матан

Отсюда,

ϕ(ψ1 + ψ2) =

ij

ТЕОРЕМА 2.2. Внешнее умножение дистрибутивно относительно умножения дифференциальной формы на функцию, т.е. для всякой функции f и всяких форм ϕ и ψ выполнено

f (ϕ ψ) = (f ϕ) ψ = ϕ (fψ).

ТЕОРЕМА 2.3. Внешнее умножение ассоциативно, т.е. для любых форм ω, ϕ и ψ

(ω ϕ) ψ = ω (ϕ ψ).

Доказательство. Проверим сперва следующее предложе-

ние. Пусть (i1, i2, . . . , ik) и (j1, j2, . . . , jl) – произвольные наборы чисел такие, что

1 ≤ is ≤ n, 1 ≤ jt ≤ n, s = 1, . . . , k, t = 1, . . . , l.

Тогда

(dxi1 . . . dxik ) (dxj1 . . . dxjl ) = dxi1 . . . dxik dxj1 . . . dxjl . (3)

В случае, когда i1 < . . . < ik и j1 < . . . < jl, данное равенство верно по определению. В случае, когда либо среди ин-

дексов i1, . . . , ik, либо среди индексов j1, . . . , jl имеются одинаковые, обе части (3) обращаются в нуль и равенство действительно справедливо. Будем предполагать, что в каждом из наборов индексов i1 < . . . < ik и j1 < . . . < jl нет двух одинаковых чисел.

Пусть (i1, i2, . . . , ik) – перестановка набора (i1, i2, . . . , ik) в

возрастающем порядке, т.е. i1 < i2 < . . . < ik. Пусть (j1, j2, . . . , jl)

– аналогичная перестановка для (j1, j2, . . . , jl). Предположим,

что (i1, i2, . . . , ik) может быть получена из (i1, i2, . . . , ik) пост-

редством m1 транспозиций, а (j1, j2, . . . , jl) получается из (j1, j2, . . . , jl) посредством m2 транспозиций. Тогда имеем

dxi1 dxi2 . . . dxik = (−1)m1 dxi1 dxi2 . . . dxik , dxj1 dxj2 . . . dxjl = (−1)m2 dxj1 dxj2 . . . dxjl ,

Отсюда,

dxi1 dxi2 . . . dxik dxj1 dxj2 . . . dxjl = (−1)m1 dxi1 dxi2 . . . dxik (−1)m2 dxj1 dxj2 . . . dxjl =

= (−1)m1+m2 dxi1 dxi2 . . . dxik dxj1 dxj2 . . . dxjl .

Остается заметить, что набор (i1, i2, . . . , ik, j1, j2, . . . , jl) может быть преобразован в (i1, i2, . . . , ik, j1, j2, . . . , jl) посред-

ством (m1 + m2) транспозиций. Отсюда вытекает, что

(−1)m1+m2 dxi1 dxi2 . . . dxik dxj1 dxj2 . . . dxjl =

=dxi1 dxi2 . . . dxik dxj1 dxj2 . . . dxjl

иравенство (3) полностью доказано.

Соотношение (3) очевидным образом влечет ассоциативность внешнего умножения для базисных форм. Изучим общий случай. Воспользуемся выражениями для дифференциальных форм ω, ϕ и ψ в развернутом виде. Мы имеем

(ω ϕ) ψ =

ωi1...ik ϕj1...jl ψs1...sm (dxi1 . . . dxik dxj1 . . . dxjl ) dxs1 . . . dxsm ,

i,j,s

ω (ϕ ψ) =

ωi1...ik ϕj1...jl ψs1...sm dxi1 . . . dxik (dxj1 . . . dxjl dxs1 . . . dxsm ) .

i,j,s

По доказанному

(dxi1 . . . dxik dxj1 . . . dxjl ) dxs1 . . . dxsm = = dxi1 . . . dxik (dxj1 . . . dxjl dxs1 . . . dxsm ) ,

откуда следует нужное равенство (ω ϕ) ψ = ω (ϕ ψ).

ТЕОРЕМА 2.4. Для произвольной пары форм ϕ и ψ вы-

полнено

ϕ ψ = (−1)deg ϕ·deg ψψ ϕ.

