матан

582 Глава 20. Теория интегрирования в Rn

− Q − Q − Q

= (uzy uyz)i + ( uzx + uxz)j + (uyx uxy)k.

Так как u является дважды непрерывно дифференцируемой, то смешанные производные равны и поэтому rot u = 0. Из формулы Стокса получаем

Таким образом, если Γ — кусочно-гладкая кривая в R3, огра-

ничивающая гладкую поверхность S, то интеграл

Q

u, dr = 0.

Γ

ПРИМЕР 6. Пусть Qa = −x2+y y2 , x2+xy2 , 0 , S = {(x, y, z) : x2 +y2 +z2 = R2, z > 0}. Вычислим поток вектора rotQa через

12.8.Геометрический смысл ротора

Пусть в области G R3 задано непрерывно дифференцируемое векторное поле Qa(M). Зафиксируем произвольно точку M0 G. Пусть ν — произвольный единичный вектор; Π — плоскость, проходящая через точку M0 и перпендикулярная ν; S Π — ограниченная область; ∂S = Γ — кусочно-гладкий контур и d(S) — диаметр S. Будем считать, что Γ согласованно ориентирован с ν, т.е. по правилу "штопора"(см. пункт "Ориентация поверхности"), а M0 S G.

ТЕОРЕМА 12.5. Пусть rot νQa — проекция вектора rotQa на ν. Тогда

Доказательство. По формуле Стокса имеем

ΓS

Сдругой стороны, по теореме о среднем

rot νQads = rot νQa(M)|S|,

S

где M S. Таким образом

Q

Qa, dr

Переходя к пределу при d(S) → 0 получаем требуемое.

ЗАМЕЧАНИЕ. Величины, входящие в правую часть (13) не зависят от выбора системы координат. Однако согласованность ν и Γ зависят от ориентации системы координат. При фиксированной ориентации ν изменение ориентации системы

координат меняет ориентацию Γ. Таким образом

Q

Qa, dr

Γ

меняет знак при изменении ориентации, а, стало быть, меняет знак rotQa. В результате заключаем, что формула Стокса справедлива не только в правой, но и в левой системе координат.

12.9.Соленоидальные векторные поля

В данном параграфе ограниченную область, для которой справедлива формула Гаусса-Остроградского, будем называть допустимой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.10. Непрерывно дифференцируемое в области G векторное поле Qa = Qa(x, y, z) называется соленоидальным в этой области, если его поток через ориентированную границу любой допустимой области D такой, что

D G, равен нулю.

ПРИМЕР 7. Рассмотрим векторное поле скоростей текущей жидкости. Соленоидальность означает, что в каждую область, содержащуюся внутри текущей жидкости, в каждый момент времени сколько жидкости втекает, столько же и вытекает.

ТЕОРЕМА 12.6. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое в области G векторное поле Qa было соленоидальным в G необходимо и достаточно, чтобы в любой точке M G выполнялось

divQa(M) = 0.

Доказательство. Докажем вначале необходимость условия. Пусть векторное поле Qa – соленоидально в G, а M0 G – произвольная точка. Обозначим Br – открытый шар радиуса r с центром в M0, а Sr – ограничивающая Br сфера. Ясно, что для достаточно малых r все Br G.

Напомним, что

Sr

Заметим, что вместо шаров Br можно было взять любые допустимые области.

Далее докажем достаточность условия теоремы. Пусть Qa

– непрерывно дифференцируемое в G векторное поле с дивергенцией, равной нулю в G. Пусть, также, D – допусти-

мая область такая, что D G. Тогда по формуле Гаусса-

В результате получаем, что поле Qa – соленоидальное.

ПРИМЕР 8. Пусть Qa = (ax, ay, az) – дважды непрерывно дифференцируемое в некоторой области векторное поле. Тогда

Таким образом, примером соленоидального поля является векторное поле, представляющее собой в некоторой области поле роторов дважды непрерывно дифференцируемого в этой области векторного поля.

