : ∆2 → ∆2

осуществляют взаимные переходы между этими системами координат. Якобианы этих отображений в соответствующих точках областей ∆1 и ∆2 взаимно обратны, а потому имеют один и тот же знак. Поскольку D является связным открытым множеством, то связны и множества ∆1, ∆2. Но якобианы непрерывны и не обращаются в нуль, и тем самым, они имеют одинаковые знаки в ∆1 и ∆2.

Отсюда вытекает, что вводимые указанным способом в (связной) области D системы криволинейных координат распадаются ровно на два класса эквивалентности, а именно, если в один класс отнести те системы, взаимные преобразования которых имеют положительный якобиан. Такие классы эквивалентности называются классами ориентации систем криволинейных координат в области D.

Указать ориентацию в области D означает указать в D

класс ориентации систем ее криволинейных координат.

Все сказанное выше об ориентации области D Rn может быть дословно повторено, если вместо области D взять (по крайней мере, дважды) гладкую m-мерную поверхность S Rm, заданную одной картой. В этом случае системы криволинейных координат на S естественным образом также разбиваются на два класса ориентации по отношению к знаку якобиана преобразования их взаимного перехода.

Точные определения. Пусть S Rn – гладкая m-мерная поверхность и пусть

ϕi : Qmi → Ui, ϕj : Qmj → Uj

– две локальных карты поверхности S такие, что Ui ∩Uj = . Естественным образом между множествами

Qmij = ϕ−i 1(Uj), Qmji = ϕ−j 1(Ui)

устанавливается взаимно обратные диффеоморфизмы

ϕij : Qmij → Qmji, ϕji : Qmji → Qmij ,

осуществляющие переход от одной локальной системы координат к другой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.1. Две локальных карты

ϕi : Qmi → Ui, ϕj : Qmj → Uj

поверхности называются согласованными, когда либо Ui ∩ Uj = , либо Ui∩Uj = и взаимные переходы в общей области действия этих локальных карт осуществляются диффеоморфизмами с положительным якобианом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.2. Атлас поверхности называется ориентированным, если он состоит из попарно согласованных карт.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.3. Поверхности называется ориентируемой, если она обладает ориентированным атласом. В противном случае поверхность называется неориентируемой.

Простейший пример неориентируемой поверхности доставляет лист Мебиуса.

7.4.Поверхности с краем

Пусть Rm – евклидово пространство, наделенное координатами y = (y1, y2, . . . , ym), и пусть

Hm = {y Rm : y1 ≤ 0}

–полупространство.

Гиперплоскость

∂Hm = {y Rm : y1 = 0}

называется краем полупространства Hm.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.4. Множество S Rn называется поверхностью размерности m с краем, если каждая точка x S

имеет окрестность U S, диффеоморфную (класса Ck) либо Rm либо Hm.

Если при этом диффеоморфизм ϕ : U → Hm переводит точку x U в точку y = ϕ(x) ∂Hm, то точка x называется точкой края поверхности S. Совокупность всех точек края называется краем поверхности S.

Край поверхности S мы будем обозначать символом ∂S.

Поясним сказанное. Для карт вида ϕ : Hm → U частные производные от ϕ в точках края ∂Hm вычисляются только по полупространству Hm, а ранг диффеоморфизма ϕ всюду в Hm равен m. Ограничение ϕ|∂Hm при этом также есть

отображение класса Ck и имеет ранг m − 1. Таким образом,

если

A(S) = {(Hm, ϕi, Ui)} {(Hm, ϕj, Uj)}

– атлас поверхности S с краем, то

A(∂S) = {(Rm−1, ϕi|∂Hm=Rm−1 , ∂Ui)}

также является атласом того же самого класса гладкости для края ∂S. Поэтому край m-мерной поверхности класса Ck сам является поверхностью того же самого класса гладкости, причем поверхностью без края и размерности m − 1.

Замечания. 1) Край связной поверхности S может оказаться несвязным (привести примеры !).

2) Так как пространство Rm C∞-диффеоморфно кубу

Qm = {y Rm : |yi| < 1, i = 1, 2, . . . , m}

616 Глава 21. Внешние дифференциальные формы

Введем понятие согласованности ориентаций поверхности

S и ее края ∂S. Предположим, что в Rm задан ортонормированный базис e1, e2, . . . , em, который индуцирует в Rm декартовы координаты x1, x2, . . . , xm. Векторы e2, . . . , em определяют ориентацию на крае ∂Hm = Rm−1 полупространства Hm = {x Rm : x1 ≤ 0}, которую считают согласованной с ориентацией полупространства Hm, задаваемой базисом e1, e2, . . . , em.

ЛЕММА 7.1. Край ∂S гладкой ориентируемой поверхности S сам по себе является гладкой ориентируемой поверхностью.

