практикум_Мат.анализ
.pdfПоказатель степени |
9 |
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2x при x имеет предел: |
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6x 4 |
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lim |
-18x |
= « |
|
» = |
lim |
|
-18x |
= |
18 |
= -3. |
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6x 4 |
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6x 4 |
6 |
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x |
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|
x |
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||||||
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По теореме о пределе сложной функции получим:
= e 3 .
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2 |
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1 |
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x |
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Пример 13. |
Вычислить предел |
lim |
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. |
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x 0 |
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4x 1 |
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Решение. |
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2 |
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1 |
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x |
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lim |
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= |
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x 0 4x 1 |
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Рассмотрим структуру выражения: при x 0 предел основания степени равен 1, а показатель является бесконечно большой функцией. Таким образом, имеем
неопределенность вида «1 ».
= «1 » =
Для раскрытия этой неопределенности следует применить формулу 2-го
1
замечательного предела: lim 1 e .
0
а) Выделим в основании степени слагаемое, равное 1:
= lim
x 0
= lim
x 0
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1 |
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1 |
1 |
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1 1 |
1- 4x -1 |
1 |
- 4x |
. |
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||||||
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4x 1 |
4x 1 |
4x 1 |
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4x 1 |
|||||||
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Отметим, что при x 0 |
дробь |
|
4x |
является бесконечно малой функцией. |
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4x 1 |
|||||||||||||
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2 |
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- 4x |
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x |
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1 |
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= |
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4x 1 |
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б) Для применения к полученному выражению формулы 2-го замечательного предела необходимо, чтобы показателем степени была бесконечно большая
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4x 1 |
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||||||
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функция |
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. С этой целью выполним преобразования: |
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4x |
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||||||||||||||||||||||||||
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4 x |
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2 |
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|||
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4 x 1 |
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|||||||
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4 x 1 |
|
x |
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- 4x |
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4 x |
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|||
1 |
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= |
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4x 1 |
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|
4 x 1 |
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|
- 4x |
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|||
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4 x |
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e . |
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в) Согласно формуле 2-го замечательного предела lim |
1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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x 0 |
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4x 1 |
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4x |
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2 |
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Показатель степени |
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при x 0 |
имеет предел: |
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|||||||||||||||||||
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4x 1 |
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|||||||||||||||||||||||||
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|
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|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
lim |
|
8x |
|
|
|
= |
lim |
|
8 |
|
|
= |
8 |
|
= 8. |
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|||||||||||
|
x 0 4x 1 x |
|
|
x 0 |
|
4x 1 1 |
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По теореме о пределе сложной функции получим:
11
= e8 .
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lnx 1 |
2 x |
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Пример 14. |
Вычислить предел |
lim |
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. |
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||||||
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||||||||||||
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x |
ln x 3 |
|
|
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||
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|
Решение. |
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|||
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lnx 1 |
2 x |
|
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||
lim |
|
|
|
= |
|
|
|
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|
||||||
x |
ln x 3 |
|
|
|
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||
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|
|
Рассмотрим структуру выражения: |
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|
||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
lim |
lnx 1 |
= « » = |
lim |
lnx 1 |
= lim |
x |
= 1. |
|||||
|
|
lnx - 3 |
|
lnx - 3 |
1 |
|||||||||
|
|
x |
|
x |
x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
Таким образом, при x предел основания степени равен 1, а показатель
= «1 » =
= lim 1
x
является бесконечно большой функцией, имеем неопределенность вида «1 ».
Для раскрытия этой неопределенности применим формулу 2-го замечательного предела.
а) Выделим в основании степени слагаемое, равное 1:
|
ln x 1 |
|
1 |
lnx 1 |
|
1 1 |
lnx 1- lnx 3 |
1 |
4 |
. |
||||
|
ln x 3 |
ln x 3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
lnx - 3 |
|
|
lnx - 3 |
|||||||
Отметим, что при x |
дробь |
4 |
является бесконечно малой функцией. |
|||||||||||
|
||||||||||||||
ln x 3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42 x
=
ln x 3
б) Поставим в показатель бесконечно большую функцию ln x 3 . 4
|
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4 |
2 x |
|
|
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|
ln x 3 |
|
ln x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||
= lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
|
ln x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
||
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в) Согласно формуле 2-го замечательного предела |
lim 1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
ln x 3 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
Показатель степени |
4 |
|
2x |
при x 0 имеет предел: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
ln x 3 |
|
|
|
ln x 3
4
e .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
8x |
|
= « |
|
» = lim |
8x |
= lim |
8 |
= « |
8 |
» = . |
|
ln x 3 |
|
ln x 3 |
1 |
0 |
||||||||
x |
|
x |
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
По теореме о пределе сложной функции получим: = « e » = .
