практикум_Мат.анализ
.pdfПолученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Решим
его, поделив обе части равенства на сомножители x 0 |
и |
u 0 : (u 2)du u dx |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
(u 2) |
du |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
dx |
|
|||
|
|
|
. |
Теперь |
упростим |
полученное |
выражение: |
|
1 |
|
du |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
u |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
dx |
|
|
|||
Проинтегрировав |
его, найдем общее |
решение уравнения |
(4): 1 |
|
|
du |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
x |
|
|
u 2ln u ln x c .
Чтобы записать общее решение исходного уравнения (1) выразим из подстановки (2)
функцию u |
y |
|
и подставим в полученное равенство: |
y |
2ln |
y |
|
ln x c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Преобразуем полученный результат, воспользовавшись свойством ln |
a |
ln a ln b : |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2ln y 2ln x ln x ln c |
y |
2ln y ln x ln c |
ln |
cx |
|
|
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Последнее выражение является общим решением исходного уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 6. |
Найти частное решение дифференциального уравнения |
|
2x2 y x2 |
y2 |
при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
заданных начальных условиях y(1) 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Выясним тип уравнения. Запишем его в дифференциалах, чтобы попытаться |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
разделить переменные: |
2x2dy (x2 y2 )dx . Очевидно, что при |
|
dx |
разделить переменные |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
невозможно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Проверим, является ли оно однородным: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
- |
заменим |
в уравнении x |
на |
tx , |
|
а |
y на |
|
ty |
( y |
|
остается |
без |
|
изменений): |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2(tx)2 y (tx)2 (ty)2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
- преобразуем полученное выражение: 2t 2 x2 y t 2 (x2 y2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
Все выражение можно сократить на |
t 2 |
|
и |
получится |
исходное |
уравнение, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
следовательно, оно является однородным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Сделаем |
замену |
y(x) xu(x) , |
|
y |
|
|
|
. |
|
Тогда |
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(xu) |
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
u xu |
|
|
(u xu ) x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2x |
2 |
(u |
|
|
|
|
2 |
(1 u |
2 |
) . |
Полагая, |
что |
|
x 0 , |
сократим |
обе |
части |
|
уравнения |
на |
x |
2 |
: |
|||||||||||||||||||
|
xu ) x |
|
|
|
|
|
61
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
||
2(u xu ) 1 u |
|
|
. |
Запишем |
|
полученное |
|
уравнение |
через |
дифференциалы |
( u |
|
|
): |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2u 2x |
du |
1 u 2 |
2xdu (1 u2 |
2u)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разделим переменные: |
|
du |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
dx |
. |
Проинтегрируем обе части |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 u 2 2u |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
(u 1)2 |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
x |
|
|
1 (1 u)(c ln |
|
x |
|
|
) . В |
последнее |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(u 1) |
|
2x |
|
|
u |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
выражение подставим u |
y |
|
. Получим: |
1 (1 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
c) . Разрешив его относительно y , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
)(ln |
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
найдем общее |
|
|
решение |
(общий |
интеграл) |
|
|
исходного дифференциального |
уравнения: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y x |
|
|
|
x |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ln |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Используя начальное условие y(1) 0 , |
определим значение c . Для этого подставим в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
общее решение значения |
y 0 |
и |
x 1: |
0 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
c 1. Найденное значение c |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
1 |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
подставим в общее решение, тогда частное решение исходного уравнения будет записано в
виде: y x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
ln |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения |
y |
ytgx cos x . |
||||||||||||
|
Решение.
Выясним тип уравнения.
