матан

ПРИМЕР 3. Пусть K — граница квадрата, |x| < 1, |y| < 1. Вычислим интеграл

sin(xy) dx + cos(xy) dy,

K

где K — положительно ориентирован.

Следовательно интеграл по контуру K равен 0.

ПРИМЕР 4. Пусть K — граница круга x2 + y2 ≤ 1. Вычислим

y dx + x dy,

K

где K — отрицательно ориентирована.

2π

y dx + x dy = (− sin t(− sin t) + cos t(− cos t)) dt =

2π

= − cos(2t) dt = −12 sin 2t|20π = 0.

0

Сделаем несколько небольших замечаний об криволинейных интегралах в Rn.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.4. Пусть в Rn задана кривая γ, т.е. образ взаимно-однозначной вектор-функции r(t) = (x1(t), x2(t),

. . .,xn(t)), t [a, b]. Пусть задана функция y = f(x) = f(x1, . . . , xn) на кривой γ. Предположим, что функции xi(t)

непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b]. Тогда криволинейным интегралом I-го рода по кривой γ от функции f(x) называется

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.5. Пусть на кривой γ заданы функции P1(x), P2(x), . . . , Pn(x). Предположим, что

Криволинейным интегралом II-го рода по кривой γ называется

534 Глава 20. Теория интегрирования в Rn

Это определение верно, если на γ задано направление интегрирования, т.е. начальная и конечная точки. Криволинейный интеграл II-го рода иногда указывается другим обозна-

чением: n

Pi(x) dxi,

7 i=1

AB

где A = r(a), B = r(b).

6.4.Связь между криволинейными интегралами I и II рода

Рассмотрим кривую AB, имеющую касательную в каждой

Обозначим через α(s) — угол между вектором касательной к

7

AB в точке M(s) и осью Ox (касательный вектор направлен в сторону возрастания длины дуги).

Тогда известно, что

x (s) = cos α, y (s) = sin α.

7

Пусть на AB задана непрерывная функция f(M) = f(x, y).

Тогда

|7|

AB

=f(x(s), y(s)) cos α(s)ds.

0

Таким образом, криволинейный интеграл II-го рода сводится к криволинейному интегралу I-го рода, и справедлива формула

Подчеркнем, что во всех формулах, угол α связан с тем направлением касательной, который отвечает направлению кривой. Если изменить направление кривой, то не только интеграл слева изменит свой знак, но и интеграл справа.

6.5.Формула Грина

ТЕОРЕМА 6.2 (формула Грина4). Пусть Ω R2

— область с границей ∂Ω. Предположим, что функции P (x, y), Q(x, y), ∂Q∂x (x, y), ∂P∂y (x, y) непрерывны в замыка-

нии области Ω, т.е. в Ω. Если граница ∂Ω состоит из конечного числа кусочно гладких контуров, то справедлива формула Грина:

где ∂Ω — положительно ориентирована.

Доказательство. A) Вначале докажем формулу Грина (6) для прямоугольника. Пусть ∆ = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}.

4Грин Джорж (14.7.1783 – 31.3.1841). Род. в Снейтоне, близ Ноттингема (Англия). Самостоятельно изучал математику и лишь в 1837 окончил Кембриджский университет. В сочинении "Опыт применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма" ввел понятие и термин "потенциал" и развил теорию электричества и магнетизма, опираясь на найденное им соотношение между интегралами по объему и по поверхности.

538 Глава 20. Теория интегрирования в Rn

Суммируя полученные формулы, получаем формулу Грина.

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогичным образом устанавливается справедливость формулы Грина для областей, полученных из областей типа W посредством поворота вокруг начала координат на следующие углы: π2 , π, 32π , которые вместе с прямоугольниками будем также называть областями типа W .

C) Пусть Ω R2 — область и ∂Ω — ее граница. Предположим, что Ω является объединением конечного числа областей типа W, пересекающихся разве лишь по границам.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Попробуйте привести пример ограниченной области с кусочно гладкой границей, которая не удовлетворяет условиям данного пункта теоремы.

Покажем теперь, что для области Ω справедлива формула

Грина. Пусть

Ω = nk=1Ωk,

где Ωk — области типа W . Учитывая, что для каждой области Ωk справедлива формула Грина, получаем

=P dx + Q dy.

k=1∂Ωk

Заметим, что граница ∂Ωk состоит из части границы ∂Ω и конечного числа отрезков, являющихся общей границей двух соседних областей Ωk. Причем интеграл по прямолинейным отрезкам берется дважды с противоположными направлениями интегрирования. Поэтому в сумме

n

P dx + Q dy

k=1∂Ωk

интегралы по отрезкам компенсируются. Следовательно,

Получено нужное равенство.

D) Приведем только схему доказательства общего случая (подробное доказательство попробуйте воспроизвести сами!). Предположим для простоты, что функции

непрерывны не только в замыкании области Ω, но и в неко-

торой его окрестности, например в прямоугольнике A Ω. Впишем в ∂Ω некоторую ломанную L. Пусть L ограничивает многоугольник D A.