Глава 21

Внешние дифференциальные формы

Ниже излагаются начальные понятия теории внешних дифференциальных форм. Мы ограничиваемся кругом вопросов, достаточным для работы с обобщенной интегральной теоремой Стокса на поверхностях в Rn.

Дополнительная литература:

1)А. Лихнерович, "Теория связностей в целом и группы голономий", М.: ИЛ, 1960.

2)А. Картан, "Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы", М.: Мир, 1971.

3)Ю.Г. Решетняк, "Курс математического анализа". Часть II. Книга 2. Интегральное исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление на многообразиях. Внешние дифференциальные формы, Новосибирск: Изд-во Института математики, 2001.

§1. Определение внешней формы

1.1.Основные понятия

Пусть U — открытое множество в пространстве Rn. Внешняя дифференциальная форма ω степени deg ω = k, 1 ≤ k ≤ n, на множестве U есть выражение вида

1≤i1≤i2≤...≤ik≤n

где ωi1i2...ik (x) — вещественные функции, определенные в U, а индексы i1, i2, . . . , ik принимают все возможные значения, удовлетворяющие неравенствам 1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ . . . ≤ ik ≤ n.

Функции ωi1i2...ik (x) суть коэффициенты формы ω. Выражения dxi1 dxi2 . . . dxik суть базисные формы степени k, гео-

метрическое истолкование которым будет дано несколько ниже.

Базисная форма dxi1 dxi2 . . . dxik является специальным случаем формы (1), в котором коэффициент ωi1i2...ik (x) ≡ 1, 1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ . . . ≤ ik ≤ n, а все остальные коэффициенты обращаются в нуль. Форму, все коэффициетны которой равны нулю, называют 0-формой и обозначают символом 0.

Форма ω степени deg ω = 0 есть, по определению, произвольная функция f : U → R. Форма ω степени deg ω = n есть выражение вида

ω(x) = ω12...n(x) dx1dx2 . . . dxn.

Знак суммы Σ в (1) опускается, поскольку сумма имеет всего лишь один член.

Формы ω степени deg ω = 1 имеют вид

n

ω(x) = ωi(x) dxi.

i=1

Базисные формы степени (n − 1) суть выражения

>

dx1 . . . dxi−1dxi+1 . . . dxn = dx1 . . . dxi . . . dxn.

Здесь и всюду ниже знак 6 над выражением означает, что оно пропускается.

Пусть ω1...6i...n(x) — коэффициенты формы степени (n − 1). Удобно положить

ω1...6i...n(x) = (−1)i−1ωi(x).

В этом случае имеем

Пусть f : U → R — функция. Напомним, что носитель f есть множество

supp f def= {x U : f(x) = 0},

а функция f называется финитной в U, если ее носитель компактен и содержится в U.

Носителем формы (1) называется объединение носителей

всех ее коэффициентов, т.е.

supp ω = 1 ≤ i1 ≤ . . . ≤ ik ≤ n supp ωi1i2...ik .

§2. Внешнее умножение форм

2.1.Сигнатура перестановки

Пусть Nr = {1, 2, . . . , r} – отрезок натурального ряда. Перестановка ранга r есть взаимно однозначное отображение α : Nr → Nr. Каждой перестановке α может быть сопоставлено число σ(α) со свойствами:

i) σ(α) = ±1;

ii) для произвольной пары перестановок α и β выполнено

σ(α ◦ β) = σ(α) σ(β) ;

iii) если α есть перестановка, для которой существует пара индексов i < j таких, что α(i) = j, α(j) = i и α(s) = s при всех s = i, j, то σ(α) = −1.

Число σ(α) называется сигнатурой перестановки α. Перестановка α называется четной, если σ(α) = +1, и нечетной, если σ(α) = −1.

Напомним, что перестановки вида iii) называются транспозициями. Всякая перестановка может быть получена как суперпозиция конечного числа транспозиций. Если µ – число транспозиций, необходимое для получения перестановки α,

то, очевидно,

σ(α) = (−1)µ.

