Тема 2. Прогнозирование на основе однофакторных регрессионных моделей

2.1. Задания к практическим занятиям

Задание 2.1.На основе данных за 1-12 месяцы:

1. оценить параметры уравнения однофакторной линейной регрессии и построить его (выбрать тот «Х», для которого в табл.1 значение коэффициента корреляции y – x_i будет максимальным);

2. оценить качество построенного уравнения однофакторной линейной регрессии, рассчитав коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера..

Сделать выводы.

Задание 2.2.По полученному в задании 2.1 уравнению однофакторной регрессии сделать прогноз результативного показателяYна 13-18-ый месяцы, рассчитать ошибку прогноза.

2.2. Методические указания к практически занятиям

Определение параметров уравнения регрессии.

После того как установлено, что зависимость между признаками есть, нужно установить теоретическую форму связи, т.е. вид математической функции , которая наилучшим образом описывает поведение изучаемого признака.

Форма корреляционного облака допускает, что между рассматриваемыми показателями существует прямолинейная связь.

Уравнение линейной связи в общем виде можно записать так:

y = a + b*x_i,

где y - зависимая переменная, показатель, который прогнозируется;

a - отрезок, начальное значение зависимой переменной, экономической интерпретации чаще всего не имеет;

b - наклон, показывает, на сколько единиц изменится прогнозируемый показатель y при изменении независимой величины (фактора) на единицу; наклон является статистическим нормативом;

x_i - значение фактора (независимой переменной) в данном месяце прогнозируемого периода.

Это уравнение, выражающее зависимость У от X, называется уравнением регрессии.

Найти уравнение регрессии означает определить параметры а и b. Их оценивают при помощи метода наименьших квадратов, который дает следующую систему нормальных уравнений:

Из этой системы можно выразить коэффициенты:

Таким образом, необходимо произвести следующие расчеты:

1. Рассчитать в табл. 2 две колонки – ХУ и Х².

2. Под таблицей рассчитать необходимые средние величины:

, ,,,

n – число периодов (в данном случае – 12).

3. Рассчитать параметры уравнения однофакторной линейной регрессии (a и b).

4. Подставляя в значения х в найденное уравнение однофакторной линейной регрессии, найдем теоретические значения (табл. 2, гр. 5).

5. Сумма выровненных значений должна быть равна сумме фактических значений результативного признака (табл. 2, итого по гр.2 = итого по гр. 5). Если такого равенства нет, то следует проверить правильность всех предшествующих расчетов.

Оценка качества построенного уравнения регрессии.

Качество любого уравнения регрессии оценивается по трем параметрам:

1. Коэффициент детерминации (R²) – см. Тема 1, п. 1.2 (R–квадрат);

2. Критерий Фишера – необходимо знать F_факт и F_табл (определяется по таблице, приложение 3).

F_факт можно рассчитать по формуле:

Таблица 2

Результаты прогнозирования на основе однофакторных регрессионных моделей на 13-18-й месяцы

Месяц	Значение факторного показателя (Х)		Фактическое значение результативного показателя (Y)	ХУ	Х2	Теоретические значения результативного показателя, (Yт)			На основе линейной однофакторной регрессии
									Прогнозное значение показателя	Ошибка прогноза, %
А	1		2	3	4	5	6	7	8	9
1 2 3 … 11 12									Х Х Х	Х Х Х
Итого за год							-		Х	Х
13 14 15 16 17 18				Х Х Х	Х Х Х	Х Х Х	Х Х Х	Х Х Х		=(гр.7-гр.2)/ гр.2*100
Итого				Х	Х	Х	Х	Х	

где n – число единиц совокупности;

m – количество объясняющих переменных;

3. Средняя ошибка аппроксимации (), которая определяется по формуле:

Для нахождения средней ошибки аппроксимации необходимо в табл. 2 рассчитать две колонки:

1. ;

2. - для нахождения используем математическую функцию ABS.

Качество построенной регрессионной модели считается высоким если:

1. Коэффициент детерминации (R²) больше либо равен 0,5;

2. Критерий Фишера F_табл < F_факт;

3. Средняя ошибка аппроксимации () меньше либо равна 10 %.

Если все три условия выполняются, то построенная модель может быть использована для прогнозирования. Если хотя бы одно из условий не выполняется, то модель низкого качества и не может быть использована для прогнозирования.

Расчет прогнозных значений y на 13-18-ый мес.:

1) поставить курсор в ячейку, находящуюся на пересечении строки «13» прогнозируемого периода и графы «На основе линейной регрессии» – «Прогнозное значение показателя»;

2) ввести формулу: = абсолютный адрес коэффициента (а) + абсолютный адрес коэффициента (b) * относительный адрес значения x_i в 13-м месяце.

Абсолютный адрес означает, что в адрес ячейки вводится символ доллара (например, $E$5). Для этого достаточно нажать клавишу F4, после введения в строку формул адреса соответствующей ячейки (адрес ячейки «а»  F4; адрес ячейки «b»  F4).

Тогда формула примет вид: = адрес ячейки (a) (нажать F4) + адрес ячейки (b) (нажать F4) * адрес ячейки «13» прогнозируемого периода.

3) после ввода формулы нажать клавишу Enter и захватив мышью правый нижний угол ячейки, протянуть ее на 6 месяцев прогнозируемого года.

4) в строке «За полугодие» рассчитать суммарное значение прогнозируемого показателя за 6 месяцев.

Расчет ошибки прогноза по формуле:

1. поставить курсор в ячейку, находящуюся на пересечении столбца «Ошибка прогноза» и строки «13»;

2. ввести формулу расчета ошибки прогноза (см. табл. 2):

3. после ввода формулы нажать клавишу Enter и, захватив мышью правый нижний угол ячейки, протянуть ее на всю колонку, включая строку «Итого».