В.М. Волков Математика. Программа, контрольные задания и методические указания для студентов заочного факультета специальности 061000 - Государственное и муниципальное управление
.pdf20
Продолжение табл. 6.1
22 |
2,2 |
16,3 |
5,17 |
144 |
3,86 |
2,52 |
31 |
77,2 |
23 |
1,3 |
17,49 |
4,78 |
145 |
3,55 |
2,33 |
28 |
70,5 |
24 |
2,5 |
14,25 |
5,51 |
168 |
3,12 |
2,00 |
27 |
78,4 |
25 |
2 |
13,1 |
5,01 |
151 |
3,19 |
2,11 |
50 |
65,2 |
26 |
2 |
15,6 |
5,82 |
162 |
3,81 |
2,48 |
28 |
77,6 |
27 |
1,8 |
16,14 |
6,32 |
184 |
3,92 |
2,70 |
29 |
78,1 |
28 |
2,7 |
13,71 |
4,62 |
129 |
3,95 |
2,57 |
35 |
72 |
29 |
2,3 |
16,4 |
4,35 |
138 |
3,98 |
2,90 |
33 |
70,4 |
30 |
2,6 |
13,98 |
5,28 |
158 |
4,28 |
2,77 |
33 |
74,3 |
31 |
2,1 |
17,4 |
4,53 |
127 |
3,61 |
1,80 |
39 |
65,2 |
32 |
2,4 |
14,52 |
5,08 |
132 |
4,03 |
2,30 |
34 |
74,6 |
33 |
2,7 |
13,71 |
4,85 |
147 |
3,86 |
2,52 |
30 |
76 |
34 |
1,8 |
19,5 |
6,73 |
187 |
3,79 |
2,47 |
29 |
72,1 |
35 |
2,1 |
15,33 |
4,76 |
133 |
3,43 |
2,26 |
29 |
78,3 |
36 |
2,2 |
16,8 |
6,11 |
182 |
3,98 |
2,59 |
27 |
84,7 |
37 |
2,7 |
13,71 |
5,82 |
156 |
4,14 |
2,68 |
29 |
79,2 |
38 |
2,5 |
14,25 |
5,29 |
139 |
4,16 |
2,69 |
31 |
70,7 |
39 |
2,3 |
14,79 |
6,26 |
174 |
3,91 |
2,80 |
41 |
60,7 |
40 |
2,7 |
13,71 |
4,6 |
124 |
3,74 |
2,45 |
28 |
77,6 |
41 |
2,4 |
14,52 |
5,53 |
154 |
4,25 |
2,75 |
25 |
80 |
42 |
2 |
14,5 |
5,59 |
168 |
4,08 |
2,65 |
43 |
68,6 |
43 |
2,6 |
13,98 |
5,13 |
143 |
4,41 |
2,85 |
36 |
71,2 |
44 |
3 |
11,4 |
6,09 |
179 |
4,33 |
2,80 |
34 |
72,8 |
45 |
2,3 |
14,79 |
6,67 |
203 |
3,93 |
2,56 |
30 |
76 |
46 |
2 |
15,6 |
5,22 |
146 |
3,58 |
2,35 |
33 |
73,6 |
47 |
2,2 |
15,06 |
5,77 |
161 |
3,87 |
2,52 |
35 |
72 |
48 |
2,2 |
15,06 |
5,61 |
160 |
3,68 |
2,60 |
26 |
79,2 |
49 |
2,7 |
13,71 |
5,23 |
146 |
4,23 |
3,10 |
34 |
72,8 |
50 |
2,2 |
15,06 |
6,15 |
171 |
3,66 |
2,39 |
35 |
74,2 |
Пример.
Выполнить статистическую обработку данных (табл. 6.2), где случайные величины: Y – производительность труда рабочих, Х – стаж работы.
