Данный конспект посвящен основам теории обобщенных функций и их приложениям и охватывает часть курса ”МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ” для студентов

экспериментальных специальностей 3-го курса физического факультета СПбГУ . Конспект составлен на основе лекций, прочитанных на протяжении ряда лет А.Ã.Аленицыным и В.Ý.Грикуровым.

Обновления и исправления можно найти на сайте

http://mph.phys.spbu.ru/egrikurov

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.1ОСНОВНЫЕ (ПРОБНЫЕ) ФУНКЦИИ; ФУНКЦИОНАЛЫ НАД НИМИ . 3

1.1.1 Пространство основных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Обобщенные функции над пространством K . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.3Сходимость в пространстве K0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.4Формула суммирования Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ . . . . . . . . . . 9

1.3.1Носитель обобщенной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2Обобщенные решения уравнения xmf(x) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4СТЕПЕННЫЕ ОСОБЕННОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1Регуляризация степенных особенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.2 Обобщенная функция P x1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.3Обобщенные решения уравнения xmf(x) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.4Формулы Сохоцкого . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5ВЫБОРОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОБОЩЕННЫХ ФУНКЦИЯХ МНОГИХ

ПЕРЕМЕННЫХ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.1 Прямое произведение обобщенных функций . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6.1Классическая свертка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6.2Обобщенная свертка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВ-

НЕНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7.1Обобщенные и классические решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7.2Фундаментальные решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.2Равенство Парсеваля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.3Соотношение неопределенности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.4Многомерное преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА . . . . . . . . . . . . 24

2

3.1КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . . . . . . . 29

3.2КРАЕВЫЕ И НАЧАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ; КОРРЕКТНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1Теорема Ковалевской и пример Адамара . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.1Формулы Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.2Единственность внутренней смешанной задачи для волнового уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.3Единственность внутренней смешанной задачи для уравнения теп-

3.3.5Единственность внешних краевых задач для уравнения Пуассона . . 35

3.3.6Уравнение Гельмгольца, условия излучения и задача дифракции . . . 35

4.1ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ПРОСТЕЙШИХ

ОПЕРАТОРОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1.1Волновое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1.2Уравнение теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1.3 Уравнение Лапласа в R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.4Уравнение Гельмгольца в R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА КОШИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2.1Постановка и решение обобщенной задачи Коши для волнового уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2.2Запаздывающие потенциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2.3Формула Даламбера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2.4Формулы Кирхгофа и Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3

ГЛАВА 1

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Необходимость во введении понятий, называемых обобщенными функциями, возникла при попытке дать строгое описание сосредоточенных (в точке, на поверхности, ò.ä.) îáú-

ектов, которые являются удобными физическими идеализациями . С другой стороны, обобщенные функции позволяют также с единой точки зрения рассматривать производ-

ные гладких и разрывных функций, преобразование Фурье убывающих и растущих функций и др., ò.å. в них имеется и чисто математическая потребность . Как мы увидим ниже, по своим свойствам обобщенные функции мало похожи на ”обычные” функции, поэтому за ними закрепился также термин ”распределения” (distributions).

Изложение ниже ведется, в основном, для функций одной действительной переменной. Многомерное обобщение, как правило, возможно и во многих случаях очевидно.

1.1ОСНОВНЫЕ (ПРОБНЫЕ) ФУНКЦИИ; ФУНКЦИОНАЛЫ НАД НИМИ

Обобщенная функция будет определена ниже как функционал , ò.å. правило, с определенными свойствами, сопоставления ”пробная функция” 7→число. Начнем с описания класса пробных функций.

1.1.1Пространство основных функций

Определение Функции φ(x), которые непрерывно дифференцируемы любое коли- чество раз, φ C∞(−∞, ∞), и финитны, ò.å. φ(x) ≡ 0 вне некоторого интервала [ a, b ], будем называть основными (пробными). Множество таких функций K назовем основным пространством. Совокупность всех точек, в которых основная функция φ(x) 6= 0, называется ее носителем supp φ(x).

Такие функции заведомо существуют: например,

(убедитесь в ее непрерывной дифференцируемости ).

Очевидны следующие утверждения: (i) K является линейным пространством; (ii)

φ K φ(l) K l ; (iii) φ K h(x)φ K h(x) C∞ (h(x) не обязательно

финитная).

Определение 1.2. Последовательность функций φn(x) будет называться сходящейся в

K

K, φn(x) −−−→ φ(x), åñëè (1) существует конечный интервал, содержащий носители всех

n→∞

4

дела в смысле K.

1.1.2Обобщенные функции над пространством K

Определение 1.3. Обобщенными функциями назовем линейные непрерывные (êàê правило - вещественно-значные) функционалы, заданные на пространстве K. Число, ñî-

поставляемое основной функции φ(x) функционалом f, обозначаем как (f, φ) (и называем действием обобщенной функции f на пробную φ(x)).

Определение 1.4. Нулевой обобщенной функцией называем такой функционал , значе- ния которого равны нулю на любой пробной функции . Две обобщенные функции равны

K0

(пишем f1 = f2), если значения соответствующих функционалов совпадают на всех пробных функциях (ò.å. (f1, φ) = (f2, φ) φ K).

Важный частный случай:

Определение 1.5. Пусть g(x) - произвольная локально-суммируемая функция (ò.å. такая, которую можно под знаком модуля проинтегрировать по любому конечному интервалу; эта функция может иметь разрывы первого рода (скачки), а также слабые степенные,

подразумевается инте-

грирование по всей вещественной оси).

Сходимость написанного интеграла обеспечивается на любом конечном интервале за счет предположений на функцию g(x), а на бесконечности - за счет финитности пробных

функций. Линейность и непрерывность выше определенного функционала легко проверяются.

Пример 1.2. Классическая функция Хэвисайда (функция единичного скачка) определя-

Таким образом, пространство обобщенных функций (обозначаемое в дальнейшем че- рез K0) не пусто и по крайней мере содержит регулярные обобщенные функции , которые, на первый взгляд, естественным образом отождествляются с обычными (локально- суммируемыми) функциями. Однако это отождествление не полное: действительно, две функции g1(x) è g2(x), отличающиеся своими значениями хотя бы в одной точке , в обыч- ном смысле считаются различными. Однако они порождают одну и ту же обобщенную

Напомним, что: линейность (в вещественном случае) означает (f, c1φ1 + c2φ2) = c1(f, φ1) + c2(f, φ2);

под непрерывностью (над пространством K) понимается (f, φn) −−−−→ 0 для любой последовательности

n→∞

K

φn −−−−→ 0.

n→∞

5