Запишем его в дифференциалах ( y dydx ), чтобы попытаться разделить переменные:
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dy ( |
|
ytgx)dx . Очевидно, что при dx разделить переменные невозможно. |
|
|
|||||||
cos x |
|
|
|||||||||
|
Проверим, является ли уравнение однородным: |
заменим x на tx , а y на |
ty |
( y |
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
остается без изменений): y |
ty tgtx |
cos tx . В полученном уравнении сократить на |
t |
не |
|||||||
|
|||||||||||
получится, следовательно, оно не является однородным. |
|
|
|
||||||||
Проверим, является ли оно линейным. Уравнение вида P(x) y Q(x) y f (x) , линейное |
|||||||||||
относительно неизвестной функции |
y и ее производной |
y , называется линейным. Важно, |
|||||||||
чтобы в левой части уравнения при |
y и y и в правой части уравнения стояли функции |
только аргумента x . Очевидно, что исходное уравнение является линейным. Решим его
62
методом |
Бернулли |
с |
помощью |
подстановки |
|
y(x) u(x) v(x) |
и |
y |
|
|
|
|
. |
Получим |
|||||||
|
|
u v uv |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
uv tg x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v tg x) |
cos x . По |
||||||||||
u v uv |
. Перегруппируем полученное уравнение: |
u v u(v |
|||||||||||||||||||
методу |
|
|
Бернулли |
решение этого |
уравнения |
равносильно |
решению |
системы двух |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
v |
v tg x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дифференциальных |
уравнений: |
|
|
1 |
|
. |
При этом каждое |
|
|
уравнение |
решается |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отдельно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решим |
сначала |
первое |
уравнение |
v v tg x 0 , причем будем искать его частное |
||||||||||||||||
решение. Это |
уравнение |
является |
уравнением |
с |
разделяющимися переменными: |
|||||||||||||||
v v tg x 0 |
|
|
dv |
v tg x |
dv |
tg xdx |
|
|
dv |
tg x d x ln |
|
v |
|
ln |
|
cos x |
|
ln c . |
||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
v |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая c 1, выбираем частное решение v cos x . Теперь найдем общее решение второго
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения |
u v cos x . Подставим в него найденную функцию v cos x . В этом уравнении |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
du |
|
1 |
|
|
|
|
|
dx |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
также можно разделить переменные: |
cos x cos x |
dx cos x cos x |
|
du cos2 x |
|||||||||||||||||
u |
|
||||||||||||||||||||
du |
dx |
|
u tgx c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
cos |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Общее решение исходного уравнения y(x) u(x) v(x) (tgx c)cos x . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
Найти общее решение дифференциального уравнения |
|
x |
2 |
|
|
2 y |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x . |
||||||||||||||||
Пример 8. |
|
y |
|
|
Решение.
Выясним тип уравнения.
Запишем его в дифференциалах ( y dydx ), чтобы попытаться разделить переменные:
dy ( |
2 y |
x2 )dx . Очевидно, что при dx разделить переменные невозможно. |
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверим, является ли уравнение однородным: заменим x на tx , а y |
на |
ty |
( y |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2ty |
|
|
|
|
остается |
без изменений): y |
t |
|
x |
|
tx . В полученном уравнении сократить |
на |
t |
не |
||||
|
|
|
получится, следовательно, оно не является однородным.
Преобразуем уравнение так, чтобы в левой части находились неизвестная функция y
и ее производная y : y 2xy x2 . Исходное уравнение является линейным. Применим
63
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x) u(x) v(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2uv |
x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
подстановку |
Бернулли |
|
и |
|
|
y |
|
|
u v uv |
: |
|
|
u v uv |
|
x |
|
|
. После |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2v |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
перегруппировки |
получим: |
|
|
|
|
. |
Решение |
полученного |
|
уравнения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u v u v |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
