2.Задачи элементарной математики

Кзадачам элементарной математики относятся:

1.Вычисление арифметических выражений.

2.Преобразование алгебраических выражений.

3.Построение графиков функций.

4.Решение уравнений и систем нелинейных алгебраиче-

ских уравнений.

Для того чтобы решить любую из этих задач, необходимо прежде всего ввести соответствующее выражение в рабочий документ Mathcad. Рассмотрим каждую из этих трех разнотипных задач.

2.1. Преобразование алгебраических выражений

Преобразование алгебраических выражений можно выполнять при помощи пункта меню Symbolics. Рассмотрим более подробно пункты этого меню, относящиеся только к преобразованиям алгебраических выражений:

Simplify (упростить) – выполнить арифметические операции, привести подобные слагаемые, сократить дроби, провести тождественные преобразования алгебраических и тригонометрических выражений.

Expand (развернуть) – раскрыть скобки, перемножить и привести подобные слагаемые.

Factor (разложить на множители) – представить выражение в виде произведения простых сомножителей.

Collect (подобные) – привести подобные слагаемые. Polynomical Coefficients (коэффициенты полинома) – выво-

дится вектор коэффициентов полинома. Перед выполнением данной команды переменную, по которой необходимо получить коэффициенты полинома, необходимо выделить. Выводится вектор, состоящий из n+1 коэффициента полинома, начиная со свободного члена.

12

В подменю Variable есть подпункт Convert to Partial Fraction – разложить рациональную дробь на множители.

Последний пункт меню Evaluation Style (стиль вычислений) открывает окно, в котором устанавливаются стили вывода результатов преобразований. В первом поле можно выбрать один из трех переключателей:

1)Вертикальный стиль с вставкой строки комментария. В этом случае ниже преобразуемого выражения пишется комментарий, а на следующей строке выводится результат преобразования.

2)Вертикальный стиль без вставки строки комментария. Результат преобразований выводится на следующей строке. Этот стиль устанавливается по умолчанию.

3)Горизонтальный. Результат выводится правее преобразуемого выражения.

Следует отметить, что как результат, так и преобразуемое выражение можно при помощи мышки перенести в любое место документа. Для этого необходимо подвести курсор внутрь формулы, нажать левую клавишу мышки и отпустить ее, затем подвести курсор к границе формулы и, нажав на левую клавишу мышки и не отпуская ее, перетащить формулу в другое место документа.

Замечание 1. Mathcad достаточно часто не справляется с поставленной задачей. В этом случае он выводит результат, совпадающий с преобразуемым выражением.

Замечание 2. Для некоторых команд необходимо отметить переменную, по которой необходимо провести преобразования.

Пример 1. Упростить алгебраическое выражение:

Решение. Устанавливаем стиль вывода результатов по горизонтали. Вводим выражение. Заходим в пункт меню Symbolics и нажимаем мышкой на команду Simplify . В результате, справа от формулы появляется ответ: p.

Для ввода выражения, левой клавишей мыши щелкните по свободному месту в документе и нажмите на клавиатуре клавиши в следующем порядке: p^3П+4*p^2П+10*p+12 ППППП/p^3П– p^2П+ 2*p+16 ППППП* p^3П3 * p^2П +8*p ПППП/p^2П+2*p +6ППППП. В этой последовательности символов буква П озна-

13

чает символ пробела. При вводе пробела горизонтальная линия подчеркивает последовательность символов, относящуюся к очередной операции. Первый раз нажимали символ пробела, чтобы операция сложения относилась к числителю, а не к показателю степени. При помощи пяти пробелов отмечался числитель первой дроби. Последние пять пробелов отметили алгебраическое выражение, которое необходимо преобразовать.

Формула введена и выделена углом. После этого можно подавать команду Simplify.

Пример 2. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: (z −2y)(z + 2y)(x − y) + 4xy2 + yz2.

Решение: Вводим алгебраическое выражение: (z-2*y) *(z+ 2*y) *(x–y)+4*x*y^2П+y*z^2ППППППППП. (П – пробел). При помощи последних пробелов выделяем всю формулу. Заходим в пункт меню Simbolics и вызываем команду Expand. Получаем

ответ: z2 x + 4 y3 .

Пример 3. Разложите алгебраическое выражение на множители:

x5 + x4 −6x3 −13x2 −13x −6.

Решение. Вводим алгебраическое выражение: x^5П+x^4П–

6*x^3П–13*x^2П–13*x–6 ПППППППП. Заходим в пункт меню

Simbolics и вызываем команду Factor. Получаем ответ: (x −3) (x + 2) (x +1) (x2 + x +1).

Пример 4. Разложите рациональную дробь на простейшие

Решение: Вводим алгебраическое выражение: x^3П+4*x^2 П–5*x+6ППППП/(x–2)^2П*(x–1)*(x^2П+1). Подво-

дим курсор к любому символу x в алгебраическом выражении и выделяем его. Выделить один символ проще при помощи клавиатуры. Для этого необходимо, удерживая нажатой клавишу Shift, нажать клавишу стрелка вправо или влево. После выделения символа x вызываем пункт меню Simbolics и заходим в подпункт Variable. В этом подпункте выбираем команду Convert to Partial Fraction. Если эта команда не активизирована, то переменная, по которой необходимо разложить рациональную функцию на простые дроби, не выделена.

14

Задание для самостоятельной работы.

1.Упростить алгебраическое выражение.

№Алгебраическое выражение

1x4 − x3 −11x2 +9x +18 x3 −9x2 + 26x −24

x4 −3x3 −7x2 + 27x −18 x3 −8x2 +19x −12

15