Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Вятская государственная сельскохозяйственная академия

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

Ситникова, ИВ. Линейная алгебра. Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.05.2015

Размер:

1.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

1. Произведение

z z	2
1

r (cos		i sin	)r	(cos	2
1	1	2	2		2

i sin	) r r		(cos(		) i sin(
2	1	2	1	2	1

	))
2

2. Деление

z
	1
z	2

r (cos i sin )
1	1	1

r (cos	2	i sin	)
2		2

r1 r2

(cos(		) i sin(
1	2	1

	))
2

3. Возведение в степень (формула Муавра)

zn r(cos i sin n r n (cos n i sin n ) , где n – целое число.

4. Извлечение корня

n		r(cos i sin
z	n	r(cos i sin
	n

n		2 k
n	r cos
	r cos
		n

i sin

2 k n

 

, где

0,1,2,..., n

Комплексное число

форме	z re	i	. Формула

z r(cos
e	i	cos i

i sin sin

)	можно записать в показательной

называется формулой Эйлера.

Упражнения 7

7.1. Выполнить действия. Получившееся число изобразить на комплексной

плоскости: 1) (2 3i) (4 7i)

; 2) (1 i)(3 2i) ; 3)

1 3i

; 4)

(5 3i)

; 5)

(1 3i)

;

1 i

i 1

(1 i

(1 i)

; 7)

; 8)

(1 i)

2 5i

6 7i

1 2i

( i)

2 3

i i

... i

7.2. Вычислить: 1)

4 i

; 2)

2 i

; 3)

;

4) i6 i16 i 26 i36 i46 i56 ; 5)

i11

i 41

i75

i1023

7.3. При каком a R число 3i

2ai

(1 a)i 5

будет: а) действительным;

б) чисто мнимым; в) равным нулю?

7.4. Представить комплексные числа в тригонометрической и

показательной форме: 1) 2 2

1 i ; 4) -4; 5)

3i ; 2)

3 i ; 3)

3i ; 6) -2i.

7.5.

Представить

комплексные

числа

1 i

z2 1

тригонометрической форме и найти:

;

z2 .

7.6. Найти все значения корня: 1)

; 2)

; 3)

2 2i

; 4)

4 .

cos 7

12 i sin 7 12

7.7. Вычислить: 1)

i sin

;

1 i

; 3)

;

2 cos

cos 5

12 i sin 5 12

5) (1 i

4) (1 i

3)(1 i)(cos

i sin

) ;

(

3 i)

7.8. Решить уравнения: 1)

х2 4 0 ; 2)

х2 2х 10 0 ; 3) х2

6х 18 0 ;

4) х

6х

25 0 ; 5) х

30х

289 0 .

Домашнее задание №7

1. Выполнить действия: 1)

( 5 4i)

; 2)

(4 3i)( 5 4i) ; 3)

2 i1 3i

;

4)	(1 2i)	3	; 5)	5 2i	4 3i	.
		3
				1 i	1 i


	2.	Представить комплексные						числа			z1			1		i		и	z2		1	3	i
														1		i
																					2	2
														2	2						2	2
														2	2
тригонометрической форме и найти:							z1	z2 ;	z		6	;	3	z2 .
тригонометрической форме и найти:							z1	z2 ;	1	; z1		;		z2 .
									1
									z
									2
	3. Решить уравнения:1) x2 25 0 ; 2)								x2		2x 2 0				; 3)		x4	8x2		25 0 .

						8. Многочлены
Многочленом					n–ой		степени	называют	функцию	вида
f (x) a	0	a x a		x2	... a	xn , где	a , i 1, 2,...n произвольные действительные
	0	1	2		n		i
числа – коэффициенты многочлена,								an 0 - старший коэффициент
многочлена, a0 - свободный член.

f (x) g(x)h(x) r(x) , где

Два многочлена называются равными, если равны их коэффициенты при соответственных степенях х.

Степенью многочлена называется наибольший показатель степени переменной, коэффициент перед которой не равен нулю. Любое действительное число является многочленом нулевой степени.

Сумма, разность, произведение многочленов также является многочленом.

Корнем многочлена называется такое число х0 , при котором многочлен обращается в ноль, т.е. f (x0 ) 0 . Если х0 является корнем многочлена n раз,

то говорят о кратности данного корня ( х0 - корень кратности n).

Справедливы следующие теоремы о корнях многочлена.

Теорема1. Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Теорема 2. Если число

p q

, где дробь

p q

несократима, является корнем

многочлена с целыми коэффициентами, то p – делитель свободного члена, а q –

делитель старшего коэффициента этого многочлена.

