Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Вятская государственная сельскохозяйственная академия

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

Ситникова, ИВ. Линейная алгебра. Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.05.2015

Размер:

1.41 Mб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Вятская государственная сельскохозяйственная академия» Кафедра математики и физики

И.В. Ситникова

Линейная алгебра. Практикум

Учебное пособие

Киров 2013

УДК 51(07) ББК 22.11(Я7)

Ситникова И.В. Линейная алгебра. Практикум: Учебное пособие.- Киров: ФГБОУ ВПО Вятская ГСХА, 2013. – 66 с.

Рецензенты: кандидат физико-математических наук доцент, кафедры математики и физики Вятской ГСХА, Фарафонов В.Г.; кандидат физико-математических наук

доцент кафедры информационных технологий в экономике Вят ГГУ, Ряттель А.В.

Учебное пособие рассмотрено и утверждено методической комиссией инженерного факультета Вятской государственной сельскохозяйственной академии (протокол № 2 от13.11.13).

Учебное пособие содержит теоретический материал и задачи по линейной алгебре, аналитической геометрии и линейному программированию. В каждом разделе имеются основные теоретические сведения, задачи для проведения аудиторных занятий и для самостоятельной работы. Предназначено для студентов направления 080100.62 «Экономика» профилей «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Финансы и кредит», «Маркетинг», Налоги и налогообложение».

©Ситникова Ирина Викторовна, 2013

©ФГБОУ ВПО Вятская ГСХА, 2013

Введение

Программа учебной дисциплины «Линейная алгебра» математического цикла (базовая часть) разработана в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению подготовки 080100 «Экономика» (квалификация (степень) «бакалавр»), утвержденным Министерством образования и науки Российской Федерации от 21.12.2009 № 747 (зарегистрирован Министерством юстиции Российской Федерации 25.02.2010 № 16500) и примерным учебным планом; отрецензирована экспертами Учебно-методического объединения вузов России по образованию в области финансов, учета и мировой экономики; рассмотрена на заседаниях учебно-методических советов и секций УМО.

Цели дисциплины

-формирование знаний по линейной алгебре, необходимых для решения задач, возникающих в практической экономической деятельности;

-развитие логического мышления и математической культуры;

-формирование необходимого уровня алгебраической подготовки для понимания других математических и прикладных дисциплин.

Задачи дисциплины

-изучение основных понятий и методов линейной алгебры;

-формирование навыков и умений решать типовые задачи и работать со специальной литературой;

-умение использовать алгебраический аппарат для решения теоретических и прикладных задач в математике, информатике и экономике.

Место дисциплины в структуре ООП

Дисциплина «Линейная алгебра» является базовой дисциплиной математического цикла федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) по направлению «Экономика» (квалификация «бакалавр»).

Дисциплина «Линейная алгебра» базируется на знаниях, полученных в рамках школьного курса математики или соответствующих дисциплин среднего профессионального образования.

Требования к результатам освоения дисциплины

В совокупности с другими дисциплинами базовой части ФГОС ВПО дисциплина «Линейная алгебра» направлена на формирование следующих общекультурных (ОК) и профессиональных (ПК) компетенций бакалавра экономики. Бакалавр экономики:

- владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу,

восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения

(ОК-1); - способен логически верно, аргументированно и ясно строить устную и

письменную речь (ОК-6);

-способен к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства (ОК-9);

-владеет основными методами, способами и средствами получения,

хранения, переработки информации, имеет навыки работы с компьютером как средством управления информацией, способен работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-13);

- способен осуществлять сбор, анализ и обработку данных,

необходимых для решения поставленных экономических задач (в т.ч.

применение в исследовательской и прикладной деятельности современного математического аппарата) (ПК-4).

В результате освоения содержания дисциплины «Линейная алгебра» студент должен:

знать основы линейной алгебры, необходимые для решения экономических задач;

уметь применять методы линейной алгебры для решения экономических задач;

владеть навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач.

Содержание разделов дисциплины

Раздел 1. Матрицы и определители.

1.1. Сложение матриц и умножение матрицы на число. Матричная запись систем линейных алгебраических уравнений. Ранг матрицы. Пространство решений однородной системы, связь его размерности с рангом матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений однородной системы.

Связь между общими решениями однородной и неоднородной систем.

1.2.Умножение матриц. Невырожденные квадратные матрицы. Обратная матрица. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Решение матричных уравнений.