Для доказательства достаточно установить, что край ∂S ориентируем. Именно, покажем, что если

A(S) = {(Hm, ϕi, Ui)} ∩ {(Rm, ϕj, Uj)}

– (ориентируемый) атлас поверхности с краем S, то атлас

A(∂S) = {(Rm−1, ϕi|∂Hm=Rm−1 , ∂Ui)}

края ∂S тоже состоит из попарно согласованных карт. Пусть y˜ = ψ(y) – диффеоморфное отображение с положи-

тельным якобианом окрестности UHm (y0) в Hm точки y0

жем, что положительный якобиан имеет также и суженное отображение ψ|∂UHm (y0) окрестности U∂Hm (y0) = ∂UHm (y0) в

Заметим, что в каждой точке y0 = (0, y02, . . . , y0m) ∂Hm якобиан I(ψ, y0) отображения ψ имеет вид

7.5.Кусочно-гладкие поверхности

Кусочно-гладкие поверхности мы определим, пользуясь методом математической индукции. Именно, одномерной кусочногладкой поверхностью будем называть такую кривую в Rn, которая после удаления из нее конечного либо счетного числа точек распадается на гладкие одномерные кривые. Поверхность S Rn размерности m > 1 назовем кусочно-гладкой, если из нее можно так удалить конечное либо счетное число кусочно-гладких поверхностей размерности не выше m − 1 (или точек), что оставшееся множество распадается на гладкие m-мерные поверхности Si с краем или без края.

В качестве простых примеров можно указать границу плоского угла и границу квадрата как кусочно-гладких кривых, а также границу куба и границу прямого кругового конуса в R3 как двумерных кусочно-гладких поверхностей.

Рассмотрим m-мерную кусочно-гладкую поверхность S Rn. Будем предполагать, что ее два гладких куска S1 и S2 ориентированы и примыкают друг к другу вдоль гладкой поверхности Π размерности m − 1 (ребра). Тогда на Π, как на крае, имеются две различных ориентации, согласованные с ориентациями S1 и S2 соответственно. Если эти две ориента-

ции на всяком таком ребре Π Si1 ∩Si2 противоположны, то исходные ориентации будем считать согласованными. В слу-

чае, если пересечение Si1 ∩ Si2 = , либо имеет размерность меньшую, чем m − 1, любые ориентации Si1 и Si2 считаем согласованными.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.6. Кусочно-гладкую m-мерную поверхность S будем считать ориентируемой, если (за возможным исключением конечного либо счетного числа кусочно - гладких поверхностей размерности не выше m − 1) она является объединением гладких ориентируемых поверхностей Si, допускающих их одновременную взаимно согласованную ориентацию.

В качестве примера можно указать (кусочно-гладкую) границу трехмерного куба. Непосредственно проверяется, что эта поверхность, очевидно, допускает ориентацию описанного вида.

УПРАЖНЕНИЯ. 1) Верно ли, что край поверхности S Rn есть множество S \ S, где S есть замыкание S в Rn?

2) Имеют ли край поверхности

S1 = {(x, y) R2 : 1 < x2 + y2 < 2},

S2 = {(x, y) R2 : 0 < x2 + y2} ?

3) Указать края поверхностей

S1 = {(x, y) R2 : 1 ≤ x2 + y2 < 2},

S2 = {(x, y) R2 : 0 ≤ x2 + y2}.

4) Привести пример неориентируемой поверхности с ориентированным краем.

7.6.Теорема о разбиении единицы

Пусть дана функция f : D Rn → Rи пусть E = {x D : f(x) = 0}. Замыкание множества E (в Rn) называется носителем функции f и обозначается символом supp f. Функция f : D → Rназывается финитной в D, если ее носитель компактен и содержится в D.

ПРИМЕР 1. Пусть f(t) – функция, определенная условием

Данная функция бесконечно дифференцируема (но не аналитична !). Зафиксируем произвольно точку a Rn и число r > 0. Положим

fa,r(x) = f(r2 − |x − a|2).

Тогда, очевидно, fa,r(x) C∞, fa,r(x) > 0 при |x − a| < r и fa,r(x) ≡ 0 при |x − a| ≥ r. Носитель

supp fa,r = B(a, r).

ТЕОРЕМА 7.1. Пусть {Uξ}ξ Ξ – семейство открытых подмножеств пространства Rn и пусть

1)функции ϕν, ν = 1, 2, . . ., финитны, принадлежат классу C∞ и носитель каждой из них содержится, по крайней мере, в одном из множеств Uξ;

2)для каждой точки x U найдется окрестность V такая, что

V ∩ supp ϕν =

только лишь для конечного числа значений ν; 3) для всякой точки x U выполняется

ϕν(x) ≥ 0, ν = 1, 2, . . . ,

причем

∞

ϕν(x) = 1 при всех x U.

ν=1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.7. Система функций {ϕν}∞ν=1, удовлетворяющая условиям теоремы, называется разбиением единицы, подчиненным семейству открытых множеств {Uξ}ξ Ξ.

Теорема о разбиении единицы играет важную роль в Анализе. Имеется ряд различных вариантов этой теоремы, приспособленных к тем или иным специальным построениям. Литература, посвященная данному вопросу, весьма обширна. Мы отметим здесь лишь монографии Де Рама "Дифференцируемые многообразия", М.: 1956, Л. Х¨ермандера "Линейные дифференциальные операторы с частными производными", М.: Мир, 1965, и В.М. Миклюкова "Геометрический анализ. Дифференциальные формы, почти-решения, почти квазиконформные отображения", Волгоград: изд-во ВолГУ, 2007.

ЗАМЕЧАНИЕ. Из условия 2) теоремы следует, что для любого компактного множества A U пересечение A ∩ supp ϕν = лишь для конечного числа значений ν. Действительно, для каждой точки x A найдется окрестность V , удовлетворяющая условию 2). Эти окрестности образуют покрытие A. Напомним, что множество A Rn компактно тогда и только тогда, когда из всякого покрытия A множествами, открытыми в Rn, можно выделить конечное покрытие.