Ргр №4 – Напряжения в балке при изгибе

Задание. Для заданной схемы нагружения балки (рисунок 22) и номера варианта (таблица 5) требуется:

1. Построить эпюры внутренних изгибающих моментов и поперечных сил.

2. Подобрать по условию прочности размеры поперечных сечений при :

круглого;

квадратного;

прямоугольного пустотелого (рисунок 23);

двутаврового.

Сопоставить затраты материала для всех вариантов.

3. Построить эпюры распределения нормальных и касательных напряжений для двутаврового сечения балки. Определить главные напряжения в опасных точках сечения.

4. Для заданного сечения балки (рисунок 24) из материала, имеющего различные допускаемые напряжения на растяжение и сжатие (построить эпюру нормальных напряжений для наиболее напряженного сечения по длине балки.

Таблица 5 – Исходные данные

№
1	3	16	24	10	1	4
2	6	20	32	16	3	6
3	4	18	20	12	5	8
4	7	16	24	20	7	6
5	6	20	16	8	9	4
6	4	18	20	16	10	8
7	3	16	16	12	8	3
8	2	18	32	20	6	4
9	4	20	28	8	4	6
10	6	16	20	10	2	3

Рисунок 22 – Схемы балок

Рисунок 22 – Схемы балок (продолжение)

Рисунок 23 – Поперечное сечение балки

Рисунок 24 – Варианты поперечных сечений балок

Пример решения. Рассмотрим балку, представленную на рисунке 25.

Рисунок 25 – Схема балки и эпюры внутренних усилий

1. Построение эпюр внутренних усилий в балке.

Найдем реакции опор:

.

Откуда .

; .

Откуда .

Проверка:

Составим выражения для определения поперечных сил и изгибающих моментов по участкам.

Участок 1: ;;,

;

Участок 2: ;

,

Участок 3: ;,,;

, ,.

Участок 4: ; ,

, ;

,.

По полученным данным строим эпюры и(рисунок 25).

На втором участке определим экстремальное значение изгибающего момента, так как поперечная сила на этом участке изменяет знак:

,

.

2. Подбор поперечного сечения балки

Из условия прочности при изгибе

находим требуемый момент сопротивления сечения:

,

где максимальный изгибающий момент из эпюры (рисунок).

Для круглого сечения , тогда

Для квадратного сечения , значит

Для прямоугольного пустотелого сечения (рисунок 23) момент сопротивления необходимо определить через момент инерции сечения:

,

где соответствующие размеры внешнего и внутреннего прямоугольников.

.

Момент сопротивления сечения

,

где – расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленного волокна;

Тогда

Для расчетного значения выбираем из ГОСТа двутавр № 24а, для которогои.

Тогда .

При этом перегруз составит

.

Допускаемая величина перегруза (недогруза) должна находиться в пределах 5 %. Так как перегруз меньше 5%, то принимаем этот двутавр.

Вычисляем площадь поперечных сечений:

для круглого сечения ;

для квадратного сечения ;

для прямоугольного сечения ;

для двутаврового сечения .

Для сопоставления площадей сечений (а значит, и объема балок) сведем полученные данные в таблицу 5.

Таблица 5 – Сопоставление площадей сечений

Тип сечения	Круг	Квадрат	Прямоугольник пустотелый	Двутавр
Площадь,	172	155	96	37,5
Соотношение, %	100	90,1	55,8	21,8

3. Построение эпюр распределения напряжений для двутаврового сечения и определение главных нормальных напряжений.

Геометрические характеристики двутавра (рисунок 26): ,,

В точках поперечного сечения, расположенных на расстоянии у от нейтральной оси, нормальные напряжения определяются по формуле:

.

При ;

при .

Изгибающий момент положительный (рисунок 25), следовательно, растягивающие (положительные) напряжениявозникают в нижней половине сечения балки, а сжимающие в верхней.

Касательные напряжения в некоторых характерных точках поперечного сечения балки определим по формуле Журавского:

,

где поперечная сила в рассматриваемом сечении балки;

статический момент (относительно нейтральной оси) отсеченной части поперечного сечения, расположенного по одну сторону от уровня, на котором определяются касательные напряжения;

момент инерции всего поперечного сечения относительно нейтральной оси;

ширина поперечного сечения балки на том уровне, на котором определяются касательные напряжения.

Направление этого напряжения совпадает с направлением поперечной силы.

В верхней точке 1 сечения (рисунок 26) касательные напряжения, так как для этой точки.

В точке 2, расположенной непосредственно над линией, проходящей через нижнюю грань верхней полки двутавра,

Рисунок 26 – Эпюры внутренних напряжений

Максимальная поперечная сила оказывается над опорой(рисунок 25) и равна.

