Б.Л. Герике Совместная обработка результатов измерений. Проверка равноточности серий измерений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учереждение высшего профессионального образования

«КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра стационарных и транспортных машин

СОВМЕСТНАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

ПРОВЕРКА РАВНОТОЧНОСТИ СЕРИЙ ИЗМЕРЕНИЙ

Методические указания к практическому занятию № 4 по курсу «Метрология, стандартизация и сертификация» для студентов направления 550900 «Промышленная теплоэнергетика»

Составители Б. Л. Герике Р. Ю. Замараев

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 198 от 22.04.02

Рекомендованы к печати методической комиссией направления 550900 Протокол № 173 от 25.12.02

Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ

Кемерово 2003

1

1. Цель работы

Научиться проверять принадлежность к одной генеральной совокупности и проводить совместную обработку серий измерений с различными статистическими оценками, произведенных в различных условиях.

2. Теоретические положения

При многократных наблюдениях в течение длительного времени происходят изменения как параметров внешней среды, так и параметров измерительной системы, что вызывает, как правило, систематические и случайные изменения оценок математического ожидания и дисперсии в различных сериях экспериментов. В этом случае мы получаем k групп результатов наблюдений, каждая из которых содержит nj (j=1, 2, …k) число членов выборки. Группы наблюдений называются равноточными (равнорассеянными), если оценки математического ожидания и дисперсии во всех группах являются оценками одного и того же истинного значения и одной и той же дисперсии, иначе говоря, выборки принадлежат одной генеральной совокупности.

Равноточность групп измерений проверяется методами математической статистики, известными под общим названием дисперсионного анализа.

3. Проверка равноточности результатов серий наблюдений

Статистическая гипотеза о равноточности результатов серий наблюдений проверяется методами дисперсионного анализа поэтапно.

Вначале проверяется гипотеза о равенстве оценок дисперсий Sj2 во всех сериях наблюдений. Для этого их располагают в вариационный ряд в порядке возрастания: Smin2 , … Sj2, … Smax2 и проверяют по крите-

рию Фишера значимость отношения Smax 2 < F(k1, k2, q), где F(k1, k2, q) – F-распределение Фишера, которому подчиняется распре-

деление отношения двух независимых оценок дисперсий из выборок мощностью n1 и n2 нормально распределенных случайных величин; k1 и k2 – число степеней свободы (k1 = n1–1, k2 = n2–1); q – уровень значимости: q = 1 – α. Если условие выполняется, т.е. это отношение незначимо, то незначимы и все остальные, а, следовательно, рассеивание результатов наблюдений относительно средних значений во всех группах одинаково и гипотезу следует принять как правдоподобную.

2

В противном случае приходится признать распределения в сериях наблюдений с Smax2 и Smin2 отличными друг от друга и проверять значимость отношений всех других оценок дисперсий.

При равенстве оценок дисперсии в группах проверяется гипотеза о равенстве оценок математического ожидания во всех сериях наблюдений. Для этого вычисляются оценки рассеивания между групповыми средними значениями

Sг2 = k 1−1 ∑k n j (X j −X)2

j=1

и среднего рассеивания внутри групп

где X j – оценка математического ожидания в j выборке; X – оценка математического ожидания по результатам всех опытов;

Если гипотеза верна, то эти оценки являются независимыми точечными оценками одной и той же дисперсии, равной дисперсии генеральной совокупности, к которой относятся результаты наблюдений, а их отношение подчиняется F-распределению с (k–1) и (N–k) степенями свободы. Если расхождение этих оценок значимо при выбранном уровне значимости q, то приходится признать, что при проведении измерений имели место случайные или систематические сдвиги между оценками математического ожидания результатов наблюдений, которые не могут быть оправданы ограниченным объемом опытных данных.

При двух сериях наблюдений F-распределением воспользоваться не удается. В этом случае для проверки гипотезы о равенстве оценок математического ожидания вычисляется величина

которая, в случае нормального распределения результатов наблюдений имеет распределение Стьюдента с n1+n2–2 степенями свободы. Задаваясь определенной доверительной вероятностью или уровнем значимости, находят теоретическое значение t с которым сравнивают результат

3

вычисления, и если t1−2 < t , то гипотеза о равенстве оценок математи-

ческого ожидания принимается.

Распределением Стьюдента пользуются и в том случае, когда проверка равенства дисперсий в группах дала отрицательные результаты. Тогда приходится проверять значимость всех разностей видаXl −Xm ,

где l ≠ m = 1,2,…k, поскольку незначимость различия между самой большой и самой маленькой оценками математического ожидания ничего не говорит о значимости различий между другими оценками. Причиной этого является как раз различие между оценками дисперсии в отдельных сериях наблюдений.

Если проведенные вычисления показывают, что оценки дисперсии S2j и математического ожидания X j групп результатов наблюдений не-

значимо отличаются друг от друга, то серии результатов наблюдений считаются равноточными. Их можно объединить в один ряд и обработать по стандартной методике.

Значимое различие групповых средних значений свидетельствует о том, что на формирование результатов измерений оказывает существенное влияние какой-то определенный фактор или группа факторов, которые необходимо обнаружить и исключить их влияние.

В том случае, когда значимо различие оценок дисперсии S2j , а средние значения X j групп результатов наблюдений являются оценка-

ми одного и того же истинного значения, серии результатов наблюдений называются неравноточными и обрабатываются раздельно.

4. Порядок выполнения работы

1.Проверить равенство оценок дисперсий в заданных рядах изме-

рений.

2.Для пар рядов с равными оценками дисперсий проверить равенство оценок математических ожиданий.

3.Для групп рядов измерений признанных равноточными, рассчитать совместные оценки дисперсии и математического ожидания.

4

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Каковы основные задачи дисперсионного анализа?

2.Объясните понятие равноточных измерений.

3.Перечислите этапы проверки равноточности нескольких рядов измерений.

4.Почему требуется проверять совместно равноточность дисперсии и математического ожидания?

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Сергеев А. Г. Метрология: Учеб. пособие для вузов. / А. Г. Сергеев, В. В. Крохин – М.: Логос, 2001. – 408 с.: л.

2.Рудзит Я. А. Основы метрологии, точность и надежность в приборостроении: Учеб. пособие для студентов приборостроительных специальностей вузов. / Я. А. Рудзит, В. Н. Плуталов – М.: Машинострое-

ние, 1991. – 304 с.: ил.

3.Новицкий П. В. Оценка погрешностей результатов измерений.

/П. В. Новицкий, И. А. Зограф – Л.: Энергоатомиздат. Ленигр. отд-ние, 1985. – 248 с.: ил.

Составители Борис Людвигович Герике Роман Юрьевич Замараев

СОВМЕСТНАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

ПРОВЕРКА РАВНОТОЧНОСТИ СЕРИЙ ИЗМЕРЕНИЙ

Методические указания к практическому занятию № 4 по курсу «Метрология, стандартизация и сертификация» для студентов направления 550900 «Промышленная теплоэнергетика»

Редактор А. В. Дюмина

Подписано в печать 06.01.03. Формат 60х84/16.

Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Уч.-изд. л. 0,2. Тираж 50 экз. Заказ ____.

ГУ КузГТУ, 650026, Кемерово, ул. Весенняя, 28. Типография ГУ КузГТУ.

650099, Кемерово, ул. Д. Бедного, 4А.