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, в котором формы ϕ и ψ базисные,

ϕ = dxi1 dxi2 . . . dxik , ψ = dxj1 dxj2 . . . dxjl .

Мы имеем

ϕ ψ = dxi1 dxi2 . . . dxik dxj1 dxj2 . . . dxjl

посредством kl транспозиций.

Действительно, переставим сперва в (4) индексы ik и j1, затем индексы ik и j2 и т.д. В результате получим последовательность, в которой ik находится на последнем месте, а индексы j1, j2, . . . , jl сдвинутся на одну позицию влево. Далее будем переставлять ik−1 и j1, j2, . . . , jl. Через k шагов набор

(4) будет преобразован в набор (5).

На каждом шаге выполняется l транспозиций. Поэтому общее число транспозиций равно kl. Отсюда

dxi1 dxi2 . . . dxik dxj1 dxj2 . . . dxjl =

= (−1)kldxj1 dxj2 . . . dxjl dxi1 dxi2 . . . dxik ,

т.е.

2.5.Следствия

Следующие три утверждения проверить самостоятельно.

СЛЕДСТВИЕ A. Пусть ϕ1, ϕ2, . . . , ϕk – формы первой степени и α : Nk → Nk – произвольная перестановка. Тогда

ϕα(1) ϕα(2) . . . ϕα(k) = σ(α) ϕ1 ϕ2 . . . ϕk.

СЛЕДСТВИЕ B. Пусть ϕ1, ϕ2, . . ., ϕk – внешние дифференциальные формы первой степени, k ≤ n,

k

ψi = qij ϕj j=1

–их линейные комбинации. Тогда

ψ1 ψ2 . . . ψk = Q ϕ1 ϕ2 . . . ϕk,

где

Q = det %qij%i,j=1,...,k.

СЛЕДСТВИЕ C. Пусть ϕ1, ϕ2, . . ., ϕn – формы первой степени на открытом множестве U Rn и

§3. Внешнее дифференцирование

3.1.Понятие внешнего дифференцирования

Пусть f(x) – внешняя форма степени deg f = 0 на открытом множестве U Rn. Дифференциалом формы f(x) называется внешняя дифференциальная форма ϕ(x) степени deg ϕ = 1, определяемая равенством

Дифференциал формы f(x) обозначается символом df(x). Дифференциал формы степени больше 0 определяем по

индукции. Именно, предположим, что ϕ(x) есть произволь-

ная внешняя дифференциальная форма класса C1 степени

deg ϕ(x) = k ≥ 1,

ϕ(x) = ϕi1...ik (x) dxi1 . . . dxik .

1≤i1≤...≤ik≤n

Дифференциалом формы ϕ(x) называется внешняя дифференциальная форма dϕ(x) степени deg (dϕ(x)) = k + 1, опре-

деляемая равенством

Здесь в правой части стоит внешняя форма, получаемая из формы ϕ(x) заменой каждого ее коэффициента дифференциалом: слагаемые ϕi1...ik (x) dxi1 . . . dxik заменяются внешними произведениями форм dϕi1...ik (x) первой степени на базисные формы dxi1 . . . dxik степени k.

3.2.Примеры

1) Пусть ϕ – базисная форма или произвольная форма вида

ϕ(x) = dxi1 dxi2 . . . dxik ,

где ряд (i1, i2, . . . , ik) не обязательно упорядочен. Тогда

dϕ(x) = 0.

2) Рассмотрим форму первой степени

n

ϕ(x) = ai(x) dxi.

i=1

Тогда

n

dϕ(x) = dai(x) dxi =

i=1

Доказательство. Предположим сперва, что ϕ – моном. Тогда

ϕ(x) = u(x) dxi1 . . . dxik ,

f ϕ(x) = f(x) u(x) dxi1 . . . dxik .

Мы имеем

d(f ϕ(x)) = d(f(x) u(x)) dxi1 . . . dxik .

Однако,

d(fu) = f du + u df,

а потому

d(f ϕ) =

=fdu dxi1 . . . dxik + udf dxi1 . . . dxik =

=f dϕ + df u dxi1 . . . dxik =

=f dϕ + df ϕ.