1.3.Определители и их свойства. Непосредственное вычисление определителей второго и третьего порядка. Формула разложения определителя по строкам и столбцам. Применение определителей: 1) критерий невырожденности квадратной матрицы; 2) нахождение ранга матрицы; 3)

критерий существования ненулевых решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с п неизвестными, состоящей из п уравнений; 4)

нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений матричным методом и по формуле Крамера.

Раздел 2. Системы линейных алгебраических уравнений.

2.1.Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

2.2.Арифметические векторы и линейные операции над ними. Векторное пространство Rn. Геометрический смысл пространств R2 и R3. Линейные пространства общего вида. Линейная зависимость системы векторов и ее геометрический смысл. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе. Преобразование координат векторов при замене базиса.

Подпространства линейного пространства.

2.3. Скалярное произведение векторов в Rn. Евклидово пространство.

Неравенство Коши-Буняковского. Длины векторов и угол между векторами в Rn.

Ортогональный и ортонормированный базисы в Rn. Координаты вектора в ортогональном базисе. Процесс ортогонализации. Ортогональные дополнения подпространств.

Раздел 3. Многочлены и комплексные числа.

3.1.Основные понятия, связанные с многочленами. Схема Горнера и корни многочленов. Теорема Безу. НОД многочленов и алгоритм Евклида. Разложение правильной дроби на сумму элементарных дробей.

3.2.Комплексные числа и действия над ними. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Корни n-ой степени из комплексного числа. Формулировка основной теоремы алгебры.

Раздел 4. Линейные преобразования и квадратичные формы.

4.1.Линейные преобразования пространства Rn. Линейные операторы. Ядро

иобраз линейного оператора. Матрица линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Собственные значения квадратных матриц.

4.2.Квадратичные формы, их матрицы. Приведение квадратичной формы к нормальному виду методом Лагранжа. Приведение квадратичной формы к каноническому виду при помощи ортогонального преобразования. Закон инерции квадратичных форм. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

Раздел 5. Элементы аналитической геометрии.

5.1. Прямая и гиперплоскость в n-мерном пространстве. Угол между гиперплоскостями. Расстояние от точки до гиперплоскости. Прямая на плоскости и в пространстве. Прямая, отрезок, луч в n-мерном пространстве.

Плоскость в трехмерном пространстве.

5.2.Классификация кривых второго порядка. Эллипс, гипербола и парабола, их свойства и канонические уравнения. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

5.3.Классификация поверхностей второго порядка. Эллипсоиды, параболоиды

игиперболоиды, их канонические уравнения.

5.4.Выпуклые множества в пространстве Rn. Полупространства, выпуклые многогранные области. Системы линейных неравенств и их геометрический смысл. Угловые точки выпуклых многогранных областей. Выпуклая оболочка системы точек в Rn.

Раздел 6. Неотрицательные матрицы и модели Леонтьева.

6.1. Собственные значения и собственные векторы неотрицательных матриц.

Теорема Фробениуса-Перрона. Число и вектор Фробениуса, их свойства.

Продуктивность неотрицательных матриц.

6.2. Модель многоотраслевой экономики Леонтьева. Продуктивные модели Леонтьева. Различные критерии продуктивности модели Леонтьева.

Раздел 7. Линейное программирование.

7.1.Примеры экономико-математических моделей, приводящих к задачам линейного программирования. Стандартная и каноническая формы записи задач линейного программирования.

7.2.Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в случае двух переменных. Графический метод решения. Решение задачи линейного программирования методом перебора вершин.

7.3.Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

Алгоритм симплекс-метода. Нахождение исходного допустимого базиса. Метод искусственного базиса.

7.4. Понятие о взаимно-двойственных задачах линейного программирования.

Основные теоремы двойственности. Двойственность в экономико-математических моделях.

7.5.Транспортная задача.

Раздел 8. Разностные уравнения.

8.1.Основные понятия, связанные с разностными уравнениями. Решения линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.

8.2.Модели экономической динамики с дискретным временем. Модель Самуэльсона-Хикса. Паутинная модель рынка.

1. Алгебра матриц
Матрицей размера m n			называется		система		m n
расположенных в m строках и n столбцах.
	а		a	a
		11	12	1n
		11	12	1n
А	а21		a22	a2n	(aij )m n	(aij ) .
А					(aij )m n	(aij ) .


