матан

=|Qr u × Qr v | du dv .

Ω

Таким образом, введенное выше определение площади поверхности является корректным.

11.3.Пример Шварца

В конце XIX века Шварцем5 было показано, что нельзя определять площадь кривой поверхности как предел вписанной в нее многогранной поверхности при условии, что диаметры всех граней последней стремятся к нулю. Приведем этот весьма поучительный пример.

Пусть нам дан прямой цилиндр радиуса R и высоты H. Делим H на m равных частей и проводим плоскости, перпендикулярные оси цилиндра (на поверхности появились m + 1 окружность). Каждую из окружностей делим на n равных частей так, чтобы точки деления вышележащей окружности находились над серединами дуг нижележащей окружности.

Образуем треугольники из хорд дуг и отрезков, соединяющих концы хорд с теми точками деления выше- и нижеле-

5Шварц Карл Герман Амандус (25.1.1843 – 30.11.1921). Род. в Хермсдорфе (Германия). Первые работы были посвящены изучению минимальных поверхностей. Дал строгую теорию интеграла Пуассона. В теории конформных отображений дал общее аналитическое выражение функций, преобразующих произвольный многоугольник в полуплоскость.

562 Глава 20. Теория интегрирования в Rn

жащих окружностей, которые расположены как раз над или под серединами соответствующих дуг. В результате мы получили 2mn равных треугольников, которые образуют многогранную поверхность mn .

Вычислим площадь каждого треугольника. Основание данного треугольника - хорда с длиной 2R sin πn. Далее найдем

высоту. По теореме Пифагора

Таким образом площадь одного треугольника вычисляется по формуле

При m и n стремящихся к +∞, диаметры всех треугольников стремятся к нулю. Проверим существование соответствующего предела.

Пусть m → ∞ и n → ∞ так, что существует предел

lim m = q.

m→∞ n2 n→∞

Покажем, что интеграл (2) существует, если функция F (x, y, z) непрерывна и |Qr u × Qr v| > 0. Из (1) для интегральной суммы имеем

Так как функция |Qr u × Qr v| непрерывна, то существует точка

(ui , vi ) для которой выполнено равенство:

|Qr u × Qr v| du dv = |Qr u × Qr v|(ui , vi )|Di|.

Di

Предположим, что (ui , vi ), такая что

x(ui , vi ) = xi, y(ui , vi ) = yi, z(ui , vi ) = zi.

В этом случае интегральная сумма имеет вид

n

F (x(ui , vi ), y(ui , vi ), z(ui , vi ))|Qr u × Qr v|(ui , vi )|Di|

i=1

и является интегральной суммой для интеграла

F (x(u, v), y(u, v), z(u, v))|Qr u × Qr v|(u, v) du dv.

D

В общем случае точка (ui , vi ) не совпадает с точкой (ui, vi),

где x(ui, vi) = xi, y(ui, vi) = yi, z(ui, vi) = zi. Введем обозначения:

mi = |Qr u × Qr v|(ui, vi), mi = |Qr u × Qr v|(ui , vi ).

Тогда

Покажем, что последняя сумма стремится к 0 при мелкости разбиения области D стремящейся к 0. Так как Qr(u, v)

— непрерывно дифференцируема, то |Qr u × Qr v| непрерывна в

D, и, стало быть, равномерно непрерывна. Тогда для любого ε > 0 найдется δ = δ(ε ) такое, что для любого разбиения

