2) ((f g)0, φ) = (f g, −φ0) = (f(x), (g(y), −φ0(x + y))) = (f(x), (g0(y), φ(x + y))) =

(f g0, φ); из коммутативности свертки (f g)0 = (g f)0 = g f0 = f0 g. 3) доказывается аналогично 1).

Пример 1.13. f K0 δ f = f δ = f; δ(x − x0) f = f δ(x − x0) = f(x − x0) .

1.7ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Ограничимся рассмотрением (линейных) обыкновенных дифференциальных уравнений вида

1.7.1Обобщенные и классические решения

Классическое решение - это функция y(x), имеющая n непрерывных производных и удовлетворяющая уравнению (1.2). Такое решение заведомо существует, если все коэффициенты и правая часть в этом уравнении — гладкие функции, причем pn(x) 6= 0.

Определение 1.26. Оператором, сопряженным к L, называется оператор L , определяемый равенством:

Определение 1.27. Обобщенным решением дифференциального уравнения называется такой функционал y, что для любой пробной функции выполняется равенство (называемое интегральным тождеством) (y, L φ) = (f, φ).

Утверждение 1.16. 1) Классическое решение является обобщенным;

2) Обобщенное решение, имеющее n непрерывных производных, является классическим.

Доказательство этих утверждений вытекает из того факта , что для гладких решений имеет место тождество (получаемое интегрированием по частям)

Z Z Z

(y, L φ) = y(x) (L φ(x)) dx = (Ly(x)) φ(x)dx = f(x)φ(x)dx = (f, φ) .

Утверждение 1.17. Уравнение y0(x) = 0 имеет только классическое решение.

Фиксируем произвольную пробную функцию φ0(x), удовлетворяющую условию

R

φ0(x)dx = 1. Заметим, что любая пробная функция φ(x) может быть представлена как φ(x) = ψ0(x) + Aφ0(x), ãäå ψ(x) K è A = R φ(x)dx. Действительно, разрешив это равенство относительно ψ0(x) и проинтегрировав, получим

xx

ZZ

Существование свертки любой f с δ-функцией вытекает из финитности последней .

18

Из данного представления вытекает бесконечная гладкость ψ. Положим ψ(−∞) = 0. Из финитности φ(x) è φ0(x) вытекает ψ(x) ≡ 0 ïðè x < −R, ãäå R достаточно велико. Кроме

RR

R R R

òîãî, ïðè x > R ψ(R) = φ(x)dx − A φ0(x)dx = φ(x)dx − A = 0, ò.å. ψ финитная

−∞ −∞

функция. Таким образом, ψ K.

Для любого решения уравнения y0 = 0 имеем (y, φ) = (y, ψ0 + Aφ0) = (y0, −ψ) + A(y, φ0). Первое слагаемое здесь равно нулю в силу уравнения ; во втором слагаемом (y, φ0) является произвольной постоянной, зависящей от выбора φ0. Таким образом, (y, φ) = AC =

R

Cφ(x)dx = (C, φ), ò.å. y = C .

Пример 1.14. Рассмотрим уравнение xy0 = 0. Мы знаем, ÷òî y0 = C1δ(x). Частным решением последнего уравнения является C1θ(x), а общим решением соответствующего однородного уравнения — C2. Поэтому окончательно y(x) = C1θ(x) + C2.

В действительности, утверждение 1.17 допускает следующее обобщение (без доказательства):

Теорема 1.2. Уравнение (1.2) ïðè pn(x) 6= 0 имеет только классические решения.

1.7.2Фундаментальные решения

Определение 1.28. Фундаментальным решением оператора L называется обобщенная функция, удовлетворяющая уравнению LE = δ.

Очевидно, фундаментальное решение не изменится, если к нему прибавить любое ре-

Утверждение 1.18. Свертка y = E f (если существует) удовлетворяет уравнению

Ly = f.

Действительно, L(E f) = (LE) f = δ f = f.

Существует простой способ построить фундаментальное решения для оператора (1.2) при условии pn(x) 6= 0:

Утверждение 1.19. L(x) = θ(x)u(x), ãäå u(x) - частное решение однородного уравнения Lu = 0, удовлетворяющее начальным данным u(0) = 0, . . . , u(n−2)(0) = 0, u(n−1)(0) = 1/pn(0).

