Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №7, 8 и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей 2 курса

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.08.2013

Размер:

380.3 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра прикладной математики

МАТЕМАТИКА

Программа, контрольные работы № 7,8 и методические указания для студентов - заочников инженерно-технических специальностей 2 курса

Составитель В.М.Волков

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 6 от 09. 04. 02 Рекомендованы к печати учебнометодической комиссией специальности 060400 Протокол № 5 от 20. 05.02

Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ

Кемерово 2002

Контрольные работы № 7,8 составлены в соответствии с программой курса высшей математики для студентов-заочников инженернотехнических специальностей. В составлении работ и методических указаний к ним принимали участие преподаватели: В.М.Волков, Е.А.Волкова, В.А.Гоголин, О.А.Зубанова, Э.Ф.Золотарёва, И.А.Ермакова, Л.Е.Мякишева, В.И.Немов, Е.В.Прейс, С.М.Швыдко.

Номера задач контрольных работ студент должен выбрать по таблице «Выбор номеров контрольных задач» следующим образом:

найти строку, соответствующую первой букве фамилии; найти столбец, соответствующий последней цифре шифра;

на пересечении найденных строки и столбца взять номера задач контрольных работ № 7,8.

Контрольные работы, выполненные не по своему варианту, возвращаются непроверенными.

ПРОГРАММА курса «Высшая математика» для инженерно-

технических специальностей (III семестр)

1. Неопределённый интеграл

1.1.Первообразная (неопределённый интеграл), её свойства. Таблица интегралов.

1.2.Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой.

1.3.Использование таблиц (справочников) неопределённых интегралов.

2.Определённый интеграл

2.1.Задачи, приводящиеся к понятию определённого интеграла.

2.2.Определённый интеграл как предел интегральных сумм.

2.3.Основные свойства определённого интеграла.

2.4.Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

2.5.Приложение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объёмов тел вращения.

															2
								Выбор номеров задач контрольных работ
																				6
		0			1			2			3			4			5						7			8		9
																			7 43 81
А,В,	1 37 75			2 38 76			3 39 77			4 40 78			5 41 79			6 42 80						8 44 82			9	45	83	10 46 84
Д	120 136			91 137			92 138			93 139			94 140			95 141			96 142			97 143			98 144			99 145
																			17 53 91
Б,Е,З	11 47 85			12 48 86			13 49 87			14 50 88			15 51 89			16 52 90						18 54 92			19 55 93			20 56 64
	100 146			101 147			102 148			103 149			104 150			105 121			106 122			107 123			108 124			109 125
																			27 33 71
Г,Ж,	21 57 65			22 58 66			23 59 67			24 30 68			25 31 69			26 32 70						28 34 72			29 35 73			30 36 74
И,Л	110 126			111 127			112 128			113 129			114 130			115 131			116 132			117 133			118 134			119 135
																			7	44	81
К	1	38	75	2	39	76	3	40	77	4	41	78	5	42	79	6	43	80				8	45	82	9	46	83	10 47 84
	120 136			91 137			92 138			93 139			94 140			95 141			96 142			97 143			98 144			99 145
																			17 54 61
М,Н,	11 49 85			12 48 86			13 50 87			14 51 88			15 52 89			16 53 90						18 55 62			19 56 63			20 57 64
О	100 146			101 147			102 148			103 149			104 150			105 121			106 122			107 123			108 124			109 125
																			27 32 71
П,Х,	21 58 65			22 59 66			23 60 67			24 60 68			25 39 69			26 31 70						28 33 72			29 34 73			30 35 74
Ц,Ш	110 126			117 127			112 128			113 129			114 130			115 131			116 132			117 133			118 134			119 135
																			7 43 81
С,У,	1 36 75			2 37 76			3 38 77			4 40 78			5 41 79			6 42 80						8 44 82			9	45	83	10 46 84
Ё,Ы,	91 136			92 137			93 138			94 139			95 140			96 141			97 142			120 143			98 144			99 145
Й																			27 32 71
Р,Т,	21 57 65			22 58 66			23 59 67			24 60 68			25 36 69			26 31 70						28 33 72			29 34 73			30 35 74
Ф	110 126			111 127			112 128			113 129			114 130			115 131			116 132			117 133			118 134			119 135
																			17 53 61
Ч,Щ,	11 47 85			12 48 86			13 49 87			14 50 88			15 51 89			16 52 90						18 54 62			19 55 63			20 56 64
Э,Ю,	100 146			101 147			102 148			103 149			104 121			105 122			106 123			107 124			108 125			109 125
Я

