Б.Л. Герике Совместная обработка результатов измерений. Основы корреляционного анализа

1

1. Цель работы

Научиться устанавливать и оценивать степень взаимосвязи значений нескольких физических величин по результатам совместных измерений.

2. Теоретические положения

В измерительной практике очень часто определяют зависимость одной переменной у от другой переменной х. Величина у рассматривается как зависимая, а величина х как независимая переменная. Решается эта задача с помощью методов корреляционного анализа.

Несмотря на то, что обычно стремятся получить линейную зависимость, измеренные значения у, как правило, не лежат на прямой. В данном случае это происходит потому, что имеется случайная погрешность измерений. При исследовании статистических процессов это обусловлено также и тем, что взаимосвязь является не функциональной, а лишь статистической. Возникает вопрос, как провести искомую прямую, называемую прямой регрессии или прямой выравнивания, через точки измерения, нанесенные на х–y диаграмме, или как рассчитать ее характеристики.

Исходя из предположения, что для определенного значения независимой переменной х величина у нормально распределена относительно своего математического ожидания, лежащего на искомой прямой, и что это нормальное распределение не зависит от значения переменной х, можно применить метод наименьших квадратов. При этом следует рассматривать не расстояние от точки измерения до прямой, а разность ординат точки измерения и прямой (рис. 1).

Прямую, соответствующую минимальной сумме квадратов погрешности, с наибольшей вероятностью можно рассматривать как искомую прямую генеральной совокупности и рассчитывать по следующей формуле:

(y − y) = b(x −x) ,

где y и x – средние значения.

Крутизна прямой b называется коэффициентом регрессии и рассчитывается следующим образом:

b = r Sy = cov(x, y) ,

Sx S2x

2

переменных (ковариация); Sx , Sy – среднеквадратические отклонения

= cov(x, y)

x и y, соответственно; r – коэффициент корреляции,

SxSy

характеризующий тесноту связи между переменными.

Рис. 1. Прямая регрессии

(y − y) = b(x −x) :

А – нормальное распределение, не зависящее от х

Таким образом, получают оценку коэффициента наклона прямой, описывающей линейную зависимость. Данный метод определения аппроксимирующей данные прямой выводится из условия минимизации суммы квадратов отклонений результатов измерения от аналитических расчетов.

3. Определение доверительного интервала для коэффициента регрессии

Выбирают доверительную вероятность Р (%) (например, 95, 99 % или другую). По распределению Стьюдента (практическое занятие № 4) определяют t = f(Р, k), где k = n – 2 – число степеней свободы.

Вычисляют выражения:

Математическое ожидание β коэффициента регрессии b с до- верительной вероятностью Р (%) лежит в области

b – Еар % ≤ β ≤ b + Еар %.

На рис. 2,а показан доверительный интервал для коэффициента b линейной зависимости, определенный таким методом.

Если, в частности, этот интервал включает значение β = 0, то с выбранной доверительной вероятностью нет оснований утверждать, что действительный коэффициент регрессии b отличен от нуля. В этом случае считают, что линейная зависимость не установлена с достаточной достоверностью.

Рис. 2. Доверительные интервалы:

а – коэффициентов регрессии; б – математического ожидания у(х)

Дополнительная недостоверность состоит в том, что среднее значение y , через которое проводится прямая, также представляет собой

лишь оценку соответствующего математического ожидания, поэтому недостоверным является и «положение» прямой.

4

4. Определение доверительного интервала для математического ожидания зависимой переменной

Выбирают доверительную вероятность Р (например, 95, 99 % или другую). По распределению Стьюдента (практическое занятие № 4) определяют t = f(Р, k), где k = n – 2 – число степеней свободы.

ВычисляютSx , Sy и b аналогично п. 3.

Определяют доверительный интервал погрешности значений для разных значений у:

y – Еар % ≤ µу ≤ y + Еар %.

На рис. 2,б показаны определенные таким образом значения доверительного интервала. Как видно, этот интервал зависит от х и минимален при х = x , что связано с установленной выше недостоверностью коэффициента b.

5. Упрощенный вариант оценки статистической связи двух рядов измерений

Если требуется проверить только то, что крутизна b значимо отличается от нуля, т.е. что имеет место существенная и линейная зависимость между х и у, то поступают следующим образом.

Вычисляют выраженияSx , Sy и b аналогично п. 3. Вычисляют статистику

(n −2)S2

t = b 1 . (S22 −bS12 )

По распределению Стьюдента определяют t = f(Р, k), где k = n – 2

– число степеней свободы.

Вероятность Р (%) представляет уровень значимости отклонения крутизны b исследуемой зависимости от прямой с b = 0.

Если уровень значимости достаточно мал (например, Р ≤1%), то гипотеза, что β = 0, отбрасывается. В этом случае прямая статистически значимо отличается от прямой с коэффициентом b, равным нулю.

5

6. Порядок выполнения работы

1.Вычислить уравнение регрессии, определить значимость статистических связей между зависимой и независимой переменными.

2.Вычислить доверительные интервалы коэффициента регрессии

иматематического ожидания.

3.Построить график полученного уравнения и нанести экспериментальные точки.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Как определяется коэффициент корреляции и как можно трактовать его значения?

2.Как определяется коэффициент регрессии?

3.Как определяются доверительные границы для коэффициента регрессии?

4.Как определяются доверительные границы для математического ожидания?

5.Какому условию соответствует прямая регрессии?

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Сергеев А. Г. Метрология: Учеб. пособие для вузов. / А. Г. Сергеев, В. В. Крохин – М.: Логос, 2001. – 408 с.: ил.

2.Рудзит Я. А. Основы метрологии, точность и надежность в приборостроении: Учеб. пособие для студентов приборостроительных специальностей вузов. / Я. А. Рудзит, В. Н. Плуталов – М.: Машинострое-

ние, 1991. – 304 с.: ил.

3.Новицкий П. В. Оценка погрешностей результатов измерений.

/П. В. Новицкий, И. А. Зограф – Л.: Энергоатомиздат. Ленигр. отд-ние, 1985. – 248 с.: ил.

Составители Борис Людвигович Герике Роман Юрьевич Замараев

СОВМЕСТНАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

ОСНОВЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГ АНАЛИЗА

Методические указания к практическому занятию № 5 по курсу «Метрология, стандартизация и сертификация» для студентов направления 550900 «Промышленная теплоэнергетика»

Редактор А. В. Дюмина

Подписано в печать 06.01.03. Формат 60х84/16.

Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Уч.-изд. л. 0,3. Тираж 50 экз. Заказ ____.

ГУ КузГТУ, 650026, Кемерово, ул. Весенняя, 28. Типография ГУ КузГТУ.

650099, Кемерово, ул. Д. Бедного, 4А.