21
Таблица 6.2
Х |
Y |
Х |
Y |
Х |
Y |
Х |
Y |
Х |
Y |
8 |
1,9 |
14 |
2,3 |
9 |
1,9 |
12 |
2,3 |
19 |
2,5 |
11 |
2,3 |
2 |
1,4 |
9 |
1,9 |
10 |
1,9 |
13 |
2,1 |
5 |
1,6 |
11 |
2,2 |
13 |
2,1 |
16 |
2,5 |
12 |
2,3 |
8 |
2,0 |
6 |
1,7 |
16 |
2,5 |
5 |
1,3 |
15 |
2,4 |
12 |
2,3 |
10 |
1,9 |
8 |
1,8 |
9 |
2,0 |
16 |
2,6 |
1 |
1,3 |
10 |
2,0 |
11 |
2,2 |
7 |
1,7 |
11 |
2,1 |
9 |
2,0 |
12 |
2,2 |
17 |
2,8 |
6 |
2,0 |
12 |
2,2 |
8 |
1,8 |
18 |
2,6 |
9 |
1,8 |
11 |
2,3 |
8 |
1,5 |
10 |
1,8 |
8 |
1,9 |
6 |
1,5 |
11 |
2,8 |
7 |
1,6 |
13 |
2,2 |
13 |
2,1 |
10 |
1,9 |
12 |
1,3 |
12 |
2,1 |
Задание 1. Для построения интервального вариационного ряда найдем по формуле Стерджеса оптимальную ширину интервала (шаг):
h = xmax − xmin ,
1 + 3,2lg n
где xmax , xmin – соответственно наибольшее и наименьшее значения признака Х; n - объем выборки. Из табл. 6.2 находим xmax =19;
xmin =1; n = 50. Тогда h = |
|
|
19 −1 |
|
= |
18 |
≈ 3. |
||
1 |
+ 3,2 lg 50 |
6,44 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
Определим |
границы |
|
|
интервалов |
[l0 ,l1),[l1,l2 ),...,[lk −1,lk ], где |
||||
l0 = xmin =1; |
l1 = l0 + h =1 + 3 = 4;..., lk |
= lk −1 + h и так до тех пор, пока |
xmax =19 не попадет в последний интервал. Составим интервальный вариационный ряд (табл.6. 3).
|
|
|
|
Таблица 6.3 |
|
№ |
Интервалы |
Частота mi |
Относительная |
Накопленная |
|
относительная |
|||||
частота pi |
|||||
|
|
|
частота Fi |
||
|
|
|
|
||
1 |
1–4 |
2 |
0,04 |
0,04 |
|
2 |
4–7 |
5 |
0,10 |
0,14 |
|
3 |
7–10 |
14 |
0,28 |
0,42 |
|
4 |
10–13 |
18 |
0,36 |
0,78 |
|
5 |
13–16 |
5 |
0,10 |
0,88 |
|
6 |
16–19 |
6 |
0,12 |
1,00 |
|
|
|
50 |
1 |
|
22
Частота mi - число значений признака Х, попадающих в i − й интервал [li−1,li ) (столбец 3). При этом сумма частот должна равняться
объему выборки: ∑mi = n.
i
Относительная частота pi = mni попадания в i −й интервал служит
оценкой вероятности того, что признак Х примет значение, принадлежащее i − му интервалу (столбец 4). Их сумма должна быть равна еди-
нице: ∑pi =1.
i
Накопленная относительная частота Fi (столбец 5) определяется как сумма относительных частот i-го и всех предшествующих ему интервалов.
Рассчитаем числовые характеристики интервального ряда.
n
Выборочное среднее равно: x = i∑=1xi = 521 =10,42 . n 50
|
|
n |
|
|
|
|
|
Sx2 = |
∑(xi − x)2 |
|
694,18 |
|
|
Выборочная дисперсия |
i =1 |
= |
|
≈13,88. |
||
n |
|
|||||
|
|
50 |
|
|
||
Выборочное среднее квадратическое отклонение |
|
|||||
Sx |
= Sx2 = 13,88 ≈ 3,73. |
|
По данным интервального ряда (табл. 6.3) построим гистограмму (рис.6.1). По горизонтальной оси откладываем границы интервалов величины X, по вертикальной оси – соответствующие интервалам частоты.
mi |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
4 |
7 |
10 |
13 |
16 |
19 |
X |
Рис.6.1. Гистограмма стажа работы работников |
23
Задание 2. По виду гистограммы предполагаем, что производительность труда Х распределена по нормальному закону. Кроме того, проверим, удовлетворяют ли выборочные числовые характеристики особенностям этого распределения. Имеем, во-первых:
|
xmax + xmin |
= |
19 +1 |
=10, что близко к x =10,42 ; |
||||||||
|
|
|
2 |
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и, во-вторых: |
xmax − xmin |
= |
19 −1 |
= 3 близко к Sx ≈ 3,73, |
||||||||
|
|
6 |
|
|||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
что не противоречит сделанному предположению о характере распределения. Функция плотности вероятности нормального распределения имеет два параметра, a и σ , которые оценены как a = x ≈10,42, σ = Sx ≈ 3,73.
