- •Кафедра автоматизации и информационных систем
- •2011 Постановки задач по лабораторным работам Задача 1. Математическое моделирование и настройка сар по отклонению с использованием поисковых методов оптимизации
- •Задача 2. Натурно-математическое моделирование и настройка сар по отклонению с использованием поисковых методов оптимизации
- •Задача 3. Математическое моделирование и настройка сар по контролируемым возмущениям с использованием поисковых методов оптимизации.
- •Задача 4. Численные исследования идентификаторов на базе замкнутых динамических систем.
- •А) возврат чистого кредита; б) начисление на возвращенный кредит; в) возврат кредита с процентами.
- •А) модель предприятия в текущий момент времени; б) интегральная модель предприятия.
- •Задача 2. Исследование и оптимизация муниципальной финансово-промышленной группы на базе математического имитационного моделирования и поисковых методов в условиях неопределенности.
Задача 2. Исследование и оптимизация муниципальной финансово-промышленной группы на базе математического имитационного моделирования и поисковых методов в условиях неопределенности.
Постановка задачи.
Дано. 1. Общая структура упрощенной модели МФПГ, соответствующая рисунку 1.
2. Модель предприятия, производящего продукцию в текущий момент времени, представленная также как и в предыдущем случае в виде суммы двух составляющих
, (26)
где – выпуск продукции предприятием;
–возврат взятого предприятием кредита с процентами;
индекс «н» здесь и далее означает результаты моделирования с учетом неопределенности.
2.1. При построении модели выпуска продукции в текущий момент времени введены дополнительные по сравнению с предыдущим примером соображения, заключающиеся в том, что на детерминированную составляющую выпуска продукции аддитивно налагается случайная составляющая, описываемая стационарным гауссовским законом распределения вероятностей
, (27)
где и- математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной составляющей, либо нестационарным законом распределения (55) с изменяющимися математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, в частности, с их ограниченным возрастанием с течением времени
(28)
, (29)
где - постоянные коэффициенты.
Графически модели случайной составляющей представлены на рисунках 19 и 20.
Рисунок 9 - Плотность нормального распределения составляющей
t
Рисунок 10 - Зависимость σδ от времени
Окончательно модель выпуска продукции предприятия в текущий момент времени примет вид
. (30)
Графически модель (30) с учетом выражений (27)-(29) представлена на рисунке 11.
а)
б)
а) импульс инвестиций; б) реакция объекта на инвестиции в виде импульса: 1 – детерминированная составляющая модели; 2 -mδ(t); 3,4 – граничные траектории возможного изменения Пр(t).
Рисунок 11 - Графическое представление модели выпуска продукции
Интегральная модель, характеризующая накопление (интегрирование) выпуска продукции за интервал времени от до, представлена в виде
, (31)
где соответствует выражению (2).
2.2. При построении модели возврата кредита введены следующие дополнительные по сравнению с предыдущим примером соображения:
- возврат кредита в каждый момент времени не превышает установленной величины, равной (формула 6), но может быть меньше в зависимости от неопределенности модели выпуска продукции;
- дополнительные санкции в данном примере за негативные для банка отклонения от зафиксированной траектории возврата кредита не устанавливаются;
- процент возврата кредита определяется выражением (7).
При таких условиях неопределенность , аддитивно связанную с детерминированной составляющей модели возврата кредита (6), целесообразно описать односторонним несимметричным законом распределения вероятностей, в частности, экспоненциальным законом, аналитическое выражение функции плотности вероятностей которого имеет вид
, (32)
где - параметр экспоненциального распределения.
Для экспоненциального распределения математическое ожидание величиныи ее среднее квадратическое отклонениеодинаковы и равны.
Графический вид плотности экспоненциального распределения с параметром приведен на рисунке 12.
Рисунок 12 - Плотность экспоненциального распределения
Неопределенность обусловлена, главным образом, наличием составляющей, характеристики закона распределения которойиприняты нестационарными. Поэтому математическое ожиданиеи среднее квадратическое отклонениезакона распределения (60) также взяты зависящими от времени с помощью функции вида
, (33)
где a4 – постоянный коэффициент.
При этих соображениях, включая и соображения, сформулированные для модели возврата кредита предыдущего примера, эта модель имеет вид
(34)
Составляющая описывается следующими уравнениями
(35)
; (36)
(37)
; .(38)
Составляющая выражения (64) рассчитывается по формуле (6) и представляет собой постоянную величину, определённую на интервале времени Т0от моментадо момента. Соответствующая ей величинавыражения (36) также будет постоянной. Однако за счёт введения неопределённости δВ с односторонним законом распределения (60) она будет меньше, чемна величину А. Примем А равной максимальному значению математического ожидания случайной величины δВ, т.е.
. (39)
При этом уменьшение величины текущего возврата кредита приведёт, соответственно, к увеличению времени полного возврата кредитаза счёт увеличения интервала. Составляющая(t) выражения (34) определяется, как уже было отмечено, формулой (7).
Графически модель возврата кредита в условиях неопределённости представлена на рисунке 13. Для наглядности представления модель возврата кредита в условиях неопределённости (кривые приведены сплошными линиями) приведёна на этом рисунке в сопоставлении с детерминированной моделью (штрихпунктирные линии). Кривые на рисунках 13в, 13г для обоих случаев совпадают, а S1=S2,S3=S4 ,S5=S6 (рисунки 13а, 13б и 13в). Как видно из графиков, время полного возврата кредита в условиях неопределённости увеличивается на ΔТ = Тон - То.
Рисунок 13 - Графическое представление модели возврата в условиях
неопределённости
3. Аналитически модель банка в интегральной форме записывается в виде, аналогичном (15)
(40)
где представлено соотношениями (34)-(38), с той лишь разницей, что все члены выражения (34) – положительные.
Графически выражение (40) имеет вид, представленный на рисунке 14. Здесь модель банка (40) (сплошная линия), также как и модель возврата кредита (рисунок 13), дана в сопоставлении с моделью (15) (штрихпунктирная линия).
Рисунок 14 - Графическое представление модели банка в условиях
неопределённости
4. Модель МФПГ в интегральном виде выражается при помощи траектории прибыли
(41)
где составляющая характеризует суммарную прибыль предприятий ПП1 и ПП2
, (42)
где определяется по формулам (26), (30), (34)-(38), а ПБн(t) – выражением (40).
5. Управляющие воздействия, ограничения и критерии в данном примере совпадают с соответствующими переменными и показателями предыдущего примера, т.е. в качестве управляющих воздействий рассматриваются: 1) заданные траектории изменения инвестиции; 2) процент начисления кредита со стороны банка. Ограничения по инвестиции определяются посредством (20), а критерии соответствуют выражениям (21) – (25).
6. Методы оптимизации, такие как поисковые процедуры, например основанные на методах деформируемых конфигураций.
Требуется. Найти оптимальные размеры инвестиций каждому предприятию по критериям (21) -(25) с учетом ограничений (20).