Пример 15. Найти точки разрыва функции y x 31x и установить характер разрыва. Решение.
Установим область определения функции: x ; 0 0; .
Точка x 0 , исключенная из области определения, является точкой разрыва. Исследуем тип разрыва с помощью односторонних пределов.
12
Левосторонний предел: |
|
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|||||
lim x 31x |
= « 0 0 » = 0. |
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||
x 0-0 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
Правосторонний предел: |
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|||||
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
1 x |
|
|
1x |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ln 3 |
|
||||||
lim |
x 31x |
= |
|
« 0 » = lim |
= « |
» = |
lim |
|
|
|
|
= lim |
x2 |
= |
||||||||
x 0 0 |
|
|
|
|
x 0 0 |
1 |
|
|
|
|
x 0 0 |
1 |
|
x 0 0 |
|
1 2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
lim |
31x ln 3 |
= |
. Один из односторонних пределов бесконечен, следовательно, точка x 0 |
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
||||||||||||||||||||
x 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является точкой бесконечного разрыва (разрыва 2-го рода).
Упражнения
Вычислить пределы. |
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||
1) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8x3 2x |
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
1 |
2 |
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
lim |
6x3 |
|
|
|
|
|
|
x5 1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
4x |
6 |
|
3 x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
3) |
lim |
|
|
|
x |
|
|
|
x 2 |
x 7 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
lim |
2x |
7x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2x |
7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5) |
lim |
|
1 2x 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6) |
lim |
|
|
|
|
|
1 x |
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x 8 |
|
|
|
|
|
2 3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
7) |
lim |
|
|
1 x |
1 x |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
8) |
lim |
3 |
|
|
|
x2 |
7x 10 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
9) |
lim |
|
|
3 |
|
7 x 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ln2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
10) |
lim |
3 |
|
|
|
x ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: .
Ответ: 3.
Ответ: 92 .
Ответ: -7.
Ответ: 43 .
Ответ: -2.
Ответ: 0.
Ответ: 3 34 .
Ответ: .
Ответ: 0.
13
11) lim
x 0
12) lim
x
13) lim
x
14) lim
x
15) lim
x 0
16) lim
x 3
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|||
x 1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4x |
2 |
1 |
|
|
|
2x 1 |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
10x 3 5 x 2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
10x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x 3 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 x 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
1 8x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x 2 . |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 - 2x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 12 .
Ответ: .
Ответ: e2 .
Ответ: 0.
Ответ: e 8 .
Ответ: e 2 3 .
Найти точки разрыва функции и установить характер разрыва.
1.y 2x 1 . Ответ: бесконечный разрыв в точке x 3.
x3
2. |
y |
3 |
|
. |
Ответ: конечный разрыв (скачок) в точке x 0 . |
|
|
||||
1 2 |
1 |
||||
|
|
x |
|
Производная
Производной функции |
y f x называется предел отношения приращения функции |
|||||||||||||||||||||||||
y к приращению аргумента |
x при стремлении последнего к нулю (если этот предел |
|||||||||||||||||||||||||
существует): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x x f x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y lim |
y |
lim |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Обозначают: |
|
|
dy |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y , |
f x , |
dx |
yx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правила дифференцирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u v uv |
|
|
|||||
1) |
0 |
; |
|
|
|
|
3) u v |
u |
v |
; |
|
5) |
|
|
|
|
|
|
при v 0 . |
|||||||
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
cu |
cu |
; |
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
|
|
4) uv u v uv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Производная сложной функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
yx |
fu |
u |
ux . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
Таблица производных основных функций
1) |
(u n ) |
|
n u n 1 u , |
6) |
(sin u) |
|
cos u u , |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
7) |
(cos x) |
|
|
|
|
|
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(log a u) |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin u u |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(ln u ) |
|
|
1 |
|
u , |
|
|
|
|
(tgu ) |
|
|
1 |
|
u , |
|
||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
8) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
u |
|
|
|
|
cos 2 |
u |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
u |
|
|
a |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4) |
(a |
|
) |
|
|
|
|
|
|
, |
9) |
(ctgu ) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
ln a u |
|
|
2 |
|
u . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
u |
|
||
5) |
(e u ) e u u , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Найти производную функции y x1 x 2 ln x 1 x 2 . Решение.
