Лекция № 9
Z-преобразование
Определение Z-преобразования. Дискретной |
|
|||||||
последовательности отсчетов |
|
x(n) |
|
|||||
ставится в |
||||||||
соответствие функция комплексной переменной z, |
||||||||
определяемая следующим образом: |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z x(n) X (z) x(n)z n |
(9.1) |
|||
|
|
X (z) |
|
|
|
n |
|
|
• |
|
определена только для тех значений z, при |
||||||
Функция |
|
|
||||||
которых ряд |
(9.1) сходится. |
|
|
|
||||
• |
|
|
|
|
x(n) |
имеет ограниченную длину, |
||
Если последовательность |
|
|||||||
то |
X (z)сходится в Z-плоскости везде, за исключением, |
|||||||
быть может, точек z = 0 или z = |
|
. |
|
|||||
•При Z-преобразовании разностные уравнения, описывающие работу дискретной системы, преобразуются в алгебраические уравнения, с которыми проще производить необходимые действия.
Z-преобразование некоторых дискретных сигналов
• Единичный импульс, определяемый как
1, n 0 u0 (n) 0, n 0
Используя формулу Z-преобразования , получаем:
X0 (z) x(n)z n 1.
n
Функция X0 (z) сходится во всей комплексной плоскости.
Z-преобразование некоторых дискретных сигналов
• Единичный скачок, определяемый соотношением:
1, n 0 u1 (n) 0, n 0
Используя определение Z-преобразования, получаем:
X (z)
n
|
(9.2) |
x(n)z n 1 z n . |
n 0
Ряд (9.2) является суммой бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем z 1. Как
известно, такой ряд сходится при |
|
z 1 |
|
1,то есть при |
|||||
|
|
||||||||
|
z |
|
1, и его сумма равна: |
|
|
|
|
1 |
|
X (z) |
|
. |
|||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 z 1 |
|||||
|
|
|
|
||||||
Z-преобразование некоторых дискретных сигналов
• Экспоненциальная дискретная функция, определяемая как
an , n 0 e(n)
0, n 0
|
|
|
n . |
X (z) x(n)z n an z n az 1 |
|||
Этот ряд представляетn собойn 0сумму геометрическойn 0
прогрессии с первым членом, равным 1, и знаменателем
1 . Таким образом, ряд сходится при |
|
|
и имеет |
||||||
особуюaz |
точку при |
: |
|
|
|
az 1 |
1, |
|
|
|
|
z a |
|
|
1 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
X (z) |
|
|
|
|
. |
||
|
|
1 |
az 1 |
z a |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
Z-преобразование некоторых дискретных сигналов
• Комплексная дискретная экспонента, определяемая как
j n |
, n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x(n) e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0, |
|
n 0 |
n |
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
X (z) x(n)z n e j z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||
|
1 e |
j |
z |
1 |
||||||||||
n |
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
причем X (z) сходится при |
|
z |
|
1 , т.к. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
единственной особой точкой |
|
|
X (z) |
|
является |
|||||||||
z e j .
Связь Z-преобразования с преобразованием Лапласа
Z-преобразование можно получить из преобразования Лапласа путем перехода к новой переменной:
F ( p) € X (zпри) z e€ pT
Смысл использования Z-преобразования при анализе дискретных сигналов вытекает из следующего:
• Так как Z 1 e pT , то изменение фазовой характеристики ( ) T сигнала означает задержку сигнала на один шаг дискретизации соответствует задержке сигнала на один такт в области.
Связь Z-преобразования с преобразованием Лапласа
•эффект дискретизации аналогового сигнала приводит к появлению в плоскости p j бесконечной конфигурации особых точек (полюсов
2 T.и нулей), повторяющихся через интервал
• |
При переходе от |
|
p |
|
|
Z плоскости точка |
k |
k |
k |
||||||
|
|
плоскости к |
отображаетсяp j |
||||||||||||
|
в точку |
|
|
|
|
|
|
. Поэтому путь вдоль мнимой оси |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
zk |
e |
( k j k )T |
kT |
e |
j kT |
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|||
|
плоскости отображается в единичную окружность в |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
j |
p |
|
и, следовательно, |
|
|
|
|||
|
плоскости, так как на мнимой оси |
|
|
|
|||||||||||
• |
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
k |
0 |
|
|
||
Можно показать, |
что левая (устойчивая) полоса |
|
плоскости шириной |
|
|||||||||||
|
|
|
|
z |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отображается внутрь круга единичного радиусаp |
плоскости. |
|
||||||||||
|
Все последующие полосы |
|
плоскости шириной |
, соответствующие |
|||||||||||
|
2 |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
||
|
периодическому частотному спектру дискретного сигнала, также |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
отображаются внутрь круга единичного радиуса плоскости. Поэтому конфигурация особых точек (полюсов и нулей) в
плоскости становится конечной.
Z
Свойства Z-преобразования
1. Линейность. |
|
|
Если X1(z) |
и X2 (z) |
являются Z-преобразованиями |
соответствующих сигналов x1(n) и x2 (n) , то |
||
сигналу |
y(n) ax1 (n) bx2 (n) |
|
будет отвечать |
Z-преобразование |
|
Y (z) aX1 (z) bX 2 (z) при любых |
||
постоянных a |
и b. |
|
Свойства Z-преобразования
2.Задержка (сдвиг последовательности).
Если Z-преобразование сигнала |
x(n) |
X (z) |
равно |
, то |
|
Z-преобразование сигнала |
|
, |
|
y(n) x(n n0 ) |
|
задержанного на |
n тактов, будет равно |
|
0 |
X (z)z n0
Доказательство:
|
|
|
|
|
|
Y (z) y(n)z n |
x(n n0 )z n z n0 |
x(n n0 )z n n0 |
|
||
|
n |
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
z n0 |
x(n n0 )z |
(n n0 ) z n0 |
x(k)z k z n0 X (z) |
|
|
|
n |
|
k |
|
|
|
|
|
. |
|
|
Свойства Z-преобразования
3. Свертка.
Введем дискретную линейную свертку w(n) , которую определим следующим образом:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w(n) x(k)y(n k) y(k)x(n k). |
|||||||||||
|
|
k |
|
|
k |
|
|
|
|
||
Вычислим ее Z-преобразование: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
W (z) Z |
|
w(n) |
|
Z |
|
x(k)y(n k) |
|
|
|
x(k)y(n k)z n |
|
|
|
k |
|
|
k |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||
x(k)y(n
n k
X (z) Y (z)
|
|
|
|
|
|
k)z k z (n k ) |
|
|
|
|
y(n k)z (n k ) |
|
|
x(k)z k |
|
||
|
|
k |
|
n |
|