Следовательно,

.

В стенке двутавра в точке 3, расположенной непосредственно под точкой 2, касательные напряжения

.

Касательные напряжения на уровне нейтральной оси

Между точками 1, 2 и 3, 4 касательные напряжения изменяются по квадратной параболе.

По найденным значениям ипостроим эпюру нормальных и касательных напряжений (рисунок 26) соответственно для сеченияи(рисунок 25).

В случае поперечных сечений с резко меняющейся шириной могут возникнуть большие главные нормальные напряжения.

Их определение в общем случае плоского напряженного состояния производится по формуле:

.

При прямом поперечном изгибе и.

Тогда .

Здесь инормальные и касательные напряжения в рассматриваемой точке, действующие по площадке, совпадающей с поперечным сечением балки. Из формулы видно, что напряжениевсегда положительно, авсегда отрицательно.

При плоском напряженном состоянии одно из главных напряжений равно нулю. Поэтому в соответствии с правилом, согласно которому , напряжениеследует обозначить, а напряжение.

Для определения главных напряжений необходимо определить опасное сечение, где напряжения иимеютодновременно большие значения. Согласно эпюрам и(рисунок 25) такое сечение проходит через точку

В этом сечении нормальные напряжения в крайних волокнах равны

.

На уровне примыкания полок к стенке

в точках и (рисунок 27)

Рисунок 27 – К определению главных напряжений

Касательные напряжения на уровне нейтральной оси в сечение С (точка )

На уровне сопряжения с полкой (точки N и M)

.

На этом уровне определим значения главных напряжений:

;

.

Таким образом, главные напряжения в опасных точках не превосходят нормальных напряжений в крайних волокнах сечения .

В верхнем сжатом волокне (точка) рассматриваемого сечения

, .

В нижнем растянутом волокне (точка )

, .

На уровне нейтральной оси сечения (точка )

, .

В этом случае значения главных напряжений на площадках, повернутых на угол 45⁰, равны

, .

Следовательно, в точках нейтрального слоя возникает напряженное состояние чистого сдвига, а в верхних и нижних волокнах – одноосное напряженное состояние (рисунок), во всех других промежуточных точках – двухосное напряженное состояние.

4. Определение нормальных напряжений для заданного поперечного сечения (рисунок 28).

Находим положение центра тяжести поперечного сечения, определяя таким образом расстояние до нейтральной оси нижней кромки:

.

Рисунок 28 – К расчету нормальных напряжений в сечении

Определим момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси

В сечении , где изгибающий момент имеет наибольшее значение (рисунок 25), нижние волокна, испытывающие растяжение, расположены на расстоянииот нейтральной оси.

Наибольшие растягивающие напряжения в этом сечении

Верхние волокна сечения испытывают напряжения сжатия

Эпюра нормальных напряжений для рассмотренного сечения приведены на рисунке.

Контрольные вопросы к РГР №4

1. Как расположены нейтральный слой и нейтральная ось при поперечном изгибе?

2. По какой формуле определяются нормальные напряжения в поперечном сечении балки при поперечном изгибе и как они изменяются по высоте балки?

3. Что называется жесткостью сечения при изгибе?

4. Что такое момент сопротивления при изгибе и какова его размерность?

5. По какой формуле определяются касательные напряжения при поперечном изгибе?

6. Какой вид имеют эпюры касательных напряжений в поперечных сечениях прямоугольной и двутавровой формы?

7. Как находятся главные напряжения при изгибе?

8. Как направлены главные площадки на уровне нейтрального слоя и в точках, наиболее удаленных от этого слоя?

9. Виды задач, встречающиеся при расчете на прочность элементов конструкций?

Библиографический список

1. ГОСТ 8239 – 89. Сортамент черных металлов. Сортовой и фасонный прокат. Ч. 1. – Введ. 1990 – 01 ─ 07. ─ М. : Изд-во стандартов, 1991. – 6 с.

2. ГОСТ 8240 – 97. Швеллеры стальные горячекатаные. Сортамент. – Введ. 2002 ─ 01 ─ 01. – Минск : ИПК изд-во стандартов, 2001. – 6 с.

3. ГОСТ 8509 – 93. Уголки стальные горячекатаные равнополочные. Сортамент, – Введ. 1997 ─ 01 ─ 01. – Минск : Изд-во стандартов, 2000. – 14 с.

4. ГОСТ 8510 – 86. Уголки стальные горячекатаные неравнополочные. Сортамент. – Введ. 1987 ─ 01 ─ 07. – М. : Изд-во стандартов, 1995. – 7 с.

Учебное издание

Составитель

Епифанцев Юрий Андреевич

Витушкин Александр Викторович