матан

572 Глава 20. Теория интегрирования в Rn

Здесь последний интеграл берется по ориентированной области.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.5. Введем обозначение

Интеграл в левой части последнего равенства называется поверхностным интегралом II-го рода.

Аналогичные рассуждения справедливы и для остальных двух интегралов:

=P (x, y, z) dy dz,

=Q(x, y, z) dz dx.

S

Таким образом, поток вектора Qa через ориентированную поверхность S может быть вычислен по формуле:

Qa, Qn ds = P (x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dz dx+

ЗАМЕЧАНИЕ. Если поверхность S может быть разрезана на конечное число частей S = kSk, каждая из которых проектируется однозначно на все три координатные плоскости, то для того, чтобы вычислить поток вектора Qa через поверхность S , нужно вычислить потоки Qa через все Sk и их сложить.

ЗАМЕЧАНИЕ. Связь поверхностных интегралов второго рода с поверхностными интегралами первого рода дана уже в определении.

(P cos α + Q cos β + R cos γ)ds =

S

=P (x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dx dz + R(x, y, z) dx dy,

S

где cos α, cos β, cos γ — направляющие косинусы нормали, направленной в соответствии с выбранной стороной поверхности (т.е. ориентацией).

12.5.Формула Гаусса-Остроградского

Пусть G R3 — ограниченная область с кусочно-гладкой

границей S, и на G определено векторное поле

Q Q Q

Qa(x, y, z) = P i + Qj + Rk.

Будем предполагать, что функции

P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), ∂P∂x (x, y, z), ∂Q∂y (x, y, z), ∂R∂z (x, y, z)

непрерывны в G.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.6. Дивергенцией векторного поля Qa называется скалярная функция

div Qa = ∂P∂x + ∂Q∂y + ∂R∂z .

Далее будем считать, что поверхность S ориентирована с помощью единичной внешней нормали (внешней относительно к G).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.7. Область G будем называть элементарной областью относительно Oz, или z-областью, если существуют такие функции ϕ(x, y) и ψ(x, y), определенные в области Λz Oxy, что

G = {(x, y, z) : (x, y) Λz, ϕ(x, y) < z < ψ(x, y)}.

Заметим, что граница z-области может быть представлена следующим образом

∂G = S = S1 S2 S0,

где S1 — представима в виде z = ψ(x, y), S2 — представима в виде z = ϕ(x, y), а S0 — поверхность, являющаяся частью цилиндра с основанием ∂Λz и образующими, параллельными оси Oz.

Точно так же определяются элементарные области относительно осей Ox и Oy.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.8. Области, элементарные относительно всех координатных осей, будем называть элементарными.

ТЕОРЕМА 12.1 (Гаусса7-Остроградского). Пусть

G – элементарная область и на G заданы функции P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), непрерывные вместе со своими частными производными

где интеграл в правой части формулы берется по внешней стороне границы ∂G = S, (т.е. Qn – внешняя нормаль к S).

ЗАМЕЧАНИЕ. Формула (1) называется формулой Гаусса— Остроградского, или, в векторном анализе, теоремой о дивергенции.

ЗАМЕЧАНИЕ. Формулу Гаусса-Остроградского иначе можно записать в следующей форме

Доказательство. a) Покажем справедливость формулы (7) для случая, когда P = 0, Q = 0 и G является z-областью, т.е. существуют функции λ1(x, y), λ2(x, y), (x, y) Λz, такие, что

G = {(x, y, z) : (x, y) Λz, λ1(x, y) ≤ z ≤ λ2(x, y)}.

Пусть S+ — граница области G ориентированная с помощью внешней нормали. Тогда для области G имеет место равен-

7Гаусс Карл Фридрих (30.4.1777 – 23.2.1855) – немецкий математик, астроном, физик и геодезист. Род. в Брауншвейге (Германия). В его творчестве органично сочетались исследования по теоретической и прикладной математике. Работы Гаусса оказали большое влияние на дальнейшее развитие высшей алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, теории притяжения, классической теории электричества и магнетизма, геодезии, теоретической астрономии.

578 Глава 20. Теория интегрирования в Rn

где M – некоторая точка, принадлежащая D. Таким образом

Переходя к пределу при d(D) → 0, получаем требуемое.

ЗАМЕЧАНИЕ. В правой части формулы (9) стоят величины, не зависящие от выбора системы координат. В результате получаем, что дивергенция векторного поля не зависит от выбора системы координат.

ЗАМЕЧАНИЕ. Точки векторного поля Qa в которых div Qa = 0 называются источниками векторного поля. Как видно из последней формулы, поток такого векторного поля через любую достаточно малую поверхность, окружающую источник, не равен нулю.

ПРИМЕР 4. Пусть u = f(x, y, z) — дважды непрерывно

дифференцируемая функция в области G, где S = ∂G — кусочно-гладкая поверхность. Пусть u = (fx, fy, fz). Тогда по формуле Гаусса—Остроградского поток u через S вычис-

называется оператором Лапласа8 от функции f(x, y, z).

12.7.Формула Стокса

Пусть S R3 — дважды непрерывно дифференцируемая поверхность, а Qr = Qr(u, v) — ее представление. Будем считать, что (u, v) D, где D — плоская ограниченная область

8Лаплас Пьер Симон (23.3.1749 – 5.3.1827) – французский математик, физик и астроном. Род.

вНормандии (Франция). Ему принадлежат многочисленные фундаментальные работы по математике, экспериментальной и математической физике и небесной механике. В области математики Лаплас получил значительные результаты по теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей, теории потенциала и др.