Преобразуем функцию y x1 x2 ln x 1 x2 x2 x4 ln x 1 x2 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u v . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Последнее действие сумма, поэтому применим формулу u v |
|
|
и ln u |
u |
, тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
x |
|
|
x |
|
|
|
|
ln x |
|
1 x |
|
|
. Теперь применим формулы |
u |
|
2 u |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
|
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|
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2x 4x3 |
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2 1 x 2 |
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2 x 2 x 4 |
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x 1 x 2 |
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x x |
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= { преобразуем полученное выражение} |
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x x x |
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1 x2 |
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1 x2 |
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Пример 2. |
Найти производную функции |
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y ln 5 |
e3x |
1 |
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e3x |
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Решение. |
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nun 1u . Получим |
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Первой применим формулу un |
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x |
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преобразуем функцию, воспользовавшись |
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y |
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e |
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ln |
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ln |
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ln u ln v |
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свойством |
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e x |
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ln e |
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ln e |
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{по формулам u v |
|
|
u v и ln u |
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}= |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x |
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e |
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ln e x ln e x |
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e x |
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e x |
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{ применим формулы eu eu u и c } ln |
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={преобразуем выражение} ln |
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Пример 3. |
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Найти производную функции y cos3 |
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Решение. |
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y cos |
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{Применим формулу un |
nun |
1u } cos |
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cos |
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{преобразуем выражение}= |
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1 x |
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x 1 |
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1 x |
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1 x |
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x |
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x |
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Найти производную функции y ln x 2 |
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x 2 |
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5x e |
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Пример 4. |
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5x |
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2x 1 |
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2 x 1 . |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
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u v |
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Применим формулу u v |
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, |
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u v |
u v uv }= |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
ln x |
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5x |
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2x 1 |
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x |
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5x e |
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{по формулам |
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2 |
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2 |
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2 x 1 |
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x2 |
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5x |
2x 1 |
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u |
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x 2 |
5x e |
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2 x 1 x 2 5x e 2 x 1 |
{ u v |
u v и e |
|
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e |
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|||||||||||||||||||||||||||
|
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x 2 |
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5x |
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x |
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x |
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x e |
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x x |
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x |
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n 1 |
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u |
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c x c и вынесем общий сомножитель e |
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={Применим формулы |
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u v |
, сx |
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x |
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x x |
x |
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x |
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e |
x |
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{преобразуем выражение}= |
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x x |
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x |
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x |
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x 2 5x |
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2x 1 1 |
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e 2 x 1 2x 5 |
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2x 1 x |
2 |
5x 2x 1 |
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2x 1 |
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Найти производную функции y e x sin x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 5. |
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x |
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Решение. |
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Применим формулы u v u |
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и u v |
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u v uv |
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x |
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au ln au }= |
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={Применим формулы un |
nun 1u , eu |
u eu и au |
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x |
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x |
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2 |
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2 |
x |
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|||||||||||
x |
e |
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2x 3 e |
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2sin 2x 3 sin 2x 3 |
3 |
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= |
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2 |
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={применим формулы x |
1, sinu cos u |
u |
и представим |
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2x |
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x |
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={по формулам u v u v , сx |
и с |
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17
e x sin x e x sin x cos x x x ln {преобразуем выражение}=
e x sin x e x sin x cos x |
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x ln |
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e x sin 2x 3 4 cos 2x 3 sin 2x 3 |
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ln 3 |
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1 x |
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Пример 6. |
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Найти производную функции y |
3 |
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1 |
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ln |
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1 x 2 |
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1 x |
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Решение: |
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Преобразуем функцию по свойствам степенной и логарифмической функций |
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ln 1 x |
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Применим формулы u v |
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u v и сu |
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n 1 |
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ln x |
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и ln u |
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c и с }= |
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{преобразуем выражение}= |
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Упражнения |
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Найти производные функций |
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e2 x 1 |
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e2 x 1 3 |
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x 3x 1 ln 2 |
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3x 1 |
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2ln |
x2 1 |
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4) |
y 2ln |
x2 1 |
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Ответ: |
y |
3 2ln |
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x2 1 |
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x 2 1 |
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y 3 |
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5ln 3 3 |
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2 |
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5) |
x 3 7x 2 |
x3 7x |
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18 |
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5 3x 2 |
7 ln 2 3 |
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2 |
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Ответ: y |
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3x 2 7 |
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x3 7x |
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3 3 |
x3 7x 2 2 |
x3 7x 2 3 x3 7x 2 |
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e x |
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1 |
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e x |
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6) |
y ln x |
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x 2 4 |
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|
Ответ: |
y |
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1 e2 x |
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x 2 4 |
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1 e2 x 3 |
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1 5x ln x 1 |
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|
y |
xe 5 x |
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|
y |
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7) |
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Ответ: |
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e5 x |
||||||||||||||||||||||||||
ln x |
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2 |
x ln |
3 |
x |
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Приложения производной |
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|
Функция y f x |
называется возрастающей (убывающей) в промежутке |
a,b , если |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
большему значению |
x |
в |
этом |
промежутке |
соответствует |
большее |
(меньшее) значение |
|||||||||||||||||||||||||||||||
функции, т.е. для любого x a,b |
: |
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|
если x1 |
x2 , то |
f x1 |
f x2 |
- функция y f x возрастающая; |
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|||||||||||||||||
|
если x1 |
x2 , то |
f x1 |
f x2 |
- функция y f x убывающая. |
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|
Теорема (достаточное условие возрастания (убывания) функции). Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X , то она возрастает (убывает) на этом промежутке.
