В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №7, 8 и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей 2 курса

31

r

x

r

y

r

104.

F =

i

+

j , l - отрезок прямой от точки A(1,1)

до точки

x3 + y3

x2 + y2

B(

2,2).

r

r

1

r

π

105.

F = cos2 xi

+

j

, l

- дуга линии y = tgx

от точки A

,1

до точки

y3

4

π

,

B

3

3 .

106.

r

r

r

,

l

- дуга кривой y = ex

от точки A(0,1)

до точки

F =

(x2 + y2 )i

+ xyj

B(1,e).

r

r

1

r

π

107.

F = sin3 xi +

j

, l

- дуга кривой y = ctgx от x = 0 до x =

.

y2

3

108.

r

r

r

,

l

- дуга линии y = ax

от точки A(0,1)

до точки

F =

(x3 − y2 )i

+ xyj

B(1,a).

109.

r

r

r

, l

- дуга кривой x = t2 , y = t

от точки A(1,1)

до точки

F = xyi + y

2 j

B(4,2).

110.

r

r

r

,

l

-

дуга кривой x = t,

y = t3 от точки

A(

0,0)

до

F = x2yi

+ y2xj

точки B(1,1).

r

111.

r

r

,

l - дуга окружности x = R cost,

y = R sin t ,

от

F =

(x + y)i

+ (x − y)j

точки A(R,0)

до точки B(0,R).

112.

r

r

r

,

l

- дуга эллипса x = a cost,

y = bsin t , от точки A(a,0)

F = y2 i + xyj

до точки B(0,b).

113.

r

r

r

, l

- дуга астроиды x = cos3 t,

y = sin3 t , от точки A(1,0)

до

F = yi − xj

точки B(0,1).

114.

r

r

r

,

l

- первая арка циклоиды x = a(t − sin t),

y = a(1 − cost),

F = yi + xj

от точки A(0,0)

до точки B(2πa,0).

115.

r

r

r

l

- отрезок прямой от точки A(1,1)

до точки

F =

(x3 − y2 )i

+ yj ,

B(4,4).

116.

r

r

r

, l

- контур, ограниченный параболами y = x2 ,

y2 = x ,

F = x2yi

+ x3 j

32

117.

r

r

l

-

дуга кривой

x = cost,

y =

sin t ,

от точки

F = −y2xi + x2yj ,

A(1,0) до точки B(0,1).

118.

r r

r

l

-

дуга кривой

y = 2x − x2 ,

расположенная над

F = yi

− (y + x2 )j ,

осью Ox и пробегаемая по ходу часовой стрелки.

119.

r

r

+ (2xy

r

от точки A(1,1)

F = (x2

− 2xy)i

+ y2 )j , l - дуга параболы y = x2

до точки B(2,4).

120.

r

r

r

l -

верхняя половина эллипса x = a cost,

y = b sin t ,

F = y2 i

+ x2 j ,

1

,y ≤

a)∫∫y ln xdxdy,D = y ≥

x

x,Mx ≤ 2 .

121.

D

cos x2 + y2

π2

б)∫∫

≤ x2

+ y2 ≤ 4π2

dxdy,D =

4

.

D

x2 + y2

a)∫∫sin(x + y)dxdy,D

π

= x ≥ 0,y ≤

2

,y ≥ x .

122.

D

б)∫∫

25 − x2 − y2 dxdy,D ={x2

+ y2

≤ 9}.

123.

D

б)∫∫

1

dxdy,D ={x2 + y2 ≤16}.

D

25 − x2 − y2

124.

a)∫∫(x − y)dxdy,D ={y ≥ 2x −1,y ≤ 2 − x2 }.

б)∫∫D (x2 + y2 ) dxdy,D ={1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.

D

33

125.

a)∫∫(3x + y)dxdy,D ={x2

+ y2 ≤ 9,y ≥ x + 3}.

б)∫∫D (x4 + 2x2y2 + y4 ) dxdy,D ={1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.

126.

a)∫∫D (2x − y)dxdy,D ={y ≤ x2 ,y ≥ x,x ≤ 2}.

б)∫∫D (x6

+ 3x4y2 + 3x2y4 + y6 ) dxdy,D ={x2 + y2 ≤ 4}.

a)∫∫D (x − y)dxdy,D ={y ≥ x,y ≤ x3 ,x ≤ 3}.

127.

D

dxdy,D ={1 ≤ x2

3x}.

б)∫∫

1

+ y2 ≤ 4,x ≤ y ≤

D

9 − x2 − y2

a)∫∫xdxdy,D ={xy ≥ 6,x + y ≤ 7}.

128.

D

б)∫∫(x2

+ y2 )2 dxdy,D ={x2

+ y2

≤1}.

D

129.

a)∫∫xy2dxdy,D ={x + y ≥ 2,x2 + y2 ≤ 4}.

б)∫∫D (x2 + y2 )5 dxdy,D ={x2 + y2 ≤1}.

D

a)∫∫x4ydxdy,D ={xy ≥1,y − x ≤ 0,x ≤ 2}.

130.

D

dxdy,D ={x2 + y2 ≤1}.

б)∫∫

1 − x2 − y2

a)∫∫D (x + y)dxdy,D = {0 ≤ y ≤ π,0 ≤ x ≤ sin y}.

131.

D

dxdy,D = {π ≤ x2 + y2 ≤ 4π}.

∫∫

sin

x2 + y2

б)

D

a)∫∫

(xy2

≤ y ≤

x

132.

+1)dxdy,D = x

.

D

2

2

б)∫∫

R2

− x2 − y2 dxdy,D ={x2

+ y2 ≤ R2 ,x ≤ y ≤

3x}.

D

a)∫∫ex+ydxdy,D ={y ≥ ex ,x ≥ 0,y ≤ 2}.

