матан

и потому для интеграла Фурье для функции f(x) выполнено

§2. Условие представимости функции интегралом Фурье

ТЕОРЕМА 2.1. Если функция y = f(x) кусочно липшицева на (−∞, +∞) и

+∞

|f(x)| dx < ∞,

−∞

то ее интеграл Фурье сходится в каждой точке, причем

Доказательство проведем в частном случае, когда функция y = f(x) финитна. Общий случай предлагается рассмотреть самостоятельно, либо найти в математической литературе.

ЛЕММА 2.1. (Риман) Если кусочно непрерывная функция f(x) финитна, то

+∞

f(x) eiλxdx → 0 при λ → ∞.

−∞

Замечания. 1. Утверждение остается в силе и для кусочно непрерывных функций, обладающих свойством

+∞

|f(x)| dx < ∞.

−∞

2. Пользуясь формулой Эйлера, легко заключаем, что

(c) f6(ξ) → 0 при ξ → ∞.

Доказательство. Для доказательства утверждения (a) заметим, что

Предположим, что f(x) обращается в 0 вне отрезка [−a, a], a > 0. Тогда

|f6(ξ + ∆ξ) − f6(ξ)| ≤

Поскольку при x [−a, a] величина |(∆ξ) x| не превышает |a| |∆ξ|, то при ∆ξ → 0 выполнено

sin(∆ξ)x → 0 и cos(∆ξ)x → 1,

Для доказательства утверждения (c) воспользуемся леммой 2.1. Тогда

+∞

Доказательство теоремы. По лемме 2.2 преобразование Фурье непрерывно на (−∞, +∞) и, значит, интегрируемо на всяком отрезке [−A, A], A > 0. Поэтому

Смена порядка интегрирования законна, поскольку f финитна и, тем самым, интегрирование производится по конечному промежутку, а подынтегральная функция непрерывна.

Далее имеем,

−∞

Здесь мы воспользовались преобразованиями:

0

f(x + u)sin Au du = |u = −v, du = −dv| = u

Так как функция f(x) кусочно липшицева, то функции g±(u) ограничены и кусочно непрерывны. Отсюда следует, что

Правая часть стремится к 0 при A → ∞ (см. замечание после леммы 2.1) и потому

§3. Гладкость функции и скорость убывания ее преобразования Фурье

ТЕОРЕМА 3.1. Если функция f(x) определена на (−∞, +∞), k раз непрерывно дифференцируема и

Доказательство проведем для случая, когда функция f(x) финитна. В общем случае — провести самостоятельно, либо найти в математической литературе. Пусть k = 0. Тогда утверждение (1) тривиально, а утверждение (2) следует из леммы Римана.

Предположим, что k > 0. На основании формулы интегрирования по частям имеем

+∞

ПРИМЕР 1. Решим уравнение

a0 u (x) + a1 u (x) + a2 u(x) = g(x),

где a0, a1, a2 – постоянные и g(x) – кусочно непрерывная на (−∞, +∞) функция такая, что

+∞

|g(x)| dx < ∞.

−∞

Применяя к обеим частям равенства преобразование Фурье, имеем

Таким образом, вместо решения уравнения нам достаточно вычислить интеграл.

Замечание. Априори нам не известно удовлетворяет ли решение u(x) необходимым условиям для применимости нужных формул. Поэтому после того как решение u(x) будетнайдено необходима проверка. Кроме того, данным приемом можно отыскать только решения, достаточно быстро стремящиеся к 0 при x → ∞.

абсолютно интегрируема на (−∞, +∞). Тогда

7

(i) преобразование Фурье f(x)(ξ) является k раз непрерывно дифференцируемым;

(ii) справедливо равенство

f6(k)(ξ) = (−i)kxkf(x)(ξ). (3)

Доказательство. Доказательство, как и выше, проведем лишь для случая финитной f(x). При k = 0 утверждение очевидно. Пусть k ≥ 1. Мы имеем

+∞

Пользуясь теоремой о дифференцировании по параметру интеграла с конечными пределами интегрирования, находим

−∞