5. Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определения кардинальных элементов оптической системы. Объясните физический смысл главных и фокальных плоскостей и точек.

2. Выведите формулы (33) – (37).

3. Может ли двояковогнутая линза быть собирающей? Может ли двояковыпуклая линза быть рассеивающей?

4. Две собирающие линзы с фокусными расстояниями f₁ и f₂ установлены на расстоянии L друг от друга, так что их оптические оси совпадают. Найти фокусное расстояние этой системы линз.

5. Фокусное расстояние тонкой стеклянной линзы в воде равно f. При погружении ее в сероуглерод (n=1,63) фокусное расстояние изменилось на f. Чему равны фокусное расстояние линзы и показатель преломления стекла?

6. Расстояние между двумя точечными источниками равно L. Где нужно поместить собирающую линзу с фокусным расстоянием f, чтобы изображения обоих источников совпали?

7. С помощью тонкой собирающей стеклянной линзы с показателем преломления n=1,5 получено действительное изображение предмета на расстоянии 10 см от линзы. После того как предмет и линзу поместили в воду, не меняя расстояния между ними, изображение получилось на расстоянии 60 см от линзы. Найти фокусное расстояние линзы в воздухе, если показатель преломления воды n_в = 1,33.

8. Двояковыпуклая линза с радиусами кривизны поверхностей r₁= 6 см и r₂= ‑3 см, толщиной по оси =1,5 см, показателем преломления n=1,5 находится в воздухе. Найти фокусное линзы и расположение кардинальных плоскостей.

9. Из плоскопараллельной стеклянной пластинки изготовлены три линзы (см. рис.). Фокусное расстояние линз1 и 2, сложенных вместе, равно –f₁₂, фокусное расстояние линз 2 и 3 равно –f₂₃. Определить фокусное расстояние каждой линзы.

10. На рисунках указано положение оптической оси, предметаА и его изображения А^/. Определить положение линзы и ее фокусов.

Построить изображение точки В.

11. Оптическая сила тонкой линзы в воздухе и в жидкости с неизвестным показателем преломления равна соответственно Ф₀ и –Ф₁. Чему равен показатель преломления жидкости, если у стекла линзы он равен n?

12. Найти положение кардинальных элементов системы с тонкими линзами, показанной на рисунке, еслиf₁= 10 см, f₂= ‑20 см. f₃= 9 см.

Отражение и преломление света

НА ГРАНИЦЕ ДВУХ СРЕД

Лабораторная работа

ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА НА ГРАНИЦЕ ДВУХ СРЕД

(ФОРМУЛЫ ФРЕНЕЛЯ)

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Изучение законов и исследование отражения и прохождения световых электромагнитных волн (ЭМВ) на границе раздела двух сред; анализ амплитудных и энергетических коэффициентов отражения и пропускания ЭМВ на этой границе; освоение методов юстировки оптических систем с использованием лазера.

ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: оптическая скамья, маломощный непрерывный лазер, диафрагма, стеклянная плоскопараллельная пластина, укрепленная на лимбе, фотоприемник.

1. Теоретическая часть

Электромагнитная волна, падая на границу раздела двух сред, частично отражается от поверхности раздела и частично преломляется, переходя во вторую среду. Физические явления, имеющие место в этом случае, следует прежде всего охарактеризовать энергетически, вводя понятие коэффициентов отражения и пропускания. Но необходимо исследовать и фазовые соотношения на границе двух сред. Это позволит получить новую информацию об изучаемых физических явлениях.

1.1. Законы отражения и преломления электромагнитных волн

Граничные условия для векторов поля световой волны на границе между двумя диэлектриками при отсутствии свободных зарядов и токов проводимости имеют вид:

(1) – (2)

где t, n – индексы тангенциальных (касательных к границе раздела) и нормальных компонент векторов соответственно. Пусть на плоскую границу двух диэлектриков с абсолютными (не относительными!) проницаемостями (e₁ ; m₁) и (e₂ ; m₂) (магнитную проницаемость пока оставим в общем виде) падает под некоторым углом плоская световая волна (рис.1). Тогда для напряженностей электрического поля в падающей, отраженной и преломленной волнах соответственно имеем:

Рис. 1

(3)

где – волновые числа, причем– скорости света в 1-й и 2-й средах.

Законы отражения и преломления света на границе полностью определяются граничными условиями (1) и (2).

Для электрического поля с учетом (3) граничные условия принимают вид:

(4)

Отметим, что начало отсчета вектора r (точка 0’ ) совершенно произвольно. Если 0’ лежит не на поверхности раздела, то

. (5)

При этом в (4): . Но для любой точки поверхности, поэтому удобно точку0’ поместить на границе раздела.

Равенство (4) будет соблюдаться для произвольных значений r и t только при (6)

. (7)

Отсюда следует, что частота ЭМВ при отражении и преломлении не меняется . (8)

Выберем точку 0’ так, чтобы вектор (т.е. направим перпендикулярно плоскостиXZ рис.1). Тогда , а из (7) следует, что и. Отсюда следует, что волновые векторы падающей, отраженной и преломленной волн (условно пока назовем направлениеk лучом) лежат в одной плоскости.

Плоскость, в которой лежат волновой вектор k₀ и нормаль к поверхности раздела n в точке падения луча, называется плоскостью падения. Из рис.1 видно, что

(9)

Тогда с учетом (7) получаем:

(10)

или из (3) и (8): . (11)

Вспомним, что – показатели преломления. Из (11) можно сделать следующие выводы:(12)

. (закон Снеллиуса) (13)

Введем обозначение

–относительный показатель преломления. (14)

Тогда закон Снеллиуса примет вид:

. (15)

При (падение из оптически менее плотной в оптически более плотную среду)(рис.2). При(рис.3).