Заметим, ÷òî dxd (θ(x)u(x)) = theta(x)u0(x) + δ(x)u(x). Поскольку множитель перед δ- функцией можно заменить его значением в нуле, то второе слагаемое исчезает. Аналогич-

íî dxdkk (θ(x)u(x)) = θ(x)u(k)(x), k = 1, . . . , n−1, íî dxdnn (θ(x)u(x)) = θ(x)u(n)(x)+δ(x)u(n−1)(0)

Âрезультате L (θ(x)u(x)) = θ(x)Lu + pn(0)δ(x)u(n−1)(0) = δ(x) .

Âпримерах, рассмотренных в настоящем параграфе, sinh(x) как раз и является решением u(x), удовлетворяющим начальным условиям утверждения 1.19.

19

1.7.3Фундаментальное решение и задача Коши

Рассмотрим задачу Коши

совпадающей при t > 0 с решением уравнения (1.3) и продолженных нулем на область отрицательных t. Аналогично введем функцию f+, однако сохраним за продолженными

функциями прежнее обозначения: y+ y, f+ f. Посмотрим, какому уравнению удовлетворяет такое обобщенное решение . Находим: y0 = {y0(x)} + y0δ(x), y00 = {y00(x)} +

Таким образом, мы приходим к следующему определению:

Определение 1.29. Обобщенным решением задачи Коши называется обобщенное решение уравнения (1.4).

Это решение может быть получено методом фундаментального решения : y = (θ(x)u(x))

1.7.4Функция Грина краевой задачи для оператора 2-го порядка

В этом параграфе мы будем иметь дело с частным случаем уравнения (1.2) с оператором

(называемым оператором Штурма-Лиувилля). Важной особенностью оператора (1.5) является его симметричность: L = L . Уравнение (1.2) рассматривается на отрезке [a, b] (который может быть и бесконечным) с краевыми условиями вида y(a) = 0, y(b) = 0 (или с линейными однородными условиями более общего вида ).

Классическая функция Грина

Классическое определение функции Грина состоит в следующем :

Определение 1.30. Функция Грина – это непрерывная функция двух переменных G(x, x0), дважды дифференцируемая по x при и как функция x при любом x0 (a, b)

удовлетворяющая уравнению и краевым условиям , причем частная производная Gx(x, x0) испытывает в точке x0 скачок: [Gx(x, x0]x=x0

20

Замечание 1.8. В случае линейно-зависимых решений ya,b их определитель Вронского ра-

âåí íóëþ, и функция Грина не существует. Но линейная зависимость ya è yb означает существование решения однородного уравнения (1.2), удовлетворяющего одновременно

обоим краевым условиям. Таким образом, если однородная краевая задача имеет ненулевые решения, то функции Грина не существует.

åñòü 12 e−|x−x0|.

Утверждение 1.20. Функция Грина единственна (если она существует).

Если предположить, что существуют две функции Грина, G1 è G2, то их разность удовлетворяет краевым условиям и уравнению L(G1 − G2) = 0 всюду на (a, b) ((G1)x − (G2)x

не имеет скачка!). Следовательно, G1 − G2 является классическим решением однородной краевой задачи. Но такая задача может иметь только тривиальное решение (иначе функция Грина не существует).

Функция Грина играет ту же роль в задаче с краевыми условиями , что и фундаментальное решение для свободного уравнения :

Утверждение 1.21. Классическим решением краевой задачи для уравнения (1.2) ïðè

b

непрерывной правой части f(x) является y(x) = R G(x, x0)f(x0)dx0.

a

Написанный интеграл удовлетворяет краевым условиям , ò.ê.им удовлетворяет G(x, x0) как функция x. Сосчитаем

Поскольку ya,b – решения однородного уравнения, то дальнейшее применение оператора L

под знаком интеграла анулируется. При повторном же дифференцировании по верхнему и нижнему пределам получаем

Функция Грина и обобщенные решения

Применение оператора L к функции Грина в классическом смысле невозможно , поскольку G(x, x0) не имеет второй производной. В обобщенном смысле:

Именно здесь нужна непрерывность функции f .

21

Утверждение 1.22. LG(x, x0) = δ(x − x0).

Таким образом, функция Грина ”похожа” на фундаментальное решение (но при этом удовлетворяет и краевым условиям).

Для упрощения доказательства дополнительно предположим , ÷òî supp f [a, b]. Имеем

ZZ

= f(x0)dx0 G(x, x0)(L φ)(x)dx =

(в последней строке использовано утверждение 1.22 и предположение о supp f).

22