Утверждение доказано для мономов. В силу теоремы 3.1 она верна и в общем случае.

ТЕОРЕМА 3.3. Для произвольной пары форм ϕ и ψ класса C1(U) выполнено

d(ϕ ψ) = dϕ ψ + (−1)deg ϕϕ dψ.

Доказательство. Предположим сначала, что ϕ и ψ суть мономы:

ϕ(x) = u(x) dxi1 . . . dxik

и

ψ(x) = v(x) dxj1 . . . dxjl .

Тогда имеем

ϕ ψ = uv dxi1 . . . dxik dxj1 . . . dxjl = uv ω,

где

ω= dxi1 . . . dxik dxj1 . . . dxjl .

Всилу теоремы 3.2,

d(ϕ ψ) = d(uv) ω + uv dω =

=(u dv + v du) ω =

=u dv ω + v du ω.

598 Глава 21. Внешние дифференциальные формы

Тем самым, получаем

d(ϕ ψ) = v du dxi1 . . . dxik dxj1 . . . dxjl + +u dv dxi1 . . . dxik dxj1 . . . dxjl = = v dϕ dxj1 . . . dxjl +

+u(−1)kdxi1 . . . dxik dv dxi1 . . . dxjl = = dϕ ψ + (−1)deg ϕϕ dψ.

§4. Первая теорема Пуанкаре

Докажем следующий фундаментальный результат.

ТЕОРЕМА 4.1 (теорема Пуанкаре1). Для всякой формы ϕ класса C2(U) выполняется

d (dϕ(x)) = 0.

Доказательство. Предположим сначала, что ϕ есть форма нулевой степени, т.е. ϕ(x) = u(x) : U → R. Тогда имеем

n ∂u

dϕ = du = i=1 ∂xi dxi,

1Анри Пуанкаре (29.04.1854 – 17.07.1912) – французский математик, физик, астроном и философ, член Парижской АН (с 1887 г.) Основные исследования посвящены теории чисел, алгебре, топологии, алгебраической топологии, теории дифференциальных уравнений, математической физике, небесной механике, основаниям математики.

Для форм нулевой степени утверждение доказано. Пусть теперь ϕ есть форма степени k ≥ 1. Здесь имеем

§5. Индуцированное отображение форм

Пусть U Rn и V Rm – открытые множества. Пусть f(x) = (f1(x), . . . , fm(x)) : U → V, x = (x1, . . . , xn),

600 Глава 21. Внешние дифференциальные формы

– отображение класса Cr, 1 ≤ r ≤ ∞.

Рассмотрим внешнюю дифференциальную форму

определенную на V . Индуцированная форма (f ϕ)(x) определяется выражением

В дальнейшем мы будем пользоваться сокращенной запи-

сью, полагая

(f ϕ)(x) = f ϕ (x).

Отображение f : U → V позволяет каждой внешней дифференциальной форме ϕ(y) в V сопоставить по указанному правилу форму f ϕ(x) в U. Тем самым, определено индуцированное отображение f пространства внешних форм, определенных над открытым множеством V Rm, в пространство форм f ϕ(x), заданных над U Rn.

ТЕОРЕМА 5.1. (i) Если ϕ есть форма нулевой степени, то f ϕ(x) = ϕ[f(x)], т.е. f ϕ = ϕ ◦ f – суперпозиция функции ϕ и отбражения f.

(ii )Для произвольной пары форм ϕ и ψ одинаковой степени, deg ϕ = deg ψ, выполнено

f (ϕ + ψ) = f ϕ + f ψ.

(iii)Пусть u(y) – функция, определенная на V , ϕ(y) – внешняя форма степени k ≥ 0. Тогда

f (u ϕ)(x) = (f u)(x) (f ϕ)(x).

(iv )Для произвольной пары форм ϕ и ψ выполнено f (ϕ ψ) = f ϕ f ψ.

Проверить самостоятельно.

ТЕОРЕМА 5.2. Если отображение f(x) : U → V принадлежит классу C2(U) и ϕ(y) – форма класса C1(V ), то

(f dϕ)(x) = (d f ϕ)(x).