Задача 2. Исследование и оптимизация муниципальной финансово-промышленной группы на базе математического имитационного моделирования и поисковых методов в условиях неопределенности.

Постановка задачи.

Дано. 1. Общая структура упрощенной модели МФПГ, соответствующая рисунку 1.

2. Модель предприятия, производящего продукцию в текущий момент времени, представленная также как и в предыдущем случае в виде суммы двух составляющих

, (26)

где – выпуск продукции предприятием;

–возврат взятого предприятием кредита с процентами;

индекс «н» здесь и далее означает результаты моделирования с учетом неопределенности.

2.1. При построении модели выпуска продукции в текущий момент времени введены дополнительные по сравнению с предыдущим примером соображения, заключающиеся в том, что на детерминированную составляющую выпуска продукции аддитивно налагается случайная составляющая, описываемая стационарным гауссовским законом распределения вероятностей

, (27)

где и- математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной составляющей, либо нестационарным законом распределения (55) с изменяющимися математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, в частности, с их ограниченным возрастанием с течением времени

(28)

, (29)

где - постоянные коэффициенты.

Графически модели случайной составляющей представлены на рисунках 19 и 20.

Рисунок 9 - Плотность нормального распределения составляющей

t

Рисунок 10 - Зависимость σ_δ от времени

Окончательно модель выпуска продукции предприятия в текущий момент времени примет вид

. (30)

Графически модель (30) с учетом выражений (27)-(29) представлена на рисунке 11.

а)

б)

а) импульс инвестиций; б) реакция объекта на инвестиции в виде импульса: 1 – детерминированная составляющая модели; 2 -m_δ(t); 3,4 – граничные траектории возможного изменения П_р(t).

Рисунок 11 - Графическое представление модели выпуска продукции

Интегральная модель, характеризующая накопление (интегрирование) выпуска продукции за интервал времени от до, представлена в виде

, (31)

где соответствует выражению (2).

2.2. При построении модели возврата кредита введены следующие дополнительные по сравнению с предыдущим примером соображения:

- возврат кредита в каждый момент времени не превышает установленной величины, равной (формула 6), но может быть меньше в зависимости от неопределенности модели выпуска продукции;

- дополнительные санкции в данном примере за негативные для банка отклонения от зафиксированной траектории возврата кредита не устанавливаются;

- процент возврата кредита определяется выражением (7).

При таких условиях неопределенность , аддитивно связанную с детерминированной составляющей модели возврата кредита (6), целесообразно описать односторонним несимметричным законом распределения вероятностей, в частности, экспоненциальным законом, аналитическое выражение функции плотности вероятностей которого имеет вид

, (32)

где - параметр экспоненциального распределения.

Для экспоненциального распределения математическое ожидание величиныи ее среднее квадратическое отклонениеодинаковы и равны.

Графический вид плотности экспоненциального распределения с параметром приведен на рисунке 12.

Рисунок 12 - Плотность экспоненциального распределения

Неопределенность обусловлена, главным образом, наличием составляющей, характеристики закона распределения которойиприняты нестационарными. Поэтому математическое ожиданиеи среднее квадратическое отклонениезакона распределения (60) также взяты зависящими от времени с помощью функции вида

, (33)

где a₄ – постоянный коэффициент.

При этих соображениях, включая и соображения, сформулированные для модели возврата кредита предыдущего примера, эта модель имеет вид

(34)

Составляющая описывается следующими уравнениями

(35)

; (36)

(37)

; .(38)

Составляющая выражения (64) рассчитывается по формуле (6) и представляет собой постоянную величину, определённую на интервале времени Т₀от моментадо момента. Соответствующая ей величинавыражения (36) также будет постоянной. Однако за счёт введения неопределённости δВ с односторонним законом распределения (60) она будет меньше, чемна величину А. Примем А равной максимальному значению математического ожидания случайной величины δВ, т.е.

. (39)

При этом уменьшение величины текущего возврата кредита приведёт, соответственно, к увеличению времени полного возврата кредитаза счёт увеличения интервала. Составляющая(t) выражения (34) определяется, как уже было отмечено, формулой (7).

Графически модель возврата кредита в условиях неопределённости представлена на рисунке 13. Для наглядности представления модель возврата кредита в условиях неопределённости (кривые приведены сплошными линиями) приведёна на этом рисунке в сопоставлении с детерминированной моделью (штрихпунктирные линии). Кривые на рисунках 13в, 13г для обоих случаев совпадают, а S₁=S₂,S₃=S_{4 ,}S₅=S₆ (рисунки 13а, 13б и 13в). Как видно из графиков, время полного возврата кредита в условиях неопределённости увеличивается на ΔТ = Т_он - Т_о.

Рисунок 13 - Графическое представление модели возврата в условиях

неопределённости

3. Аналитически модель банка в интегральной форме записывается в виде, аналогичном (15)

(40)

где представлено соотношениями (34)-(38), с той лишь разницей, что все члены выражения (34) – положительные.

Графически выражение (40) имеет вид, представленный на рисунке 14. Здесь модель банка (40) (сплошная линия), также как и модель возврата кредита (рисунок 13), дана в сопоставлении с моделью (15) (штрихпунктирная линия).

Рисунок 14 - Графическое представление модели банка в условиях

неопределённости

4. Модель МФПГ в интегральном виде выражается при помощи траектории прибыли

(41)

где составляющая характеризует суммарную прибыль предприятий ПП1 и ПП2

, (42)

где определяется по формулам (26), (30), (34)-(38), а П_Бн(t) – выражением (40).

5. Управляющие воздействия, ограничения и критерии в данном примере совпадают с соответствующими переменными и показателями предыдущего примера, т.е. в качестве управляющих воздействий рассматриваются: 1) заданные траектории изменения инвестиции; 2) процент начисления кредита со стороны банка. Ограничения по инвестиции определяются посредством (20), а критерии соответствуют выражениям (21) – (25).

6. Методы оптимизации, такие как поисковые процедуры, например основанные на методах деформируемых конфигураций.

Требуется. Найти оптимальные размеры инвестиций каждому предприятию по критериям (21) -(25) с учетом ограничений (20).