матан

Таким образом, второй из интегралов правой части (3) стремится к 0 при A → ∞ и, переходя к пределу при A → ∞, выводим, что второй из несобственных интегралов в (2) существует и равен первому несобственному интегралу в (2).

§7. Дифференцирование несобственного интеграла по параметру

ТЕОРЕМА 7.1. Пусть f(x, y) — функция двух переменных, определенная на [a, ∞) × [c, d] и непрерывная по x на [a, ∞) для любого y [c, d]. Предположим, что существует производная fy(x, y) непрерывная по совокупности пе-

ременных на полуполосе [a, ∞) × [c, d], и, кроме того, интеграл

сходится равномерно относительно y [c, d]. Тогда для всех y [c, d] справедлива формула:

I (y) = Φ(y).

Доказательство. Для всех y [c, d] по теореме 5.1 имеем:

Дифференцируя обе части данного равенства по y находим

Если бы удалось нам поменять местами порядок интегрирования в правой части (1), то мы бы пришли к равенству

и, тем самым,

∞

e−x2 dx = √π.

−∞

Нам остается обосновать переход от (1) к (2), связанный с изменением порядка интегрирования.

Попробуем воспользоваться теоремой 6.1, что кажется наиболее естественным. Проверим выполнение ее условий. Обо-

значим

f(t, u) = e−u2(t2+1)u.

Во-первых, эта функция непрерывна как функция двух переменных на [0, ∞) × [0, ∞).

Во-вторых, интеграл

∞

непрерывен по переменной t.

454 Глава 18. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Однако интеграл

является разрывной функцией в точке u = 0. Поэтому воспользоваться теоремой 6.1 напрямую нельзя. Применим эту теорему к множеству [u0, ∞) × [0, ∞) и перейдем к пределу при u0 → +0. В результате получаем

∞

e−x2 dx = √π.

−∞

Заметим, что существование одного из повторных интегралов, что необходимо для применения теоремы 6.1, нами было доказано (мы его просто посчитали).

§8. Интеграл Эйлера первого рода

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.1. B("Бета")-функцией (интегралом Эйлера первого рода) называется функция

1

B(a, b) = xa−1(1 − x)b−1dx,

0

где a > 0, b > 0.

УПРАЖНЕНИЕ 1. Докажите, что данный интеграл сходится тогда и только тогда, когда a > 0 и b > 0.

ЗАМЕЧАНИЕ. При a < 1, либо при b < 1, данный интеграл является несобственным интегралом, зависящим от параметра.

ТЕОРЕМА 8.1. Для любых a > 0, b > 0 справедливо равенство

B(a, b) = B(b, a).

Доказательство.

1

B(a, b) = xa−1(1 − x)b−1dx = |1 − x = y, −dx = dy| =

0

0 1

= − (1 − y)a−1yb−1dy = yb−1(1 − y)a−1dy = B(b, a).

1 0

= b −a 1B(a, b − 1) − b −a 1B(a, b).

Таким образом

1 + b −a 1

откуда получаем нужное

ТЕОРЕМА 8.3. Для любых a > 0 и n N справедливо равенство

Доказательство. Применяя последовательно теорему 8.2 получаем:

откуда получаем нужное.

ТЕОРЕМА 8.4. Для любых натуральных m, n справедливо равенство

B(m, n) = (m − 1)!(n − 1)!. (n + m − 1)!

k=1

Доказательство.

ТЕОРЕМА 9.2. Для всех натуральных n справедливо равенство

Γ(n + 1) = n!.

Доказательство.

Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n − 1)Γ(n − 1) = ... = n(n − 1)...1Γ(1).

Учитывая, что

∞

Γ(1) = e−xdx = − e−x ∞0 = 1,

0

получаем требуемое.

Доказательство. Подстановкой x = ty, t > 0 преобразуем

Данное равенство верно для всех a > 0 и всех t > 0. Полагая здесь a = a1 + b, t = t1 + 1, получаем:

∞

0

Умножая обе части данного равенства на ta−1 и интегрируя, находим