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Вообще говоря, вектор E₀ в падающей волне может иметь произвольный азимут a (угол между E и плоскостью падения. Разложим векторы электромагнитного поля на две составляющие: перпендикулярные плоскости падения (будем обозначать их индексом s (или ^) и параллельные плоскости падения (будем обозначать их индексом p (или || )) (рис.4):

(16)

Видно, что векторы исоставляют правовинтовые тройки векторов и образуют сами плоские ЭМВ. Кроме этого видно, что, т.е. плотность потока энергии исходной волны равна сумме плотностей потока энергии волн, на которые она разлагается.

Т.о., плоскую волну с произвольным азимутом можно разложить на сумму волн, у одной из которых E_p (p – поляризация) лежит в плоскости падения, а у другой E_s (s – поляризация) – перпендикулярна ей. Изучив поведение этих волн на границе с учетом принципа суперпозиции и аддитивности (в данном случае) плотностей потока энергии, получим поведение ЭМВ с произвольным азимутом.

1.2. Отражение и преломление s-поляризованной ЭМВ

Введем единичные векторы в направлении волновых векторов:

Рис. 5

(17)

Как направлены векторы E₁ и E₂ заранее не известно. Направим условно их так, как показано на рис.5. Если знак получится отрицательный, значит векторы направлены в противоположную сторону.

Граничные условия для s–поляризации (индексы s опустим):

(18) – (19)

Обозначим –волновое сопротивление (импеданс) среды. (Для вакуума .) В оптике, в отличие от электричества, понятие волнового сопротивления среды практически не используется. Но для удобства записи мы им временно воспользуемся. Тогда

(20)

Из рис.5 можно найти связь :

(21)

Для дальнейшего использования в (19) получим из (20) и (21) скалярное произведение для любой из рассматриваемых волн:

. (22)

С учетом известной из векторного анализа формулы

(23)

получаем: . (24)

Тогда из (19) имеем:

. (25)

Соотношения (25) и (18) совместно можно записать в виде:

(26)

Обозначим: – амплитудный коэффициент отражения; (27)

–амплитудный коэффициент пропускания. (28)

Учтем, что (29)

При система (26) имеет действительное решение для всех угловq₀ . Если она имеет действительное решение лишь для углов(подробнее этот случай рассмотрим позднее). Тогда имеемобобщенные формулы Френеля для s – поляризации:

(30) – (31)

Для диэлектриков в оптическом диапазоне обычно . Тогда из (30) и (31) получим общепринятые формулы Френеля дляs – поляризации:

(32) – (33)

Рис. 6

Графики зависимостей идляприведены на рис.6.

При отражении света от диэлектрика с фаза отраженной волны изменяется наp. При преломлении в этом случае изменения фазы нет.

При отражении света от диэлектрика с скачка фазы наp не происходит ни для отраженной, ни для преломленной волны.

1.3. Отражение и преломление p–поляризованной ЭМВ

Рис. 7

Рассмотрение в данном случае проводится аналогично случаю s–поляризации. Для этого учтем, что

(34) – (35)

Отсюда . (36)

Граничные условия для p–поляризации принимают вид:

(37) – (38)

Подставляя (36) в (37), получаем:

; (39)

. (40)

Для действительных углов преломления получаем обобщенные формулы Френеля для p–поляризации:

(41) – (42)

или для диэлектриков с m₁ = m₂ :

(43) – (44)

Рис. 8

Графики зависимостей идляприведены на рис.8.

1.4. Явление Брюстера

Из формулы (43) и из графика рис.8 видно, что для p–поляризованной волны при некотором угле падения , называемомуглом Брюстера, отраженная волна отсутствует, т.е. . Это явление называетсяявлением Брюстера. Для угла Брюстера справедливы следующие соотношения:

(45)

При переходе через угол Брюстера фаза колебаний отраженной волны скачком меняется на p.

Заметим, что явлении Брюстера наблюдается тогда, когда направления преломленной и отраженной волны ортогональны. С физической точки зрения это можно объяснить следующим образом. Если связывать наличие отраженной волны с вынужденными колебаниями электронов во второй среде, то в направлении, перпендикулярном преломленной волне, не должна распространяться энергия, т.к. образующийся при этом диполь не излучает в направлении собственных колебаний.

При при падающей волне с произвольным азимутом отражается лишьs – поляризованная компонента. Это является одним из способов получения линейно-поляризованного света.

При нормальном падении света () понятияs– и p– поляризаций теряют смысл и формулы (30), (31), (41) и (42) дают один и тот же результат (для диэлектрика ):

(46) – (47)

1.5. Энергетические соотношения при отражении и преломлении света

Энергетическим коэффициентом отражения называется абсолютное значение отношения нормальных компонент векторов Пойнтинга в отраженной и падающих волнах:

. (48)

Энергетический коэффициент пропускания вводится аналогичным образом для преломленной волны:

. (49)

Т.к. , , (50)

(51)

то для Â имеем: (52)

(53)

или с учетом (30), (31), (41), (42):

; (54)

; (55)

; (56)

. (57)

При q₀ = 0 для m₁ = m₂ ; (58)

. (59)

Прямой проверкой можно показать, что

Рис. 9

. (60)

Это выражает закон сохранения энергии при отражении и преломлении света на границе раздела двух сред. Графики для изображены на рис.9.