Итак, функция плотности вероятности теоретического закона распределения имеет вид
|
1 |
− |
( x −10,42)2 |
|
|
|
2(3,73) |
2 |
|
||
|
|
|
|||
f (x) = |
3,73 2π e |
|
|
|
. |
Для проверки согласованности теоретического и наблюдаемого распределений рассчитаем теоретические частоты, округляя их значения до целых. Результаты вычислений приведены в табл. 6.4.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.4 |
|
|
|
|
|
xi − x |
|
f (ti ) |
mT |
= n h f (t |
) |
|
|
№ |
x |
i |
ti = |
|
|
i |
i |
|
mi |
|
|
σ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
2,5 |
-2,12 |
|
0,0131 |
|
2 |
|
2 |
|
||
2 |
5,5 |
-1,32 |
|
0,0447 |
|
7 |
|
5 |
|
||
3 |
8,5 |
-0,51 |
|
0,0939 |
|
14 |
|
14 |
|
||
4 |
11,5 |
0,29 |
|
0,1025 |
|
15 |
|
18 |
|
||
5 |
14,5 |
1,09 |
|
0,0591 |
|
9 |
|
5 |
|
||
6 |
17,5 |
1,90 |
|
0,0176 |
|
3 |
|
6 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
50 |
|
Построим на одном рисунке полигоны наблюдаемых и теоретических частот производительности труда.
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
miT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2,5 |
5 |
7,5 |
10 |
12,5 |
15 |
17,5 |
X |
|
Рис.6.2. |
Полигон наблюдаемых и теоретических частот |
: |
|||||||||
Рис. |
|
||||||||||
|
|
|
|
- полигон наблюдаемых частот |
|
|
|||||
|
|
|
|
- полигон теоретических частот |
|
|
Между теоретическими и наблюдаемыми частотами есть расхождение, которое можно объяснить либо случайными причинами (например недостаточным числом наблюдений), либо тем, что сделан неверный выбор закона распределения. Проверим это с помощью крите-
|
r |
(m |
−mT )2 |
|
рияχ2 |
Пирсона: χ2расч. = ∑ |
i |
i |
. |
|
|
|||
|
i =1 |
|
miT |
Результаты расчетов приведены в табл. 6.5.
Таблица 6.5
|
|
|
|
|
|
|
|
(m |
−mT )2 |
|
№ |
mi |
mT |
m |
−mT |
(m |
−mT )2 |
|
i |
i |
|
|
|
mT |
||||||||
|
|
i |
i |
i |
i |
i |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
1 |
2 |
2 |
|
2 |
|
4 |
|
|
0,57 |
|
2 |
9 |
7 |
|
|
|
|
|
|||
|
7 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
14 |
14 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
4 |
15 |
18 |
|
–3 |
|
9 |
|
|
0,5 |
|
5 |
9 |
5 |
|
1 |
|
1 |
|
|
0,09 |
|
6 |
12 |
11 |
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
50 |
|
|
|
|
χ2расч =1,16 |
Замечание. Для обеспечения большей обоснованности выводов интервалы с частотой объектов m i < 5 лучше объединить с соседними интервалами.
25
По прил. 5 из [4] "Критические точки распределения χ2 " определим предельно возможную величину расхождений χкрит2 . (α,k) в зави-
симости от заданного уровня значимости α и числа степеней свободы, k = r − s −1, где r - число интервалов после объединения, s – число параметров распределения. В нашем случае α = 0,05, r = 4, s = 2, т.е.
k = 4 − 2 −1 =1. Так как χкрит2 . (0,05;1) = 3,8 и χ2расч. =1,16 < 3,8 = χкрит2 . ,
то различие между теоретическими и наблюдаемыми частотами незначимо. Следовательно, теоретический закон распределения согласуется с опытными данными.