		аm1	am2
		аm1	am2	amn

элементов,

Если m=n, то матрица А называется квадратной порядка n. Матрица,

все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Квадратная матрица

порядка n вида

1		0	0
	0	1	0




	0	0	1

называется единичной, обозначается Е.

Две матрицы A (a	ij	)	и В (b ) называются равными, если их размеры
			ij
совпадают, и их соответствующие элементы равны: aij bij .
Суммой двух матриц			A (aij ) и В (bij )	одинакового размера называется
матрица C (cij ) того же размера (С=А+В),				элементы которой равны сумме
соответствующих элементов матриц А и В: сij				aij bij .
Произведением матрицы А на число называется матрица В (bij ) (В= А),
элементы которой равны bij			aij .
Умножение матрицы			A (aij ) на матрицу В (bij ) возможно только при

условии, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В этом

случае матрицы А и В называются сцепленными. Если матрица A (aij ) имеет

размер m n , а матрица

В (bij ) - размер n k , то произведением матрицы А на

матрицу

В называется

матрица

C (cij ) размера m k

(С=АВ), элементы

которой

равны

i 2

1, k ,

т.е. элемент

1 j

2 j

in nj , i 1, m

матрицы С=АВ,

расположенный в i-ой строке и j-ом столбце,

равен сумме

произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В.

Переход от матрицы А к матрице		, в которой строки и столбцы
	A
поменялись местами с сохранением	порядка элементов, называется
транспонированием матрицы, а матрица			называется транспонированной
	A

относительно матрицы А.

Упражнения 1

1.1. Вычислить линейную комбинацию матриц 2А+3В:

	3 1			2 3					A	1 2	3				4			5		6
A		;	B					; 2)	A			;	B
		;			1	2		; 2)		1 2	3	;				4		5			6	.
	2 1				1	2				1 2	3					4		5			6

																0		1
1.2. Найти C A 3B , где										1	2	3
1.2. Найти C A 3B , где										A				,	B		5	6	.
											1	2
										0	1	2					0	3
																	0	3
1.3. Найти				AB		и	BA ,												1		3		,	2		1
1.3. Найти				AB		и	BA ,		результаты сравнить: A														,	B			.
																			2						3	2
																			2			4			3	2

1.4. Найти произведение матриц А и В:

3		1	1	1		1 1			1		2	3

A	2	1	2	B	2	1	1	; 2)	A	2	4	6
		2	3			0	1			3	6	9
1		2	3	1		0	1			3	6	9

	1	2

B	1	2
	1	2
	1	2

4
4

4

; 3)

5		4

A	2	5
	3	1
	3	1

2
B
	3

6) A (0

5
		; 4)
4		; 4)
4

1) B

5		0	2	3

A	4	1	5	3
	3	1 1		2
	3	1 1		2

		6
		2
		2
		7
		7

		4
		4

; 5)

A 1

3

B	4
	2
	2

1
3

0

;

0		0	1	1
				1
1		1	2		2
1.5. Выполнить действия: 1)					2
	2	2	3		1
	3	3	4		1
	3	3	4

1	4
2		; 2)


1	1

1

	0

1	3
1


1

; 3)

1

	0

1	10
1


1

;

	4	1	5	2	1		n

4)			; 5)
						.
	5	2		3	2

1.6. Найти значение матричного многочлена: 1)

2A	2

, где

1		1

A 1		3
	4	1

1		1

A	0	2
	0	0

2
1 , Е – единичная матрица третьего порядка; 2)

1
0
1		.

2

A 2E 2

, где

Домашнее задание 1

1. Выполнить действия: 1)

2	3		1	4	3	1		2

		2	5	0			2	1

; 2)

1		2	0		7

	4	6		2	6

;

	5		2			3
					1	3	2		0	1	2	1	1 1

3)	1 3 2 1		7	; 4)	3	4	1	1		3	0	2	1	1 .
		1	0		2	5	3		1	1	1	1	0	1
		1	0		2	5	3		1	1	1	1	0	1

2. Найти значение матричного многочлена

1 0 . E

0 1

A	2

12E

где	1		3	,
	A
		4	1

2. Определители. Обратная матрица
Определителем порядка n квадратной матрицы	A (aij ) размера	n n ,

называется число, полученное по определенному правилу из элементов матрицы.

Определитель первого порядка равен самому элементу, образующему определитель.

Определитель второго порядка вычисляется по формуле:

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>