Существенно упростить проверку того, является ли некоторое число корнем многочлена, может схема Горнера. Схема Горнера приводит к необходимости заполнять таблицу вида:

аn

аn 1

аn 2

…

а0

b а

х a

n 1

n 2

…

b b x a

n 1

n 0

n 2

n 1

0 1 0

Число

х0

является

корнем

многочлена,

если на последнем

шаге

вычислений получается 0,

т.е.

b 0

. Применяя схему Горнера,

можно найти

значение многочлена для любого произвольного числа.

Многочлен f (x)

делится на многочлен

g(x) 0 ,

если существует такой

многочлен h(x) , что

f (x) g(x)h(x) .

Если многочлен

f (x)

делится на многочлен

g(x)

с остатком, то

h(x) и r(x) - многочлены.

Теорема Безу. Если

х0

- произвольное действительное число, то многочлен

... a

можно

представить

виде

f (x) a

a x a


f (x) (х х	)g(x) f (x	)	, где		g(x)		- многочлен степени n-1.
0	0		, где				- многочлен степени n-1.
Следствие 1. Многочлен				f (x)		делится на многочлен (x õ0 ) тогда и только
тогда, когда õ0	является его корнем.
Следствие 2. Многочлен степени n имеет не более n корней.
Наибольшим общим делителем двух многочленов f (x) и g(x)								называется

такой многочлен, который является их общим делителем и вместе с тем сам делится на любой другой общий делитель этих многочленов.

Для нахождения НОД( f (x) , g(x) ) применяют алгоритм последовательного

деления, который называется алгоритмом Евклида:

Пусть даны многочлены

f (x)

g(x)

и выполнено деление

f (x) на

с остатком

g(x)

f (x) g(x)h (x) r (x)

Выполним

деление многочлена

на многочлен

, получим:

g(x)

r (x)

g(x) r

(x)h

(x) r (x)

Делим

на

и т.д.

r (x)

(x)

4)Так как при делении степени остатков понижаются, то в цепочке последовательных делений будет такой шаг, когда при делении в остатке получится 0. Тогда многочлен, являющийся делителем на этом

шаге, и будет НОД( f (x) , g(x) ).

Алгоритм Евклида применяют и для нахождения НОД двух натуральных чисел.

Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называется

функция, равная отношению двух многочленов

f (x)

P (x)
n
Q	(x)
m

Если n m , то дробь называется называется неправильной. Справедливы дробях.

правильной. Если n m , то дробь следующие теоремы о рациональных

Теорема 3. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

Теорема 4. Всякую правильную рациональную дробь, знаменатель которой разложен на множители:

Q	(x) (x x )					k	(x x		)	k		...(x x					)	k	m	(x		2	p x q )				l		(x		2		p x q					)	l	...(x			2			p x q				)	l	n	,
Q	(x) (x x )					1	(x x		)		2	...(x x					)		m	(x			p x q )				1		(x				p x q					)	2	...(x						p x q				)		n	,
m				1				2								m									1	1								2			2										n		n
можно единственным образом представить в виде суммы простейших
рациональных дробей:
P (x)				A								A								B						B											C x D
P (x)				A			...					k								B				...		k							...				C x D										...
n				1			...							1							1			...				2					...						1						1		...
n				1										1							1							2											1						1
Q		(x)		x x											k		x			x					(x x					k						x	2	p x					q
Q		(x)		x x				(x x )								1	x			x			2		(x x				2	)		2				x		p x					q
m				1										1									2						2											1						1
						C		x D													E x F														E	x F
			...				l	1		l					...						E x F					...									l	n				l	n
								1			1												1		1											n					n									(*)
					2		p x q )						l						x		2	p x q												2	p x q									l						(*)
				(x	2								l								2												(x	2									)	l
				(x										1																			(x										)			n
		Для						1				1												n		n									1		n			1		n	2					1	1
		Для		нахождения								неизвестных											коэффициентов												1		2			1			2					1	1
																																		A ,		A		,...B			, B					,...,C			, D ,...

применяют метод неопределенных коэффициентов. Для этого приводят сумму дробей в правой части равенства (*) к общему знаменателю. Преобразуют числитель, записывая его как многочлен. Приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х в многочленах, расположенных в числителях правой и левой частей равенства. Решая полученную систему, находят неизвестные коэффициенты.

Упражнения 8

8.1. С помощью схемы Горнера найти значения многочлена f (x) при заданном значении х:

(x) 3x	3	x	2	8x 5, x

8.2. Решить уравнения:

; 2)

f (x) 2x4 4x2 x 2, x 2

x	3	3x
	3

2x3 5x2

0	; 2)	x	3

x 2 0

4x2

; 3) x4 7x3 3x2 89x 770 0 .