Вывод: стаж работы рабочих распределен по нормальному закону с функцией плотности вероятности f (x).
Задание 3. Исследование линейной корреляционной зависимости двух случайных признаков.
Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Y – производительностью труда рабочих и Х – стажем работы по данным, приведенным в табл. 6.2. Составить выборочное уравнение прямой линии регрессии y на x и построить ее.
Решение. Выборочный коэффициент линейной корреляции рас-
считывают по формуле |
|
|
|
− x y |
|
r |
= |
|
xy |
, |
|
|
|
|
|||
в |
σxσ y |
|
|||
|
|
|
|
где x , y , xy - средние значения для x, y, xy ; σx ,σ y - выборочные сред-
ние квадратические отклонения. Выборочное уравнение прямой линии регрессии у на x имеет вид
y − y = rв σ y ( x − x ).
σx
Найдем составляющие для вычисления коэффициента корреляции.
|
|
|
∑ y j |
101,5 |
|
|
|
|
∑xi |
|
|
521 |
|
|
||||||||||||
|
y = |
|
j |
|
|
= |
= 2,03; |
x = |
|
i |
= |
=10,42; |
||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
50 |
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
∑ y2j |
|
|
212,5 |
|
|
|
|
∑xi2 |
|
6124,3 |
|
||||||||||
|
y2 = |
|
|
j |
|
|
|
= |
≈ 4,25; |
x2 = |
|
i |
|
= |
=122,48; |
|||||||||||
|
|
|
|
n |
|
n |
|
50 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
σ y = |
|
|
|
y2 − y2 = |
|
4,25 − 2,032 |
≈ 0,37; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
σx = |
x2 − x 2 = 122,48 −10,422 |
≈ 3,73; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
∑x y |
i |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= |
|
i |
|
= |
1077,53 |
|
≈ 21,55. |
|
|
|
|
|||
|
xy |
|
|
|
|
|||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
r = |
21,55 −10,42 2,03 |
≈ 0,82. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
в |
3,73 0,13 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Затем определим коэффициент регрессии |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
y x |
= r |
σ y |
= 0,82 |
0,37 |
|
≈ 0,08 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в σx |
3,73 |
|
|
|||
и запишем уравнение прямой линии регрессии: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
y − 2,03 = 0,08(x −10,42) |
|
|
|
|
||||||||
или |
y = 0,08x +1,19. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
График линии регрессии показан на рис.6.3. |
|
y |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x |
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
Рис.6.3. Теоретическая линия регрессии
Список рекомендуемой литературы
1.Курс лекций по высшей математике: Учеб. пособие. Ч.1 / В.М.Волков и др.; Кузбас. гос. техн. ун-т. - Кемерово, 1998. – 102 с.
2.Курс лекций по высшей математике: Учеб. пособие. Ч.2 /
В.М.Волков и др.; Кузбас. гос. техн. ун-т. - Кемерово, 1998. – 90 с. 3. Алексеевская Г.В. Теория вероятностей: Учеб. пособие /
Г.В. Алексеевская, Н.А. Иванова, Л.А. Голубева; Кузбас. гос. техн. ун-
т. – Кемерово, 1998. – 64 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая стати-
стика.- М.: Высш. шк., 1989. – 368 с.