2.2.Внешнее произведение базисных форм

Пусть i1, i2, . . . , ik – произвольный набор индексов таких, что

1 ≤ i1 ≤ n, 1 ≤ i2 ≤ n, . . . , 1 ≤ ik ≤ n.

Символом

dxi1 dxi2 . . . , dxik

будем обозначать внешнюю дифференциальную форму степени k, определенную следующим образом. Если среди индексов i1, i2, . . . , ik имеются два одинаковых, то полагаем

dxi1 dxi2 . . . , dxik = 0.

Если все числа i1, i2, . . . , ik попарно различны и найдется перестановка α : Nk → Nk такая, что

iα(1) < iα(2) < . . . < iα(k),

то пусть iα(s) = is при s = 1, 2, . . . , k и мы полагаем по определению

dxi1 dxi2 . . . dxik = σ(α) dxi1 dxi2 . . . dxik

в том случае, когда набор индексов i1, i2, . . . , ik не обязательно упорядочен по возрастанию.

Имеет место следующее общее утверждение.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1. Если индексы i1, i2, . . . , ik попарно различны и β : Nk → Nk – перестановка, для которой js = iβ(s), s = 1, 2, . . . , k, то справедливо равенство

dxi1 dxi2 . . . dxik = σ(β) dxj1 dxj2 . . . dxjk .

Доказательство. Действительно, пусть α : Nk → Nk – перестановка, для которой

iα(1) = i1 < iα(2) = i2 < . . . < iα(k) = ik.

Имеем

im = jβ−1(m), im = iα(m) = jβ−1[α(m)] = jγ(m),

где γ = β−1 ◦ α.

Отсюда, по определению, получаем

dxj1 dxj2 . . . dxjk = σ(β−1 ◦ α) dxi1 dxi2 . . . dxik =

2.3.Определение операции умножения

Пусть ϕ и ψ – произвольные внешние дифференциальные формы степеней deg ϕ = k и deg ψ = l соответственно. Именно, пусть

1 j1≤...≤jl≤n

Произведением форм ϕ(x) и ψ(x) называется форма

ϕ(x) ψ(x) =

Другими словами, форма ϕ(x) ψ(x) получается, если формально перемножить выражения (1) и (2) как обычные многочлены, подсчитывая произведения базисных внешних форм в соответствии с описанными в предыдущем разделе правилами.

Упражнение. Пусть ϕ = ϕ1 dx1 + ϕ2 dx2 + ϕ3 dx3 и ψ =

ψ1 dx1 + ψ2 dx2 + ψ3 dx3. Перемножить

ϕ ψ = (ϕ1 dx1 + ϕ2 dx2 + ϕ3 dx3) (ψ1 dx1 + ψ2 dx2 + ψ3 dx3),

приводя подобные члены и учитывая, что

dx1dx1 = dx2dx2 = dx3dx3 = 0, dxidxj = −dxjdxi.

2.4.Свойства операции умножения

ТЕОРЕМА 2.1. Внешнее умножение форм дистрибутивно относительно операции сложения, т.е.

ϕ (ψ1 + ψ2) = ϕ ψ1 + ϕ ψ2

и

(ϕ1 + ϕ2) ψ = ϕ1 ψ + ϕ2 ψ,

каковы бы ни были формы ϕ, ψ1, ψ2 и ϕ1, ϕ2, ψ такие, что

deg ψ1 = deg ψ2, deg ϕ1 = deg ϕ2.

Доказательство. Докажем первое из равенств. Пусть

ϕ = ϕi1i2...ik dxi1 dxi2 . . . dxik ,

где наборы индексов i1, i2, . . . , ik и j1, j2, . . . , jl допускают всевозможные комбинации такие, что

1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ . . . ≤ ik ≤ n, 1 ≤ j1 ≤ j2 ≤ . . . ≤ jl ≤ n.

Мы имеем

ψ1 + ψ2 = (ψj11j2...jl + ψj21j2...jl )dxj1 dxj2 . . . dxjl .