матан

где ∂Ω — положительно ориентирована.

Доказательство. Положим в формуле Грина Q(x, y) = x, P (x, y) = −y. Тогда

∂Ω

§7. Приложения интеграла

При помощи кратных интегралов можно вычислять такие физические величины, как масса, заряд, емкость, центр тяжести, момент инерции и т.д. Приведем некоторые примеры.

Пусть в некоторой ограниченной области D распределена некоторая масса с переменной плотностью ρ(x, y, z). Иначе

говоря, на D задана некоторая неотрицательная и непрерывная функция ρ(x, y, z). Величину

D

называют массой D.

Можно иначе. Допустим мы умеем вычислять массу тел (или их частей). И пусть D — ограниченная область в R3. Говорят, что в D задано распределение масс с плотностью

ρ(x, y, z) ≥ 0, если P = (x, y, z) D выполнено

lim m(B(P, r)) = ρ(P ),

r→0 43 πr3

где B(x, r) — шар с центром в точке x радиуса r, 43 πr3 — объем этого шара.

Отметим, что в данном определении шары с центром в точке P можно заменить системой областей, стягивающихся в точку P .

Разобьем область D на подобласти ∆1, . . . , ∆n, так что D =

ni=1∆i.

При этом используются формулы вычисления центра тяжести системы материальных точек (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), . . ., (xn, yn, zn) с массами m1, m2, . . . , mn, соответственно:

Далее, пусть на плоскости задана кривая γ R2 и функция ρ(x, y) распределения масс на кривой γ. При этом плотность ρ(x, y) в точке (x, y) γ определяется как предел отношения ∆m части дуги, лежащей в окрестности точки (x, y) к длине этой же части дуги ∆l, когда окрестность стягивается к точке (x, y), т.е. ∆l → 0. Разбивая дугу γ на части γi и считая ρ постоянной на каждой дуге γi, можно найти массу

m(γi) ≈ ρ(ξi)· дл.γi, где ξi γi. Суммируя эти приближенные равенства и переходя к пределу при мелкости разбиения

стремящейся к 0, находим

m(γ) = ρ(x, y) ds.

γ

ПРИМЕР 1. Найти массу дуги γ : y = ln x, x [x1, x2], если плотность распределения равна квадрату абсциссы точ-

§8. Площадь в криволинейных координатах

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.1. Пусть даны функции u = u(x, y), v = v(x, y), которые осуществляют непрерывное отображение области D плоскости (x, y) на область ∆ плоскости (u, v). Предположим, что существует обратное отображение x =

и каждой точке N = (u0, v0) ∆ соответствует единственная точка M = (x0, y0) D. Таким образом, если заданы

числа (u0, v0), так что точка N = (u0, v0) ∆, то эти числа полностью определяют положение точки M = (x0, y0) D.

Эти числа (u0, v0) называются криволинейными координатами точки (x0, y0).

Приведем некоторые соображения (точнее, наводящие рассуждения) об изменении площадей элементарных площадок

≈ (x(u0, v0) + ∂v (u0, v0) dv, y(u0, v0) + ∂v(u0, v0) dv) = B4.

ЗАМЕЧАНИЕ. Так как |D| > 0 и якобиан не меняет знак, то заключаем, что знак ориентации контура ∂∆ совпадает со знаком якобиана. Вообще, при положительном якобиане отображения из положительной ориентации какого-либо контура в области плоскости (u, v) следует положительная ориентация его образа в области переменных (x, y). При отрицательном якобиане, ориентация контура меняется в противоположную сторону.

ПРИМЕР 1. Вычислить площадь фигуры, заключенной между двумя спиралями r = ϕ, r = 2ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ c, где (r, ϕ) — полярная система координат.

Заметим, что ∂∂((x,yr,ϕ)) = r. Тогда

§9. Замена переменных в кратном интеграле

Пусть R — прямоугольник со сторонами параллельными осям координат (u, v). Пусть x = x(u, v), y = y(u, v) — дважды непрерывно дифференцируемое отображение в некото-

рой области, содержащей прямоугольник R вместе с границей и имеющее положительный якобиан. Предположим,

что данное отображение взаимнооднозначно переводит прямоугольник R в некоторую область D с границей ∂D. Очевидно, что ∂D — кусочно-гладкая кривая. Справедливо следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 9.1. Пусть f(u, v) — произвольная интегрируемая по Риману на R функция. Тогда

Доказательство. Пусть u = u(x, y), v = v(x, y) обратное отображение к отображению x = x(u, v), y = y(u, v). Устроим разбиение P прямоугольника R прямыми параллельными осям координат, Ti — прямоугольники разбиения P . Так как

Вэтом случае векторное поле ϕQ называется потенциальным. Равенства (1) равносильны тому что

Q Q Q U = ϕQ = P i + Qj + Rk

(только в случае декартовой системы координат).

ТЕОРЕМА 10.1. Пусть в области G R3 задано непрерывное векторное поле ϕQ = (P, Q, R). Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1.Векторное поле ϕQ потенциально.

2.Вдоль любого замкнутого ориентированного контура

C, лежащего в G выполнено

CA0A

по каждой ориентированной кусочно-гладкой кривой CA0A G с началом в точке A0 и концом в точке A зависит от точек A0 и A, но не зависит от формы кривой. При этом

V (A) = V (x, y, z) = P dx + Q dy + R dz

CA0A

является потенциальной функцией векторного поля

ϕQ.

Доказательство. Очевидно, что из условия 3) следует справедливость 1), т.к. V (x, y, z) является потенциальной функцией.

Покажем, что из условия 1) следует выполнение условия 3). Из 1) следует существование непрерывно дифференцируемой функции U(x, y, z), такой что U = ϕQ. Рассмотрим произвольную кривую CA0A, соединяющую точки A0 и A. Предположим, что кривая CA0A задана параметрически уравнениями

,