27
|
|
|
Таблица значений функции Ф(x) |
Приложение |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
0,00 |
0,0000 |
0,32 |
0,1255 |
0,64 |
0,2389 |
0,96 |
0,3315 |
|
0,02 |
0,0080 |
0,34 |
0,1331 |
0,66 |
0,2454 |
0,98 |
0,3365 |
|
0,04 |
0,0160 |
0,36 |
0,1406 |
0,68 |
0,2517 |
1,00 |
0,3413 |
|
0,06 |
0,0239 |
0,38 |
0,1480 |
0,70 |
0,2580 |
1,02 |
0,3461 |
|
0,08 |
0,0319 |
0,40 |
0,1554 |
0,72 |
0,2642 |
1,04 |
0,3508 |
|
0,10 |
0,0398 |
0,42 |
0,1628 |
0,74 |
0,2703 |
1,06 |
0,3554 |
|
0,12 |
0,0478 |
0,44 |
0,1700 |
0,76 |
0,2764 |
1,08 |
0,3599 |
|
0,14 |
0,0557 |
0,46 |
0,1772 |
0,78 |
0,2823 |
1,10 |
0,3643 |
|
0,16 |
0,0636 |
0,48 |
0,1844 |
0,80 |
0,2881 |
1,12 |
0,3686 |
|
0,18 |
0,0714 |
0,50 |
0,1915 |
0,82 |
0,2939 |
1,14 |
0,3729 |
|
0,20 |
0,0793 |
0,52 |
0,1985 |
0,84 |
0,2995 |
1,16 |
0,3770 |
|
0,22 |
0,0871 |
0,54 |
0,2054 |
0,86 |
0,3051 |
1,18 |
0,3810 |
|
0,24 |
0,0948 |
0,56 |
0,2123 |
0,88 |
0,3106 |
1,20 |
0,3849 |
|
0,26 |
0,1026 |
0,58 |
0,2190 |
0,90 |
0,3159 |
1,22 |
0,3883 |
|
0,28 |
0,1103 |
0,60 |
0,2257 |
0,92 |
0,3212 |
1,24 |
0,3925 |
|
0,30 |
0,1179 |
0,62 |
0,2324 |
0,94 |
0,3264 |
1,26 |
0,3962 |
|
|
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
|
1,30 |
0,4032 |
1,63 |
0,4484 |
1,96 |
0,4750 |
2,58 |
0,4951 |
|
1,32 |
0,4066 |
1,65 |
0,4505 |
1,98 |
0,4761 |
2,62 |
0,4956 |
|
1,34 |
0,4099 |
1,67 |
0,4525 |
2,00 |
0,4772 |
2,66 |
0,4961 |
|
1,36 |
0,4131 |
1,69 |
0,4545 |
2,04 |
0,4793 |
2,70 |
0,4965 |
|
1,38 |
0,4162 |
1,71 |
0,4564 |
2,08 |
0,4812 |
2,74 |
0,4969 |
|
1,40 |
0,4192 |
1,73 |
0,4582 |
2,12 |
0,4830 |
2,78 |
0,4973 |
|
1,42 |
0,4222 |
1,75 |
0,4599 |
2,16 |
0,4846 |
2,82 |
0,4976 |
|
1,44 |
0,4251 |
1,77 |
0,4616 |
2,20 |
0,4861 |
2,86 |
0,4979 |
|
1,46 |
0,4279 |
1,79 |
0,4633 |
2,24 |
0,4875 |
2,90 |
0,4981 |
|
1,48 |
0,4306 |
1,81 |
0,4649 |
2,28 |
0,4887 |
2,94 |
0,4984 |
|
1,50 |
0,4332 |
1,83 |
0,4664 |
2,32 |
0,4898 |
2,98 |
0,4986 |
|
1,52 |
0,4357 |
1,85 |
0,4678 |
2,36 |
0,4909 |
3,20 |
0,49931 |
|
1,54 |
0,4382 |
1,87 |
0,4693 |
2,40 |
0,4918 |
3,60 |
0,499841 |
|
1,56 |
0,4406 |
1,89 |
0,4706 |
2,44 |
0,4927 |
4,00 |
0,499969 |
|
1,58 |
0,4429 |
1,91 |
0,4719 |
2,48 |
0,4934 |
5,00 |
0,499997 |
|
1,60 |
0,4452 |
1,93 |
0,4732 |
2,52 |
0,4941 |
|
|
Примечания к таблице:
1) Ф(-x)= -Ф(x); 2) Ф(х)=0,5 при |х| > 5.
28
Составители
Владимир Матвеевич Волков Екатерина Анатольевна Волкова Вячеслав Анатольевич Гоголин Евгений НиколаевичГрибанов Инна Алексеевна Ермакова
Александр Иванович Закамалдин
МАТЕМАТИКА
Программа, контрольные задания и методические указания для студентов заочного факультета специальности
061000 «Государственное и муниципальное управление»
Редактор Е.Л. Наркевич
ЛР № 020313 от 23.12.96
Подписано в печать 29.08.01. Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Уч.-изд. Л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ
Кузбасский государственный технический университет. 650026, Кемерово, ул. Весенняя, 28.
Типография Кузбасского государственного технического университета. 650099, Кемерово, ул. Д. Бедного, 4а.