8.3. Найти наибольший общий делитель чисел и многочленов:

1) 267 и 231; 2) 273 и 1014; 3)

1 и х

1; 4)

x 2 и х

5х 6

8.4. Представить неправильную рациональную дробь в виде многочлена и правильной рациональной дроби:

суммы

4x 21

x 1

8x 3

; 2)

; 3)

; 4)

2x 1

8.5. Разложить рациональные дроби на простейшие:

x 4

2x 7

; 2)

; 3)

; 4)

(x 2)(х 3)

(х

(x 1)

(х 1)

2)(x

Домашнее задание №8

1. Решить уравнения: 1)

x 4 0

; 2)

16x

11x

Найти наибольший общий делитель чисел и многочленов:

1) 273 и 1014; 2)

5х

и х

Представить

неправильную рациональную

дробь в

многочлена и правильной рациональной дроби:

2	4õ

виде

3 0	.

суммы

x	3

x 2 x

x2 1

; 2)

2x	4
	4

4x	3	8x

x 1

4. Разложить рациональные дроби на простейшие:

2x 7

1) x2 (х 2) ; 2)

2x	2	х 1
	2
	x	3	1
		3

9. Уравнение прямой на плоскости

Если на плоскости задана декартова прямоугольная система координат

хОу, то точку М этой плоскости, имеющую координаты х (абсцисса), у (ордината), обозначают М (х; у) .

Расстояние между точками M1 (x1; у1 ) и М 2 (х2 ; у2 ) определяется по формуле:

	d	(х		х )	2	( у		у )			2	.
	d	(х	2	х )		( у	2	у )
			2	1			2		1
Пусть	M (x; y) - точка, которая делит отрезок								M1M 2				в отношении ,
Координаты точки M (x; y) находят по формулам:									x	x		x			, y	y	y		.
Координаты точки M (x; y) находят по формулам:									x		1			2	, y	1		2	.
											1			2		1		2
											1					1

Пусть	A(x; у)	- середина отрезка
M1M 2 можно найти по формулам: x			x
M1M 2 можно найти по формулам: x			1
			1

M	1
	1
x	2
	2
2

M	2

, у

Координаты средины отрезка

у	у		.
1		2	.
1		2
	2

Всякое уравнение первой степени на плоскости Оху определяет прямую.

Общее уравнение прямой:	Ах Ву С 0	(А и В одновременно не равны нулю).
	Ах Ву С 0
Уравнение вида	у kx b (здесь		k A / B,	b C / B )	называют
уравнением прямой с угловым коэффициентом, поскольку k tg ,					где - угол,

образованный прямой с положительным направлением оси Ох. Свободный член уравнения b равен ординате точки пересечения прямой с осью Оу.

Уравнение вида

называют уравнением прямой в отрезках; в нем

А(а;0) и В(0; в) - точки пересечения прямой с осями координат.

Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и проходящей через

точку

, записывается в виде

М (х

; у )

у у

k(x x )

Уравнение прямой,

проходящей через точки

, при

; у ) и М

(х

; у

)

x	x	2
1		2

y
1

y	2

записывается в виде

хх

х2 х1

уу1

у2 у1

, и угловой коэффициент

этой прямой находится по формуле k		y		y	.
этой прямой находится по формуле k			2	1	.
			2	1
		x	2	x
			2	1
Если	х1 х2 , то уравнение прямой,			проходящей через точки			М1	и
имеет вид	х х
имеет вид	1 .
Если	у1 у2 , то уравнение прямой,			проходящей через точки			М1	и
имеет вид у у1 .
Острый угол между прямыми у k1 x b1 и						y k2 x b2 определяется
формуле:

М	2	,
М	2	,

по

		tg				k		k
		tg					2	1		.
						1 k k			2
								1	2
Условие параллельности прямых имеет вид										k	k	2 .
Условие параллельности прямых имеет вид										1		2 .
Условие перпендикулярности прямых имеет вид k1 1/ k2 .
Расстояние от точки	М (х	; у	0	)	до прямой						Ах Ву С 0
Расстояние от точки	0		0		до прямой

формуле:

d	Ax	0	By			0	C
		0				0			.
			A	2	B			2	.
			A		B

находится по

Упражнения 9

9.1. Построить прямые: 1) 3х+4у=12; 2) 3х-4у=0; 3) 2х-5=0; 4) 2у+5=0.