3. Криволинейные интегралы

3.1.Задачи, приводящиеся к криволинейным интегралам.

3.2.Определение криволинейных интегралов по длине дуги и по координатам, их основные свойства и вычисление.

3.3.Приложение интегралов к вычислению масс неоднородных линий и работы переменной силы.

4.Кратные интегралы

4.1.Задачи, приводящиеся к понятию двойного интеграла, его определение и свойства.

4.2.Вычисление двойных интегралов в декартовых и полярных координатах.

4.3.Применение двойных интегралов для вычисления площадей, решения задач механики и физики.

5. Обыкновенные дифференциальные уравнения

5.1.Задачи, приводящиеся к дифференциальным уравнениям. Основные определения.

5.2.Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

5.3.Интегрирование простейших типов дифференциальных уравнений: с разделяющимися переменными, однородных и линейных.

5.4.Дифференциальные уравнения второго порядка. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.

5.5.Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

5.6.Применение дифференциальных уравнений для решения задач физики и механики.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ

Контрольная работа №7

Для вычисления неопределённых интегралов № 1-30 необходимо проработать литературу: [1, гл.7, с. 285-312; 3, гл.5, с. 253-286; 6, гл.4,

с. 154-183; 7, гл.9, с. 225-286], где содержатся практические рекомендации по данной теме.

Для выполнения задания 1-30 (пункт а) нужно из таблицы интегралов выбрать такой, к которому можно свести данный интеграл.

Например, при вычислении

		dx	= ∫(5x	+ 2)	−	5
∫ 3	(	dx			−	3dx
∫ 3		5x + 2 5				3dx
		)
используем табличный интеграл
		∫undu = un+1		+ c .
			n + 1

Согласно этой формуле подводим под знак дифференциала основание степени. Так как d(5x + 2)= 5dx, то умножим и разделим интеграл на 5,

то есть

−

∫

(

5x + 2

5 = ∫(5x + 2)

3dx =

5 ∫

(5x + 2)

3 5dx = 5 ∫(5x + 2)

3d(5x + 2)=

)

−

= 1

(5x + 2) 3

+ c = −

(5x +

2)−

+ c = −

+ c .

−

+ 1

103 (5x +

Интеграл ∫x e3x 2 −1dx

сводится к

табличному ∫eudu = eu + c путём

подведения

под

знак

дифференциала

показателя

степени

3x2 − 1)= 6xdx. Таким образом

∫x e3x

−1dx =

∫e3x

−1

∫e3x

−1d(3x2

− 1)=

e3x

−1 + c .

6xdx =

В примере

∫ 3cosx dx

используем формулу

∫ du

= ln

+ c ,

где под

2 + sinx

знаком

дифференциала

находится

знаменатель

дроби.

Так как

2 + sinx)= cosxdx , то

d(2 + sinx)

3∫

cosxdx

= 3∫

= 3 ln

2 + sinx

+ c .

2 + sinx

При вычислении интегралов в пункте б) применяются методы подстановки и интегрирования по частям, то есть по формуле

∫udv = uv − ∫ vdu

мы от исходного интеграла

∫udv переходим к более

простому ∫ vdu .

Пример.

