Санкт-Петербургский государственный университет

Физический факультет

Оптика

План-конспект лекций И. Р. Крылова

для студентов II курса

физического факультета,

обучающихся по направлению

"Прикладные математика и физика"

2005

На правах рукописи

Утверждено на заседании методической комиссии

Физического факультета СПбГУ

Составитель: доцент Крылов И.Р.

Рецензент:

План-конспект лекций представляет собой крайне сжатое изложение материла курса лекций по оптике. Отличие предлагаемого курса лекций состоит в попытке изложения "на пальцах" основных вопросов оптики. В лекциях, но не в план-конспекте, сделан упор на возможность понимания вопросов с минимальным использованием математического аппарата.

Тема 1. Световые волны в прозрачной изотропной среде.

Волновые уравнения для светового поля.

Уравнения Максвелла рассмотрим при условиях:,,. Из ротора второго уравнения с учетом четвертого получим. С другой стороны для любого векторного поля. Откуда получаем волновое уравнение для поля

где — скорость волны.— определение показателя преломления. Следовательно.

Факультативно. Частные решения волнового уравнения.

Разделение временной и пространственных переменных решения волнового уравнения .

Пусть , подставим в волновое уравнение дляAи разделим уравнение наRT, тогда одно слагаемое зависит только от, а другое — только отt. Следовательно, каждое из двух слагаемых равно константе, которую обозначим за. Тогда для функции координат получим— уравнение Гельмгольца, а для функции времени— уравнение гармонических колебаний, где.

Разделение переменных решения уравнения Гельмгольца в декартовых координатах, пусть . Подставим это решение в уравнение Гельмгольца и разделим его на произведениеXYZ. При этом слагаемые уравнения окажутся функциями разных переменных и, следовательно, каждое слагаемое — константа:,,, где. Решения дляX,Y,Z— гармонические колебания отx,y,z.

Подставляя решения для X,Y,ZвR, а затем решения дляRиTвA, получаем — решение в комплексной форме в виде плоских волн.

Разделение переменных в других системах координат приводит к другим решениям. Среди множества решений в цилиндрической системе координат отметим решение в виде цилиндрической волны , где— функция Бесселя с целым значком

Среди множества решений в сферической системе координат отметим решение в виде сферической волны .

Параметры плоской волны.

— амплитуда волны,

— начальная фаза волны,

— комплексная амплитуда волны,

T— период,— частота,— циклическая частота волны,

— фазовая скорость волны,

λ — длина волны, k— волновое число,— волновой вектор,

,,— циклические пространственные частоты волны,

— фаза волны.

Фазовая скорость.

Рассмотрим плоскую волну, и направим ось zвдоль вектора. Тогда,=>— фаза волны. Тогда— уравнение постоянной фазы. Поскольку в это уравнение входит в качестве параметра времяt, то это уравнение — уравнение движения поверхности постоянной фазы, движения фазовой поверхности.

Продифференцируем это уравнение по времени и получим откуда, где

— фазовая скорость волны.

Групповая скорость.

Рассмотрим две волны некоторой физической переменной Aс разными, но близкими частотами, бегущие вдоль осиz. Введем обозначения, тогда, гдеможно рассматривать, как медленно меняющуюся амплитуду суммарной волны.

Для огибающей (или амплитуды) волны уравнение постоянной фазы примет следующий вид . Дифференцируя это уравнение по времени, получаеми, следовательно,.

Окончательно, — групповая скорость волны, сравните с фазовой скоростью волны.

Поперечность световых волн.

Рассмотрим выражение для плоской волны любой природы . Продифференцируем его по времени и получим. Аналогично, дифференцируя по пространственным координатам, получим. Подставим эти выражения в уравнения Максвелла. Начнем с первого уравнения=>=>=>=>, но, тогда.

Аналогично получаем: ,,,, где— вектор Пойнтинга.

Соотношение длин векторов E и H в бегущей световой волне.

=>, но, тогда=>_,откудав системе СГС Гаусса, илив системе СИ.

Интенсивность света.

Интенсивность — плотность потока энергии (энергия в единицу времени через единицу площади).

Связь интенсивности света с объемной плотностью энергии световой волны.

, где— фазовая скорость света, хотя казалось бы, должна быть групповая.