9.2. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ОУ отрезок b=3 и

образующей с осью ОХ угол: 1) 450; 2) 1500.
9.3. Составить	уравнение прямой, проходящей через точки	A( 1;3) и
В(4; 2) . Привести	уравнение к следующим видам: общее, с	угловым

коэффициентом, в отрезках.

9.4. Стороны треугольника АВ, ВС и АС заданы соответствующими уравнениями 4х+3у-5=0, х-3у+10=0, х-2=0. Определить координаты вершин треугольника.

9.5. Определить угол между прямыми: 1) у=2х-3 и у=0,5х+1; 2) 5х-у+7=0 и 2х-3у+1=0; 3) 2х+у=0 и у=3х-4; 4) 3х-4у=6 и 8х+6у=11.

9.6. Среди прямых указать параллельные и перпендикулярные:

а) 3х-2у+7=0; б) 6х-4у-9=0; в) 6х+4у-5=0; г) 2х+3у-6=0.

9.7. В треугольнике с вершинами А(-2; 0), В(2; 6) и С(4; 2) проведены высота ВD и медиана ВЕ. Написать уравнения сторон треугольника АВС,

медианы ВЕ и высоты ВD. Найти длину медианы ВЕ и высоты ВD.

9.8. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(5; -4) и

составляющей с осью ОХ тот же угол, что и прямая 5х+2у-3=0.

9.9. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения

прямых 2х-3у-1=0 и 3х-у-2=0 перпендикулярно прямой у=х+1.

9.10. Показать, что прямые 2х-3у-6=0 и 4х-6у-25=0 параллельны, и найти

расстояние между ними.
9.11. Прямая y kx 5	удалена от начала координат на расстояние	d	5 .
Найти угловой коэффициент k.

Домашнее задание №9

1.	Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-4; 1) под
углом 450 к оси Ox.
2.	Даны две прямые:	2x 3y 5 0	и	3x y 7 0 .	Найти точку
пересечения этих прямых и угол между ними.
3.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения
прямых 8x 3y 1 0 и 4x y 13 0 и через точку А(-1; 2).
4.	Определить, при каком значении m и		n	две прямые mx 8y n 0 и
2x my 1 0 : а) параллельны; б) перпендикулярны; в) совпадают.
5.	Даны вершины треугольника А(-1; 3),			В(3; -2)и С(5;	3). Составить

уравнения: а) трех его сторон; б) медианы, проведенной из вершины В; в)

высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ. Найти длину высоты и медианы.

10. Кривые второго порядка

Уравнение	второй степени	относительно	двух переменных
Ax2 Bxy Cy 2	Dx Ey F 0, где	A2 B2 C2 0	называется общим
уравнением кривых второго порядка на плоскости Оху.			К ним относятся

четыре вида линий: окружность, эллипс, гипербола и парабола.

1) Окружностью называется множество точек плоскости,

равноудаленных от данной точки О, называемой центром окружности.

Каноническое уравнение окружности с центром в точке О (х0, у0) и радиуса r имеет вид: x x0 2 ( y y0 )2 r 2 .

y	Если центр окружности радиуса				r расположен в начале
M (х, у)
x	координат, то уравнение примет вид:
	x		y		r
		2		2		2	.

2) Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть постоянная

величина.

Для любой точки эллипса М (х, у) сумма расстояний от этой точки до

фокусов есть величина постоянная, равная	2а	:	F М МF		2а	.
			1	2

Каноническое уравнение эллипса с центром О(0;0) имеет вид:

x a

	2		y
			y
	2		b
	2

2 2

	у			Точки пересечения эллипса с осями координат
	у
	B2	М (х, у)		A ( a; 0) ,	A (a; 0) ,	B ( b; 0)	,	B (b; 0) называются
		М (х, у)		1	2	1		2
				вершинами эллипса, точка			О –		центром эллипса.
A1 F1		F2	A2	х	A1 A2 2а
				Отрезок	A1 A2 2а	называется			большой осью
	B1
				эллипса, а отрезок В1 В2 2b - его малой осью (если
				a b).
Точки		F ( c; 0)	,	F (c; 0) , где с2	а2 b2 ,	называются		фокусами эллипса.
		1		2

Расстояние F1F2=2c между фокусами эллипса называется фокусным расстоянием ( 2a 2c ).

Отношение

c a

называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет

характеризует форму эллипса.

Если центр эллипса сместить в точку C(x0 ; у0 ) , то уравнение эллипса

будет иметь вид: (x х0 )2 ( y у0 )2 1. a2 b2

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>