равносильно решению системы двух дифференциальных уравнений: |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u v x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Решим сначала первое уравнение v |
|
|
Оно |
является |
|
уравнением |
с |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
разделяющимися переменными: |
v |
2v |
0 |
|
dv |
|
|
2v |
|
|
dv |
|
2dx |
|
|
dv |
|
2 |
dx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
x |
|
|||||||||||
ln |
|
v |
|
2ln |
|
x |
|
c . Выберем частное решение, полагая |
c 0 : |
ln |
|
v |
|
2ln |
|
x |
|
v x2 . Далее ищем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
общее решение |
|
второго |
уравнения |
системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
Подставим |
в |
него |
найденную |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
u v x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функцию |
v x |
2 |
. |
В этом уравнении также можно разделить переменные: |
|
|
|
2 |
x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
u x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u 1 |
|
|
|
du |
|
1 du dx . Проинтегрируем полученное равенство: du dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u x с . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Общее решение исходного уравнения y(x) u(x) v(x) x2 (c x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 9. Найти общее решение дифференциального уравнения |
ex ( y y) 1. |
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
В исходном уравнении нельзя разделить переменные и оно не является однородным
(см. примеры 7 и 8). Раскрыв скобки нетрудно убедиться что в левой части уравнения при y
и |
|
y |
и в правой части уравнения стояли функции только аргумента x : ex y ex y 1. Значит |
|||||||||||||||
уравнение является линейным. |
И его можно решить с помощью подстановки Бернулли |
|||||||||||||||||
y(x) u(x) v(x) и |
y |
|
|
|
: |
e |
x |
|
|
x |
uv 1. После перегруппировки получим: |
|||||||
|
u v uv |
|
(u v uv ) e |
|||||||||||||||
e |
x |
|
|
x |
|
v) 1 |
. Решение полученного уравнения равносильно решению системы двух |
|||||||||||
|
u v e |
|
u(v |
|||||||||||||||
дифференциальных уравнений: v |
|
v 0 . |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u v 1 |
|
|
|
Решим сначала первое уравнение: v v 0 . |
|
Оно является уравнением с разделяющимися переменными: v v 0 |
|
64
|
dv |
v |
dv |
dx |
|
|
|
|
dv |
|
dx ln |
|
v |
|
x c . |
Выберем частное решение, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
dx |
v |
v e x . |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
полагая c 0 : ln |
|
v |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Теперь найдем |
общее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
решение второго уравнения e |
u v 1. Подставим в него |
||||||||||||||||||||||||
найденную функцию v e |
x |
: |
x |
x |
1 |
|
u |
|
|
1. В этом уравнении также можно |
|||||||||||||||
|
|
e |
u e |
|
|
||||||||||||||||||||
разделить переменные: |
|
du |
1 |
du dx |
du dx u x c . |
||||||||||||||||||||
|
dx
Общее решение исходного уравнения y(x) u(x) v(x) e x (x c) .
Пример 10. Найти общее решение дифференциального уравнения y x sin x .
Решение.
Исходное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка и
относится к виду |
|
y(n) f (x) . Решаются такие уравнения методом последовательного |
||||||||||||||||||||
интегрирования. По определению производной n -го порядка: |
y(n) ( y(n 1) ) |
dy(n 1) |
. Значит, |
|||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
вторую производную, |
стоящую в левой части уравнения можно записать: y |
|
|
dx . |
||||||||||||||||||
|
( y ) |
|
||||||||||||||||||||
Тогда уравнение |
примет вид |
dy |
|
x sin x . Умножим обе части |
равенства |
на |
|
|
dx и |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
dx |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
проинтегрируем: |
|
dy |
|
x sin x |
|
|
|
dy (x sin x)dx |
|
dy (x sin x)dx |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y (x sin x)dx |
|
|
|
y |
x2 |
|
c o xs c1 . Получили дифференциальное уравнение |
|
1-го |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
порядка с разделяющимися переменными: |
dy |
|
x2 |
|
|
||
|
dx |
2 |
|
|
x |
2 |
cos x c |
dy |
|
|
|
|
||
1 |
|
2 |
|
|
|
cos x c dx .
