- •Понятие
- •Деление понятий
- •Суждение
- •Сложные суждения
- •Умозаключение
- •Простой категорический силлогизм
- •1 Фигура 2 фигура
- •Непосредственные умозаключения -
- •Условные умозаключения
- •Условно-категорический силлогизм
- •Полисиллогизм -
- •Доказательство и опровержение
- •Символическая логика высказываний
- •Основные тождества логики высказываний
- •Совершенная конъюнктивная нормальная форма (сокращенно скнф)
- •Сокращенная конъюнктивная нормальная форма (сокращенно кнф)
- •Заключение
- •Литература
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (сокращенно скнф)
Каждая не тождественно истинная формула имеет одну КНФ, которая называется совершенной. СКНФ - это КНФ, обладающая следующими свойствами:
в ней нет двух одинаковых конъюнктов (т.е. получающихся один из другого при замене по правилу 7);
ни один конъюнкт (т.е. элементарная дизъюнкция) не содержит двух одинаковых дизъюнктов;
ни один конъюнкт не содержит переменной с отрицанием и без него;
в каждом конъюнкте имеются все, содержащиеся в данной формуле, переменные.
Для приведения любой формулы логики высказываний к СКНФ необходимо:
Сначала привести формулу к КНФ.
Требование а)выполняют посредством правила 15, устранением всех повторений, т.е. любой конъюнкт остается в формуле только на одном месте и вычеркивается из остальных.
Требование b) выполняют посредством правила 14, устранением всех повторений в каждом конъюнкте, т.е. в каждой из элементарных дизъюнкций.
Требование с) выполняют посредством правила 22, устранением из формулы тех конъюнктов, которые являются тождественно истинными элементарными дизъюнкциями.
Требование d) выполняется приписыванием ко всем конъюнктам, в которых отсутствует какая либо из имеющихся в формуле переменных, знака дизъюнкции и, вслед за ним тождественно ложной конъюнкции этой переменной и ее отрицания
(Х &X).
Дизъюнктивное присоединение к любой формуле ложной формулы, согласно правилу 21, не изменяет условий ее истинности. Затем применяем правило 11. Эту процедуру повторять до тех пор, пока не выполним требование d).
Пример приведения к СКНФ:
((AB)&(BC)&(CA)) + A
Сначала приводим к КНФ: _ = =
((A + B) & (B + C) & (C + A)) + A
_
(A + B + A) & ( B + C + A) & (C + A + A)
Полученную КНФ преобразуем в СКНФ:
Согласно требованию с) вычеркиваем первый конъюнкт, а в третьем, согласно требованию b) устраняем повторения. Получаем формулу (В + C + A) & (C +A)
Но во втором конъюнкте нет В. Поэтому присоединяем сюда знаком дизъюнкции (B & B).
Получаем формулу
(B + C + A) & ( C + A + (B & B))
По правилу дистрибутивности 11 получаем:
(B + C + A) & (C + A + B) & (C + A + B)
Устраняем появившиеся повторения конъюнктов и получаем СКНФ:
( B + C + A) & ( C + A + B)
Приведением формулы к СКНФ можно решать задачу отыскания всех логических следствий из данных формул. Для этого все данные формулы связываем знаком конъюнкции «&» и для возникшей таким образом формулы находим ее СКНФ. Каждый конъюнктивный член СКНФ, а также любая конъюнкция любого числа этих членов является следствием из данных формул. Затем, используя правил 28 и другие, можно получить более простую форму записи этих следствий.
Пусть даны две формулы: А и А В
Связываем их знаком конъюнкции A & (AB)
Находим СКНФ получившейся формулы
A& (AB) = A & (A + B) = ( A + (B & B)) & (A + B) = (A + B) & (A + B) &(A + B)
Полученная СКНФ позволяет увидеть все следствия данных формул в СКНФ.
Этими следствиями будут:
A + B
A+ B
A+ B
(A + B) & (A + B)
(A + B) & (A + B)
(A + B) & (A + B)
(A + B) & (A + B) & (A + B)
Применяя правило упрощения 28 к следствию 4, получаем следствие - А, которое есть одна из данных формул. В обзор всех следствий будут входить и сами данные формулы.
Из следствия 5 посредством правила 28 получаем следствие - В;
Из следствия 6 посредством правила 29 получаем следствие -A B;
Следствие 7 дает следствие - А & В.
ЗАДАНИЕ 24. Упростить данную формулу посредством приведения ее к СКНФ, или найти все следствия из предложенного набора посылок.
Варианты:
((А + В)&(ВС )) + ((В А)&(В + С))
((А & В) (В + С )) & ((В&А) (ВС))
В + С; В А ; ВС
((А + В) (A + С )) & ((В + C) (A + В))
AB; ВС; С А
((АВ) & (C & A) & (B C)) + A
(A & B) C; В; С
(А В) +(B + C)
А В; A C; A & (BC)
(((АВ) В) + B) + ( A & C)