Положим
N1=[N/Q]= qsQs-1+ qs-1Qs-2+…+ q1 .
Тогда N1 будет целым числом и к нему можно применить ту же самую процедуру для определения следующего коэффициента q1 и т.д.
Таким образом, при условии что N0 = N, перевод чисел с использованием Р-ичной арифметики осуществляется по следующим рекуррентным формулам:
qi = Q[Ni / Q], (3.15)
Ni+1 = [Ni / Q] (i=0, 1, 2).
Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено Ni+1=0.
Заметим, что поскольку все операции выполняются в системе счисления с основанием Р, то в этой же системе будут получены искомые коэффициентыqi, поэтому их необходимо записать однойQ-ичной цифрой.
2. Перевод дробных чисел. Пусть необходимо перевести в Q-ичную систему счисления правильную дробь х (0 < х < 1 ), заданную в Р-ичной системе счисления.
Так как х < 1, то число х в Q-ичной системе счисления можно представить в виде полинома
x = q-1Q-1 + q-2Q-2 + … + q-m Q-m +…, (3.16)
где q-i (i = 1, 2, ...) - искомые коэффициенты Q-ичного разложения числа х. Для определения q-1 умножим обе части равенства (3.16) на число Q, причем в левой части произведем умножение, пользуясь правилами Р-ичной арифметики (так как запись числа x в Р-ичной системе счисления известна), а правую часть перепишем в виде
xQ = q-1 + q-2Q-1 + q-mQ-m+… .
Приравняем между собой полученные в правой части этого выражения целые и дробные части (учитывая, что 0 < qi < Q):
[xQ]=q-1 ,
[xQ]=q-2Q-1 + … + q-mQ-m+1 +… .
Таким образом, младший коэффициент q-1 в разложении (3.16) определяется соотношением
q-1 = [xiQ].
Положим,
x1 = [xQ] = q-2Q-1 +…+ q-mQ-m+1 +… .
Тогда x1будет правильной дробью и к этому числу можно применить ту же самую процедуру для определения следующего коэффициентаq-2и т.Д.
Таким образом, при условии, что x0=x, перевод дроби с использованием Р-ичной арифметики осуществляется по следующим рекуррентным формулам:
q-(i+1) = [xiQ],
xi+1 = [xiQ] (i=0,1,2,…). (3.17)
Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено xi+1=0 или не будет достигнута требуемая точность изображения числа.
Замечание. При переводе приближенных дробей из одной системы счисления в другую необходимо придерживаться следующего правила.
Если единица младшего разряда числа х, заданного в Р-ичной системе счисления, есть P-k, то в его Q-ичной записи следует сохранить z разрядов после запятой, где z удовлетворяет условию
Q-z > P-k/2 > Q-(z+1) ,
округляя последнюю оставляемую цифру обычным способом.
Приведем примеры перевода чисел из одной системы счисления в другую методом деления.
Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Число 2210 перевести в двоичную систему счисления.
2210 = 101102
Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Число 57110 перевести в восьмеричную систему счисления.
57110 = 10738
Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Число 746710 перевести в шестнадцатеричную систему счисления.
746710 = 1D2B16