матан

ТЕОРЕМА 10.2. Пусть векторное поле ϕQ — непрерывно дифференцируемо в области G и

Q

ϕ,Q ds = 0

C

по каждому замкнутому контуру C G. Тогда rot ϕQ = 0.

Доказательство. Из условия данной теоремы и из предыдущей теоремы следует, что векторное поле ϕQ — потенциально, т.е. существует непрерывно дифференцируемая функция U(x, y, z), такая что

10.2.Точный дифференциал

Пусть G R2.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.3. Говорят, что область G — односвязна, если для любого простого замкнутого контура, лежащего в G, область, ограниченная данным контуром , целиком лежит в G.

ТЕОРЕМА 10.3. Пусть D R2 — односвязная область и ϕQ = (P, Q) — непрерывно дифференцируемое векторное поле в D. Поле ϕQ является потенциальным тогда и только тогда, когда выполнено следующее условие

Доказательство. Заметим, что ϕQ потенциально тогда и только тогда, когда

P dx + Q dy = 0

C

для любого кусочно-гладкого замкнутого контура C, лежащего в D.

Фиксируем произвольно C D. Тогда контур C ограничи-

вает некоторую область D , такую что D D (что следует из односвязности D). Тогда по формуле Грина

Таким образом, получаем, что

P dx + Q dy = 0,

C

для любого замкнутого контура C D. Следовательно, поле ϕQ потенциально.

Обратно, пусть поле ϕQ потенциально. Предположим, что

(2) не выполнено, т.е. существует a D :

Для определенности будем считать, что

Тогда в силу непрерывности функции ∂Q∂x −∂P∂y найдется окрестность Uε (a) точки a, такая что

∂Q∂x − ∂P∂y ≥ c > 0

556 Глава 20. Теория интегрирования в Rn

Это противоречит потенциальности поля ϕQ.

ПРИМЕР 1. Покажем существенность требования односвязности области D в доказанной теореме. Рассмотрим

Следовательно, для данного векторного поля ϕQ условие (2) выполняется. Пусть C — окружность:

C

2π

=(− sin t(− sin t) + cos t cos t) dt = 2π = 0.

0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.4. Выражение P dx+Q dy называется точным дифференциалом, если существует функция F (x, y), такая что

т.е. выражение P dx + Q dy есть дифференциал 1-го порядка некоторой функции F (x, y).

Заметим, что не всякое выражение P dx + Q dy является точным дифференциалом.

ТЕОРЕМА 10.4. Пусть G — односвязная область на плоскости R2, P (x, y), Q(x, y) — непрерывно дифференцируемые функции в области G. Для того, чтобы выражение P dx + Q dy было точным дифференциалом, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке (x, y) G выполнялось равенство

∂P∂y = ∂Q∂x .

Доказательство. Покажем вначале необходимость условия. Если выражение

P dx + Q dy

есть точный дифференциал, то существует функция F (x, y), такая что

Покажем теперь достаточность условия. Предположим, что

∂P∂y = ∂Q∂x .

Рассмотрим векторное поле ϕQ = (P, Q). Тогда по предыдущей теореме поле ϕQ — потенциально, т.е. существует функция F (x, y), такая что

§11. Понятие площади поверхности

11.1.Площадь поверхности, заданной графиком функции

Пусть S — поверхность в R3, заданная графиком функции z = f(x, y), где (x, y) G R2, G — измеримая по Жордану область. Пусть f(x, y) имеет непрерывные частные производные

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2. Пусть задана поверхность S посредством вектор-функции

Qr(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), |Qr u × Qr v| > 0,

где (u, v) меняется в некоторой измеримой по Жордану области Ω, а функции x(u, v), y(u, v), z(u, v) имеют непрерывные на Ω частные производные. Предположим, что векторфункция Qr(u, v) осуществляет взаимнооднозначное отображение области Ω на поверхность S. Площадью поверхности S называется интеграл (3), а выражение

ds = |Qr u × Qr v| du dv

называется дифференциальным элементом поверхности S.

Проверим, что (3) инвариантен относительно преобразований параметров (u, v). Пусть u = λ(u , v ), v = µ(u , v ) —

непрерывно дифференцируемые функции, осуществляющие взаимнооднозначное отображение области Ω на Ω, причем

∂(u, v)

∂(u , v ) > 0.

Ω