1
Вычислив |
|
интегралы, |
получим |
общее |
|
решение |
исходного |
уравнения: |
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
x |
|
cos x c |
dx |
y |
x |
|
sin x c x c |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
6 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнения |
|
|
|
|
||
1. Найти общее решение дифференциального уравнения xy y e x |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
y |
1 |
(с e x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Найти решение дифференциального уравнения y |
x |
1 , удовлетворяющего |
||||||||
|
||||||||||
условиям y 6 при x 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: y с(x 1) , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Найти общее решение дифференциального уравнения |
y |
x ln x |
|
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
y |
|
4. Найти частное решение дифференциального |
|
|
уравнения |
xdy |
||||||
удовлетворяющего начальным условиям y 2 при x 1. |
|
|
|
|
|
начальным
y 2(x 1)
x(c ln 2 x ) 2
(x y)dx ,
|
Ответ: |
|
y x ln |
|
x |
|
сx , |
y x ln |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. Найти общее решение дифференциального уравнения |
xyy x2 |
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Ответ: |
y2 |
|
x2 |
ln |
|
|
x |
|
|
ln c или |
x2 y2 ln cx2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6. Найти общее решение дифференциального уравнения |
y |
y 1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
y e x ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
7. Найти общее решение дифференциального уравнения |
( y x) ydx x2dy 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
cx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. Найти частное решение дифференциального уравнения |
|
y |
y x , удовлетворяющего |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
начальным условиям y(1) 1. |
Ответ: общее решение |
y2 |
2ln |
|
x |
|
c , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
частное решение |
y2 |
2ln |
|
x |
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. Найти общее решение дифференциального уравнения |
y |
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: ln xy |
y |
|
c |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
10. Найти общее решение дифференциального уравнения |
|
yy |
1 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: y3 3x2 3x c |
||||||||||||||||||||||||||||||||
11. Найти общее решение дифференциального уравнения |
( y2 x2 )dx 2xydy 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: x2 y2 cx |
||||||||||||||||||||||||||||
12. Найти общее решение дифференциального уравнения |
|
y 3x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
66 |
Ответ: 3x 3 y c
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
13. Найти общее решение дифференциального уравнения |
y |
|
2 1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Ответ: y |
x4 |
|
x2 |
c x c |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
24 |
2 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
Числовые ряды
Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел u1,u2 ,u3 , ,un , ,
соединенных знаком сложения:
u1 u2 un un ,
n 1
где u1 ,u2 ,u3 , ,un , - члены ряда, un - общий член ряда.
Сумма первых n членов ряда Sn называется n-й частичной суммой ряда.
Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е.
lim Sn S .
n
Число S называется суммой ряда, поэтому можно записать
S u1 u2 un un .
n 1
Если конечного предела последовательности частных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.
Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то предел его общего члена
un |
при n равен нулю |
lim un 0 . |
|
|
|
n |
|
|
Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами |
||
|
|
|
|
|
Даны два ряда с положительными членами: un |
(1) и vn (2). Тогда |
|
|
|
n 1 |
т 1 |
I - й признак сравнения: если un vn при любом n , то
если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1), если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).
II - й признак сравнения: если существует конечный предел отношения их общих
а) геометрический ряд
б) гармонический ряд
членов lim un k 0 , то ряды одновременно сходятся, либо
n vn
расходятся.
«Эталонные» ряды:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aqn 1 - сходится при |
|
q |
|
1 , расходится при |
|
q |
|
1 ; |
||
|
|
|
|
|||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
- расходится; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67
|
1 |
|
в) обобщенный гармонический ряд |
|
сходится при 1 , расходится при 1. |
|
||
n 1 n |
|
Признак Даламебр: Пусть для ряда un с положительными членами существует предел
n 1
отношения n 1 члена к n -му члену : lim un 1 un l .
n
Тогда, если l 1 , то ряд сходится; если l 1, то ряд расходится; если |
l 1, то вопрос о |
|
сходимости ряда остается открытым. |
|
|
Числовой ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно то |
||
положительны, то отрицательны: |
|
|
u1 u2 u3 1 n 1un , |
где un 0 . |
|
Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине u1 u2 un и предел его общего члена при n равен нулю, т.е.
lim un 0 , то ряд сходится.
n
Ряд называется знакопеременным, если любой его член может быть как положительным, так и отрицательным.
Если ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда
u1 u2 un сходится, то исходный ряд un сходится абсолютно.
n 1
Ряд un называется условно сходящимся, если абсолютный ряд расходится, а
n 1
исходный ряд сходится.
|
2n2 5 |
|
|
Пример 1. Исследовать сходимость ряда |
|
|
. |
n |
3 |
||
n 1 |
|
|
Решение.
Используем 2-й признак сравнения. Сравним ряд с расходящимся гармоническим рядом
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2n2 |
5 |
|
|
2n2 |
5 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2n2 5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
5 |
||||||||||||
Т.к. |
lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
lim |
2 |
|
|
2 , |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
n |
|
n |
n |
n |
n |
|
n |
n |
n |
|
n |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то данный ряд расходится, так же как и гармонический.
|
7 |
2 n |
|
||
|
|
|
|||
Пример 2. Исследовать сходимость числового ряда |
|
|
. |
||
(2n 1)! |
|||||
n 1 |
|
Решение.