∫x arctgxdx = ∫arctgx xdx , то есть возьмём

u = arctgx du =

1 + x

dv = xdx v = ∫dv = ∫xdx =

(здесь при нахождении v константу c полагаем равной 0). Получим

∫x arctgxdx = ∫arctgx xdx =

arctgx −

∫x2

1 + x2

Возьмём

∫x2

отдельно

+ x2

∫x2

+ 1 − 1

∫

dx = ∫

1 −

dx = ∫dx

−

∫

= x − arctgx + c .

1 + x2

x2 +

1 + x2

Итак

∫x arctgxdx = x2 arctgx −

1 (x − arctgx)+ c .

Пример. Найти

∫x e−3xdx . Пусть

u = x du = dx,

−3x

d(− 3x)= −

dv = e

v =

∫e

dx = −

∫e

∫x e

−3x

−

−3x

xe−3x

∫e

−3x

dx =

= x

− ∫ −

dx = −

= −

xe−3x

−

e−3x

+ c .

Пример.

При

вычислении

интеграла

I = ∫ 2 +

x + 1 dx сделаем

x + 3

подстановку u =

x + 1 u2 = x + 1 x = u2 − 1 dx = 2udu,

x + 3 = u2 − 1 + 3 = u2 + 2 . Получим

2u + u2 du .

I = ∫

2 +

x + 1 dx = ∫

2 + u 2udu = 2∫

x + 3

u2 + 2

Дробь

2u + u2

неправильная (степень числителя не меньше степени

u2 + 2

знаменателя). Выделим целую часть

(u2 + 2)

− 2 + 2u

= 1 −

2 + 2

2u + u2

u2 + 2

u2 + 2 u

Итак I = 2∫

∫

2du

2udu

2u −

arctg

u2 + 2

du = 2 ∫du −

u2 +

∫

+ 2

+ 2 ln(u2 + 2)+ c = 2 x + 1 −

arctg

x + 1 + 2 ln x + 3 + c.

Здесь ∫du и ∫

табличные, а

u2 +

d(u2 + 2)

∫

2udu

= ∫

= ln(u2 + 2)+ c .

u2 + 2

Для нахождения площадей плоских фигур и объёмов тел вращения в задачах № 31-60 рекомендуется изучить литературу [1, гл.8, с. 340344, 347; 3, гл.6, с. 340-346; 4, гл.12, с. 416-418,426; 6, гл.5, с. 189,199; 7, гл.10, с. 269-271].

При вычислении интегралов в этих задачах и в дальнейшем можно пользоваться таблицей интегралов в справочниках [10, с. 841-851; 11, с. 114-156].

Пример. Найти площади частей, на которые круг x2 + y2 = 12 делится параболой y = x2 .

Сделаем схематический чертёж ( рис.1) и найдём точки пересечения этих линий

+ y

= 12

− y

− y2

= y

y = x

y2 + y − 12 = 0 y = − 1 ± 1 + 48

= − 1 ± 7

, y = 3.

В точке пересечения

x2 = 3 x1 = − 3, x2 =

Площадь меньшей

части

S1 =

− x2 dx −

− x2

6 arcsin

−

∫

∫ x2dx =

−

− 3

12 −

3 + 6 arcsin

−

12 − 3 − 6 arcsin

−

= 3 3 + 12

− 2 3

= 3 + 2π.

= x2

y = x

x2 + y2

=12

Рис.1

Рис.2

При вычислении интеграла ∫ 12 − x2 dx мы воспользовались справочником [10] (интеграл № 51) или [11] ( интеграл № 157).

Площадь большей части S2 = πr2 − S1 = π 12 − 3 − 2π = 10π − 3 .

Пример. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x sinx, 0 ≤ x ≤ π .

Сделаем схематический чертёж ( рис.2) и найдём точки пересечения

этих линий y = x

x − x

sinx = 0, x1 = 0, 1 −

sinx = 0, sinx = 1, x2 =

π .

y = x

sinx

V = V1 − V2 = π∫ y12dx

− π∫ y22dx =

π∫x2dx − π∫x2 sinxdx =

− 2xsinx +

(

− 2

− π

= π x

cosx

+ 2 ,

)

∫x2 sinxdx = 2xsinx −(x2 − 2)cosx.