133.

D

+ y2 dxdy,D ={x2

+ y2 ≤ a2 ,x ≥ 0,y ≥ 0}.

б)∫∫

x2

D

a)∫∫

(x +

x

2y)dxdy,D = y ≥

2

−1,y ≤ 4x + 6,Mx ≤ −1 .

134.

D

б)∫∫ln

2x2 +2y2

dxdy,D ={e2 ≤ x2

+ y2 ≤ e4 }.

D

x

+ y

35

≤ x ≤

π

a)∫∫xydxdy,D = y ≥ sin x,0

2

,y ≤ 3 .

144.

D

б)∫∫

R2 − x2 − y2

dxdy,D ={x2

+ y2 ≤ R2 ,y ≥ 0}.

a)∫∫D (2x + y)dxdy,D ={y ≥ x,1 ≤ x ≤ 3,y ≤ x + 5}.

145.

D

1 − x2 − y2 dxdy,D ={x2 + y2

≤1,x ≥ 0,y ≥ 0}.

б)∫∫

D

a)∫∫(x + y2 )dxdy,D ={y ≥ x3 ,y ≥ −x,y ≤1}.

146.

D

б)∫∫(x2 + y2 )4 dxdy,D ={x2

+ y2

≤1,y ≥ 0}.

D

a)∫∫xdxdy,D ={0 ≥ x ≤ 4,0 ≤ y ≤ 2x }.

147.

D

б)∫∫(x2 + y2 )5 dxdy,D ={x2

+ y2

≤1,y ≥ 0}.

D

y2

∫∫D

a)

x

dxdy,D ={y ≥ x,0

≤ x ≤ 5,y ≤ 3x}.

148.

∫∫

4 − x2 − y2 dxdy,D = {x2 + y2

≤ 4,y ≥ 0}.

б)

a)∫∫D (x + y)dxdy,D ={y ≤ ln x,x ≤ e,y ≥ 0}.

149.

D

б)∫∫

1

dxdy,D ={x2

+ y2

≤16,x ≥ 0,y ≥ 0}.

D

25 − x2 − y2

a)∫∫

≥

1

x

2

,y

≤

x

(x + 2y)dxdy,D = y

8

.

150.

D

б)∫∫(x2 + y2 )3 dxdy,D ={x2

+ y2

≤ 4,y ≥ 0}.

1.

y

− x = 0 .

16.

y2 + x2 y′ = xyy′.

y′ + x

2.

(x2 + y2 )dy = 2xydx .

17.

y′ −

1 − 2x

y = 1.

x2

61.

y′′ + 9y = cos3x, y(

0)= 2, y′(0)= 3.

62.

y′′ − 6y′ + 9y = 2e3x ,

y(0)= 1,

y′(0)= 0.

63.

y′′ − 2y′ + y = xex ,

y(0)= 5,

y′(0)= 3 .

38

64.

y′′ + y′ = x2 − 5,

y(0)= 0,

y′(0)= 2.

65.

y′′ + 4y′ + 29y = x2 − x,

y(0)= 5,

y′(0)= 0 .

66.

y′′ + 3y′ + 2y = 3e−x ,

y(0)= 1,

y′(0)= 4 .

67.

y′′ + 2y′ = x2 + 3x + 4,

y(0)= −1,

y′(0)= 4 .

68.

y′′ − y′ − 6y = −2e3x ,

y(0)= −3,

y′(0)= 1.

69.

y′′ + y′ − 2y = (x − 2)ex ,

y(0)= 3,

y′(0)= 0 .

70.

y′′ + y = 6cos2x − sin 2x,

y(π)= 1,

y′(π)= 1.

71.

y′′ − 4y′ + 13y = sin 3x,

y(0)

= 5

,

y′(0)

= 1 .

7

7

72.

2y′′ + 5y′ = 30x2 − 4,

y(0)= 4,

y′(0)=

5 .

73.

y′′ − y′ = e2x ,

y(0)= −3,

y′(0)= 1.

2

74.

y′′ + 2y′ + 5y = x2 − 3x,

y(0)= 4,

y′(0)= −2.

75.

y′′ − 3y′ = −3e3x ,

y(0)= −1,

y′(0)= 6.

76.

y′′ + 4y′ + 4y = 15e3x ,

y(0)= 1,

y′(0)= 3 .

77.

y′′ + y′ − 2y = 2ex ,

y(

0)= 4,

y′(0)= 1.

78.

y′′ − 5y′ + 6y = −3e−x ,

y(0)= 4,

y′(0)= 0 .

79.

4y′′ + 4y′ + y = x2 + x − 1,

y(0)= 5,

y′(

0)= 0,5 .

80.

y′′ + 2y′ + 2y = 2e2x ,

y(π)= −3,

y′(π)= 4 .

81.

y′′ − 2y′ − 3y = 8e3x ,

y(0)= 1,

y′(

0)= −2.

82.

y′′ − 4y = 4x2 + x − 8,

y(0)= 3,

y′(0)= 1.

83.

y′′ − y = 6ex ,

y(0)= 1,

y′(0)= −3 .

84.

y′′ + 5y′ + 6y = 10e2x ,

y(0)= 5,

y′(0)= −2.

85.

y′′ − 8y′ + 7y = 6xex ,

y(0)= 1,

y′(0)= 7.

86.

y′′ − 6y′ + 13y = x2 − x,

y(0)= −2,

y′(0)= 0 .

87.

y′′ − y = 8e3x ,

y(0)= 3,

y′(0)= −2.

88.

y′′ − 2y′ = 6x2 − 3,

y(

0)= 3,

y′(0)= −4 .

89.

y′′ + 4y = x2 − x + 1,

π

=

1,

y′(π)= 4 .

y

2