Точка x0 называется точкой максимума функции f x , если в некоторой окрестности
точки x0 выполняется неравенство:
f x f x0 .
Точка x1 называется точкой минимума функции f x , если в некоторой окрестности
точки x1 выполняется неравенство:
f x f x1 .
Необходимое условие экстремума. Для того, чтобы функция y f x имела экстремум в точке x0 , необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю ( f x 0 ) или не существовала
Теорема (первое достаточное условие экстремума). Если при переходе через точку |
|||
x0 производная дифференцируемой функции y f x |
меняет свой знак с плюса на минус, то |
||
точка x0 есть точка максимума функции, а если с минуса на плюс, то точка минимума. |
|
||
Теорема (второе достаточное условие экстремума). Если первая производная |
|
||
f x |
|||
дважды дифференцируемой функции равна нулю |
в некоторой точке x0 , а вторая |
||
|
положительна, то x0 |
есть точка минимума функции |
f x , |
производная в этой точке f x |
|||
|
x0 - точка максимума. |
|
|
если же f x отрицательна, то |
|
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19 |
Асимптоты: |
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Прямая |
x x0 |
является |
вертикальной |
асимптотой, если |
функция |
|||||||||||||||
|
y f x |
терпит разрыв |
в |
точке x x0 |
|
и |
односторонние |
пределы |
|||||||||||||
|
функции в точке x0 равны : |
|
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lim f x и (или) |
lim |
f x . |
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x x0 |
0 |
|
|
|
x x0 0 |
|
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||||
|
Прямая |
y b |
есть |
горизонтальная |
асимптота графика |
функции |
|||||||||||||||
|
y f x , если функция y f x определена при достаточно больших x |
||||||||||||||||||||
|
и существует конечный предел функции |
lim f x b . |
|
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|||||||||||||
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x |
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|
|
|||
|
Прямая |
y kx b является наклонной асимптотой графика функции |
|||||||||||||||||||
|
y f x , если функция y f x определена при достаточно больших x |
||||||||||||||||||||
|
и существуют конечные пределы |
|
lim f x kx b . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
lim f |
x x k |
и |
|
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|||||||||||||
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|
x |
|
|
|
|
x |
|
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Уравнение касательной к кривой y f x в точке x0 |
имеет вид: |
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|
y f x0 f x0 x x0 |
. |
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||||
Пример 1. |
Исследовать на |
экстремум |
функцию |
y x2 |
|
16 |
|
16 |
и |
найти |
интервалы |
||||||||||
|
x |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||
монотонности. |
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Решение. |
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16 |
|
2(x3 8) |
|
|
1˚. Область определения функции x 0 . Производная функции y |
2x |
x2 |
|
x2 . |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
2˚. Приравнивая производную к нулю, находим критическую точку функции |
x1 2 . |
||||||||||||||||||||
Точка |
x2 0 , в которой производная |
не |
существует, |
является точкой |
разрыва |
функции.
3˚. Покажем критическую точку и область определения функции на числовой прямой
(рисунок 1). Для определения знака производной в полученных интервалах выберем,
|
x 3, x 1, x 1 |
|
|
|
38 |
0 , |
|
|
|
||||
например, |
и найдем |
y ( 3) |
9 |
y ( 1) 14 0, y (1) 18 0 .
20