68
Проверим выполнение признака Даламбера.
|
u |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72(n 1) |
|
|
|
|
|
7 |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72n 2 |
(2n 1)! |
|
49 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
0 1, то |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
n |
u |
n |
|
|
n (2(n 1) 1)! |
|
|
(2n |
1)! |
n (2n 1)! |
|
|
|
|
n 2n(2n |
1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по признаку Даламбера ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Заметим, что (2n 1)! 1 2 ... (2n 1) 2n (2n 1) (2n 1)! 2n (2n 1). |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 3. Исследовать сходимость числового ряда |
ln n |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 3 n7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что ln х х |
для любого х , следовательно, и для любого натурального п. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
ln n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3 |
|
n |
7 |
|
|
|
3 |
|
n |
7 |
|
|
n |
|
|
|
n |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Таким |
образом, |
|
|
члены |
|
исходного |
|
|
ряда |
|
не |
превосходят членов |
|
сходящегося |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
обобщенного гармонического ряда |
1 |
|
, |
|
где |
4 |
1. |
|
Следовательно, |
исходный ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п 1 п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
сходится по первому признаку сравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 4. Исследовать сходимость ряда 1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 n 1 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применим признак Лейбница: |
|
|
|
|
1) члены ряда по абсолютной величине убывают: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) предел общего члена lim |
1 |
0 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n2 |
|
|
|
|
Следовательно, ряд сходится.
Пример 5. Исследовать сходимость числового ряда 1 п
п 1
ряда установить ее характер (абсолютная или условная).
Решение. Применим признак Лейбница: un 1 un
Вычислим члены ряда по абсолютной величине
2 п 1 . В случае сходимости
пп 3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
1 |
0,25, |
|
u |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
1 |
0,313, |
|
и |
3 |
|
|
2 3 1 |
0,3, |
|
и |
4 |
|
|
2 4 1 |
|
|
3 |
0,27,... |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 2 3 |
|
|
|
|
3 3 3 |
|
|
|
|
|
4 4 3 |
|
11 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Они убывают, начиная с третьего. Вычислим предел общего члена, применив правило |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Лопиталя: lim |
|
lim |
u (x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
v(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
x |
v (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
||
lim |
|
lim |
|
n |
|
|
lim |
0 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n n n 3 |
|
n 3 |
|
n |
|
|
3 n n |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, ряд сходится по признаку Лейбница.
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ряд |
2 |
п |
, составленный из абсолютных величин данного ряда, расходится, так |
|||||||||
|
|
|
||||||||||
п 1 п |
п 3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
как его можно сравнить с расходящимся гармоническим рядом |
1 |
, применив предельный |
||||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
п 1 п |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
un |
|
|
|
|
||
признак сравнения : если выполняется условие lim |
0 , то ряды |
un , |
vn ведут себя |
|||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
n v |
n |
|
|
n 1 |
n 1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
одинаково, то есть одновременно сходятся либо одновременно расходятся.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
n |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2n |
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
: |
lim |
|
|
lim |
|
|
n |
|
2 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n n n 3 n |
|
n n n 3 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6. Исследовать на абсолютную сходимость ряд |
1 n |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
8 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда: |
n |
. Применим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
8 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
признак Даламбера: u |
n |
|
|
|
, |
|
u |
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
8n |
|
|
|
8n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n |
2n 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
lim |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, т.е. ряд, составленный |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n 8 n 1 |
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
8 n |
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
8 n |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
из модулей членов исходного ряда, сходится. |
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Следовательно, знакочередующийся ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится абсолютно. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
8 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
|||
Пример 4. |
|
|
|
|
Исследовать |
сходимость |
числового |
|
|
ряда |
1 |
n ln 1 |
|
|
|
|
. В случае |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
сходимости ряда установить ее характер (абсолютная или условная). Решение.
Проверим признак Лейбница. Рассмотрим первые несколько членов ряда по абсолютной величине
а1 0,69, а2 2ln1,25 0,45, a3 3ln10 / 9 0,32, a4 4ln17 /16 0,24,...
Очевидно, они убывают с ростом номера п. Вычислим предел общего члена
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 1 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
1 1 n2 |
n3 |
|
|||||||||
|
|
0 lim |
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim n ln 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
||
n |
2 |
1 n |
|
|
1 n |
2 |
|
|
|||||||||||
n |
|
|
|
|
n |
0 |
|
n |
|
|
|
|
|
70