При нахождении длины дуги в задачах № 31-60 и массы неоднородной линии в задачах № 61-90 следует помнить, что дифференциал длины дуги выражается различными формулами [1, гл.8, с. 347-352; 4,

гл.12, с. 432-436; 7, гл.10, с.270].

1. ds = 1 + (y′x )2 dx , если линия задана в декартовых координатах;

2. ds = (x′t )2 + (y′t )2 dt , если линия задана параметрически

x = x(t), y = y(t);

3. ds = r2 + (r′(θ))2 dθ, если линия задана в полярных координатах

r = r(θ).


Пример. Найти длину дуги кривой r = cos2 θ												,	0 ≤ θ ≤					π .
										θ	2				θ		1	2
Вычисляем ds = r2			+ (r′(θ))			2	dθ, rθ′		= 2cos	θ					θ		1	.
Вычисляем ds = r2			+ (r′(θ))				dθ, rθ′		= 2cos	2	− sin				2		2	.
										2					2		2
r2 + (r′(θ))	2	= cos4	θ	+ cos2	θ		sin2	θ	= cos2	θ				θ		+ sin2			θ	= cos2	θ	,
r2 + (r′(θ))		= cos4	2	+ cos2	2		sin2	2	= cos2	2	cos2			2		+ sin2				= cos2	2	,
			2		2			2		2				2					2		2

ds = cos2 θ2dθ = cos θ2 dθ,

S =

dθ =

2sin

= 2 .

∫cos

= 2 sin

− sin0 = 2

Пример. Найти массу участка линии

= a

(

)

t − sin t

≤ t ≤ 2π , если плотность γ = 3y .

(

)

= a

1 − cost

m = ∫ γ ds .

Найдём ds = (x′t )2 + (y′t )2

dt ,

x′t

= a(1 − cost),

y′t

= a sin t ,

ds =

a2 (1 − cost)2 + a2 sin2 t dt = a

1 − 2cost + cos2 t + sin2 t dt =

= a 2 − 2cost dt = a

2 2sin2 t dt = 2a sin t

dt .

2π

m =

∫ 3a(1 − cost) 2a sin

dt = 6a2

∫

2sin2

sin

dt = 12a2

∫ sin3

dt =

2π

= 12a

2 − 2cos

2 cos3

= 12a2

2 −

+ 2

−

= 32a2 .

∫sin3

взяли

по

справочнику

[10] (интеграл

№

106)

или [11]

(интеграл № 276).

При решении задач № 91-120 необходимо изучить криволинейные интегралы второго рода (по координатам) и их вычисление в зависимости от задания пути интегрирования [2, с. 82-89; 3, с. 472479; 5, с.217-226].

r	Пример.		r	Вычислить		работу,	совершаемую	силой
				r	при перемещении некоторой массы по дуге
F = (x2		− 2xy)i + (y2 − 2xy)j
параболы y = x2				от точки A(1,1) до точки B(-1,1).
	Составляем криволинейный интегралA =						∫ (x2 − 2xy)dx + (y2 − 2xy)dy .
Так как y = x2 , то y′ = 2x,							AB
					dy = 2xdx , и при движении массы из точки A

точку B x принимает значения от 1 до -1, которые и будут пределами интегрирования по одной переменной x . Следовательно, имеем

A =

∫ (x

− 2xy)dx + (y

− 2xy)dy =

− 2x

)

− 2x x

∫

)+ (x

2x dx =

−1

∫

(x2 − 2x3 + 2x5

− 4x4 )dx =

−

−1

Пример.

Вычислить

работу,

совершаемую

переменной

силой

F = −y2x i

+ x2y j при перемещении некоторой массы по дуге кривой,

заданной параметрически x = cost,

y =

sin t , от точки A до точки B с

соответствующими значениями параметра t1 = 0, t2

π .

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика