матан

Доказательство. Предположим сначала, что ϕ(y) – форма нулевой степени. Тогда

ϕ(y) = u(y), f ϕ(x) = u[f(x)].

В соответствии с правилом дифференцирования сложной функции имеем

Теперь пусть ϕ – форма степени k ≥ 1, определенная на открытом множестве V . Имеем

Последовательным использованием правила дифференцирования произведения внешних форм и свойства d(dfj) = 0 находим

d[dfj1 (x) . . . dfjk (x)] = 0.

Тем самым, приходим к соотношениям

(df ϕj1...jk )(x) = df ϕj1...jk (x) dfj1 (x) . . . dfjk (x).

j1...jk

Согласно ранее доказанному для форм степени 0,

df ϕj1...jk (x) = f dϕj1...jk (x).

Таким образом, получаем

df ϕ(x) = j1...jk f (dϕj1...jk (x) dfj1 (x) . . . dfjk (x)) =

ТЕОРЕМА 5.3. Пусть U Rn, V Rm и W Rl –

открытые множества. Предположим, что даны отображения класса C1:

f : U → V, g : V → W, h = g ◦ f : U → W.

Тогда для всякой внешней дифференциальной формы ϕ, определенной на множестве W , выполнено

[f (g ϕ)](x) = h ϕ(x),

или, в другой записи,

(g ◦ f) = f ◦ g .

ТЕОРЕМА 5.4. Если U = V и i : U → V – тождественное отображение множества U на себя, то для любой внешней дифференциальной формы ϕ выполнено

i ϕ(x) = ϕ(x).

ТЕОРЕМА 5.5. Пусть U и V – открытые множества в Rn и f : U → V – диффеоморфное отображение множества U на множество V , а f−1 – отображение, обратное к f. Тогда для произвольной внешней дифференциальной формы ϕ, определенной на V выполнено

(f−1) f ϕ(x) = ϕ(x).

§6. Вторая теорема Пуанкаре

6.1.Диффеоморфизмы и их свойства

Пусть U Rn – открытое множество. Отображение f :

U → Rn называется диффеоморфным отображением (или

диффеоморфизмом) класса Cr, r ≥ 1, если f взаимно однозначно, принадлежит классу Cr и в каждой точке x U якобиан отображения f отличен от нуля.

Следующее утверждение представляет собой один из вариантов классической теоремы об обратном отображении.

ТЕОРЕМА 6.1. Пусть f : U → Rn – диффеоморфное отображение класса Cr открытого множества U Rn. Тогда множество V = f(U) также открыто и обратное

отображение f−1 : V → U есть диффеоморфизм того же класса.

Доказательство весьма не просто. Попробуйте доказать самостоятельно или найти в математической литературе. Тео-

ПРИМЕР. Взаимной однозначности отображения f и принадлежности f классу Cr, r ≥ 1, не достаточно, чтобы обратное отображение f−1 было того же класса, т.е. условие неравенства нулю якобиана существенно.

Рассмотрим отображение

всюду, кроме прямой x = 0.

Данное отображение принадлежит классу C∞ в R2. Однако, обратное отображение

x = u1/3, y = v

осуществляет такой диффеоморфизм.

6.2.Формулировка теоремы

ТЕОРЕМА 6.2. Пусть U – открытое множество в Rn и пусть ϕ – дифференциальная форма степени deg ϕ = r,

0 ≤ r ≤ n. Тогда, если ϕ принадлежит классу Ck, где

k = n − r + 1, область U диффеоморфна класса Ck+1 пространству Rn и

6.3.Замкнутые и точные формы

Приведем другие, часто используемые, формулировки 1-й и 2-й теорем Пуанкаре.

Дифференциальная форма ϕ Ck, k ≥ 1, называется замкнутой, если dϕ = 0. Форма ϕ Ck−1 называется точной, если существует форма ψ Ck такая, что dψ = ϕ.

1-я теорема Пуанкаре. Если форма ϕ C2, то форма dϕ замкнута.

2-я теорема Пуанкаре. Если форма ϕ замкнута в области,

C∞-диффеоморфной пространству Rn, то она является точной.

ПРИМЕР. Рассмотрим форму

ϕ = x dy − y dx x2 + y2

в проколотой плоскости U = R2 \ (0, 0). Ясно, что ϕ C∞ в U. Нетрудно проверить ее замкнутость.

С другой стороны, заметим, что deg ϕ = 1 и, тем самым, должно быть deg ψ = 0. Однако,

ϕ = d arctg xy .

Функция

ψ = arctg xy

многозначна в проколотой плоскости U и, следовательно, форма ϕ не может быть точной.

6.4.Иллюстрирующие примеры

Приведем примеры, иллюстрирующие связи с ранее изученными вопросами. Для того, чтобы дифференциальное выражение

f(x, y) dx + g(x, y) dy

являлось дифференциалом (точным дифференциалом) некоторой функции необходимо, чтобы

fy = gx.

(Достаточно заметить, что f(x, y)dx + g(x, y)dy = dh влечет f = hx, g = hy.)

Условие замкнутости формы f(x, y)dx + g(x, y)dy переписывается в виде

d(f dx + g dy) = (fxdx + fydy) dx + (gxdx + gydy) dy =

=fydy dx + gxdx dy =

=(−fy + gx) dx dy = 0.

608 Глава 21. Внешние дифференциальные формы

+η1(x) = (−1)r−1 dxn ϕ2(x) + η1(x),

где форма η1(x) не содержит членов с dxn.

Так как форма ϕ Ck+1, то форма η также принадлежит

классу Ck+1. Коэффициенты формы η1 получаются дифференцированием коэффициентов формы η и, тем самым, фор-

ма η1 Ck. Рассмотрим форму

ω(x) = ϕ(x) − dη(x).

В соответствии с 1-й теоремой Пуанкаре, ddη = 0, а в силу предположения, dϕ = 0. Отсюда, dω = 0.

Поскольку η Ck+1, то форма ω, очевидно, принадлежит классу Ck.

Разложение формы ω(x) по базисным формам, очевидно, не содержит членов с dxn. Именно,

ω(x) = ωi1i2...ir (x) dxi1 dxi2 . . . dxir .

1≤i1<i2<...<ir<n

Дифференцируя ω(x), находим

где ω1(x) – форма степени deg ω1 = r + 1, не содержащая членов с dxn.

Ни одно из слагаемых, стоящих в (1) под знаком суммы, не может сократиться ни с каким слагаемым, входящим в форму ω1(x). Отдельные слагаемые, стоящие под знаком суммы, попарно различны. Поэтому обращение в нуль dω(x) возможно тогда и только тогда, когда каждая из производных

∂ωi1i2...ir (x) = 0.

∂xn

Это означает, что коэффициенты формы ω(x) не зависят от переменной xn.

Пусть ρ и j – отображения Rn, определяемые по формулам

ρ(x1, . . . , xn−1, xn) = (x1, . . . , xn−1)

и

j(x1, . . . , xn−1, xn) = (x1, . . . , xn−1, 0).

Положим

Форма ρ ϕ(x) будет записываться в Rn посредством той же формулы, что и форма ϕ(x). Однако, поскольку коэффициенты ωi1...ir не зависят от xn, то

ρ ϕ(x) = ω(x),

что и тебуется. Итак, мы имеем

dϕ(x) = j dω(x) = 0.

Форма ϕ Ck, где

k = dim Rn−1 − deg ϕ(x) + 1.

Согласно индукционному допущению отсюда вытекает, что в Rn−1 найдется форма ψ C1 такая, что ϕ = dψ.

Положим θ = ρ ψ. Тогда θ C1 и

dθ = ρ dψ = ρ ϕ = ω.

Имеем

ϕ(x) = ω(x) + dη(x) = dθ(x) + dη(x).

Это означает, что полагая, ψ = θ + η, получаем ϕ = dω и в случае U = Rn теорема доказана.

Пусть теперь U – произвольное открытое множество в Rn, Ck+1 – диффеоморфное Rn, и f : U → Rn – диффеоморфизм класса Ck+1 области U на Rn. Пусть g = f−1 и пусть ϕ –

форма класса Ck+1 в области U такая, что dϕ = 0.

что dψ1 = ϕ1.

Пусть ψ = f ψ1. Форма ψ принадлежит C1. Поскольку

§7. Поверхности в Rn

7.1.Вложения и погружения

Пусть даны множества X и Y в Rn. Напомним, что отображение f : X → Y называется топологическим или гомеоморфным, если f обратимо и отображения f, f−1 непрерывны.

Говорят, что множество X гомеоморфно Y , если существует гомеоморфизм f множества X на Y .

ПРИМЕР. Поверхность куба в R3 гомеоморфна поверхности сферы. Чтобы установить гомеоморфизм между ними,

Предположим, что задано непрерывное отображение f : X → Y . Если отображение f гомеоморфно, то говорят, что f : X → Y есть вложение X в Y .

Отображение f : X → Y называется локально гомеоморфным, если каждая точка x X имеет окрестность, сужение f на которую является гомеоморфным.

Отображение f : X → Y называется погружением X в Y , если каждая точка x X имеет окрестность U X такую, что отображение f|U гомеоморфно, т.е. погружение – это локальное вложение.

Всякое вложение, очевидно, есть погружение. Однако, взаимно однозначное погружение может не быть вложением. Соответствующий контрпример попытайтесь построить самостоятельно или найдите в математической литературе.