В R3 существуют две системы координат: (x, y, z) и (y, x, z). Отличие их друг от друга заключается в том, что невозможно осуществить такое движение одной из систем координат, чтобы в результате его оказались совмещенными точка O и одноименные положительные полуоси x, y, z обоих систем. Первую систему называют правой, вторую — левой. Если смотреть сверху вниз вдоль положительной полуоси z, то для совмещения положения оси x с положением y в кратчайшем направлении в первом случае можно вращать ось x в плоскости (x, y) против часовой стрелки, а во втором — по часовой стрелке. В каждой из рассматриваемых двух систем естественно ввести комбинацию, состоящую из единичного направленного в положительном направлении оси z вектора и ортогонального к оси Oz круга, на границе которого задано направление обхода от оси x к оси y в кратчайшем направлении. Данная комбинация называется штопором. Предположим, что основание штопора искривлено, т.е. вместо круга рассматривается кусок поверхности, необязательно плоский, но такой что ось z есть нормаль к этому куску в точке O. В этом случае данную комбинацию также будем называть правым или левым штопором. Определим такой штопор (правый или левый) с нормальным вектором, идущим в произвольном направлении, не обязательно совпадающим с осью z. Пусть в R3 задана система координат (правая или левая) и ориентированная поверхность S. Таким образом, в каждой точке P S имеем единичный нормальный вектор Qn(P ), непрерывно зависящий от точки P . Рассмотрим шар V (P ) достаточно малого радиуса с центром в точке P , который высекает из поверхности S некоторый связный кусок σ(P ), т.е. V (P ) ∩ S = σ(P ), содержащий точку P . На крае γ(P ) этого куска определим направление обхода так, что вектор Qn(P ) и кусок σ(P ) образовывали штопор, ориентированный также как данная система координат, т.е. если система координат правая (левая), то и штопор должен быть правым (левым). Если на поверхности S есть край Γ, то созданная конструкция приводит к определенному направлению обхода на Γ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12.3. Кусочно-гладкая поверхность S называется ориентированной, если каждый из ее гладких кусков ориентирован и возникающие при этом направления обходов контуров этих кусков согласованны, в том смысле, что вдоль каждой дуги, где два таких контура совпадают, направления их обхода противоположны.

Пусть поверхность S задана уравнением

Q Q Q

Qr = Qr(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k, (u, v) D.

Тогда вектор нормали Qn(P ) может быть вычислен одним из

В дальнейшем будем всегда считать, что в данном равенстве выбран знак + . Это всегда можно достигнуть, поменяв местами параметры u и v. Тем самым, если задана гладкая ориентированная поверхность S, то всегда можно считать, что она описывается такой вектор-функцией Qr = Qr(u, v), что единичная нормаль Qn(P ) выражается равенством:

Qn(P ) = Qr u × Qr v . |Qr u × Qr v|

ЗАМЕЧАНИЕ. Непосредственно проверяется, что если задана замена координат

u = u(u , v ), v = v(u , v ),

отображающая D → D, непрерывно дифференцируемая и имеющая положительный якобиан, то формула нормали ин-

вариантна, т.е.

Qn(P ) = Qr u × Qr v . |Qr u × Qr v |

12.3.Интеграл по ориентированной плоской области

Пусть в R2 задана система координат (x, y) и область G, измеримая по Жордану. Пусть граница области G есть кусочногладкая кривая Γ.

Будем говорить, что G положительно ориентирована и обозначать G+, если на Γ задана положительная ориентация, и G — отрицательно ориентирована и обозначать G−, если на Γ задана отрицательная ориентация.

Пусть в области G задана интегрируемая функция f(x, y).

Рассмотрим в плоскости R2 систему координат x , y : x, y и x , y — одинаково ориентированы. Пусть G — ориентированная область в плоскости (x, y) и задано непрерывно дифференцируемое преобразование

x = ϕ(x, y), y = ψ(x, y),

которое взаимнооднозначно отображает область G на G в плоскости (x , y ). Пусть при этом граница Γ взаимнооднозначно отображается на границу Γ области G . Будем предполагать, что

∂(ϕ, ψ) = 0.

∂(x, y)

При этом преобразовании обход границы Γ индуцирует на Γ вполне определенный обход. Следовательно, G можно считать ориентированной областью. Если

∂(ϕ, ψ) > 0,

∂(x, y)

то при переходе от Γ к Γ ориентация Γ не меняется, и если

∂(ϕ, ψ) < 0,

∂(x, y)

то ориентации Γ и Γ противоположны. Несложно показать,

что для любой f(x, y) непрерывной на G, выполнено

где G ориентирована с помощью преобразования, определенного выше. В этой формуле не нужно следить за знаком

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогичным образом определяются интегралы для G+, G−, определенных на других координатных плоскостях (y, z), (z, x).