В.М. Волков Математика. Программа, контрольные задания и методические указания для студентов заочного факультета специальности 061000 - Государственное и муниципальное управление
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
б) у = |
х2 + 2 |
. |
|
|
|
|
||||
3 − х |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Область определения функции (-∞;3) (3;+∞). |
||||||||||
lim |
x2 + 2 |
|
= lim |
|
x2 |
= m∞. |
||||
|
3 − x |
|
|
|||||||
x→±∞ |
|
|
x→±∞ − x |
|
||||||
В точке x=3 функция терпит разрыв. |
||||||||||
lim |
|
x2 + 2 |
|
11 |
|
|
||||
|
|
|
|
= |
|
= m∞, то есть разрыв 2-го рода и x=3 – урав- |
||||
|
|
3 − x |
|
|||||||
x→3±0 |
|
|
m0 |
|
|
нение вертикальной асимптоты. Находим наклонные асимптоты:
k = |
lim |
|
|
x2 |
+ 2 |
|
|
= lim |
x2 |
+ 2 |
|
|
∞ |
|
|
lim |
|
x |
2 |
|
= −1, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x→∞ (3 − x)x |
|
x→∞ 3x − x2 |
|
|
∞ |
|
|
x→∞ − x2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x2 |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+3x |
|
|
|
|
3x |
|
|
||||
b = |
lim |
|
|
|
|
−(−1) x = lim |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
= −3. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
3 − x |
|
|
|
|
x→∞ |
3 − x |
|
|
x→∞ − x |
|
|
|||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
y = - x -3 |
– уравнение наклонной асимптоты. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Исследуем функцию на экстремум: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x2 + 2 |
′ |
|
2 +6x − x2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = |
− x |
= |
|
|
2 = 0, |
2 + 6x –x = 0 |
||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
(3 − x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1≈ - 0,3 ; x2 ≈ 6,3 – критические точки на экстремум.
y′ |
– |
• |
+ |
ο |
+ |
• |
– |
|
|
|
|
|
|||
y |
убыв. |
- 0,3 |
возр. |
3 |
возр. |
6,3 |
убыв. |
ymin(-0,3)≈ 0,6; ymax(6,3)≈ - 12,6.
(исследование графика данной функции на выпуклость и вогнутость можно не проводить).
Составляем таблицу характерных значений функции и строим ее график с учетом асимптот.
x |
- ∞ |
- 0,3 |
3-0 |
3+0 |
6,3 |
+∞ |
y |
+∞ |
0,6 |
+∞ |
- ∞ |
- 12,6 |
- ∞ |
11
y
•
-3 |
3 |
x |
|
|
•
Контрольная работа № 3 Функции нескольких переменных
1.Найдите частные производные второго порядка функции z [2, c.48-52].
а) z = (−1)n mx3 ym−n +(n −2m)x2n−m y3 + nxy, б) z = mxn−5 +nym + х.
Пример:
z = 2x3/y + 4x2y3 + x – 1.
z'x |
= |
y = const |
= 2 3x2 / y + 4 2xy3 = 6x2 / y +8xy3 +1, |
z'y |
= |
x = const |
= −2x3 y−2 + 4x2 3y2 , |
z'xx' =( 6x2 / y +8xy3 +1)'x =12x / y +8y3 , |
|||
z 'yy' |
= ( − 2 x 3 y − 2 + 12 x 2 y 2 )'y = − 2 x 3 ( − 2 ) y − 3 + 12 x 2 2 y = |
= 4 x 3 / y 3 + 24 x 2 y ,
z'xy' = z'yx' =( z'x )'y =( 6x2 y−1 +8xy3 +1)'y = −6x2 y−2 + 24xy2 .
2.Найдите экстремумы функций [2, c.57-59].
а) z = (−1)m nx2 +(−1)m my2 + 4nx −2my + n,
б) z = (−1)n mx2 +(−1)m ny2 −2mnxy + m.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
Пример: z = 3x2 + y2 +12x −2 y + 2. |
|||||||||
мум: |
Находим частные производные и критические точки на экстре- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
' |
= 6x +12y |
|
6x +12 = 0 |
|
x = −2 |
|
|||||
zx |
, |
, |
- критическая точка. |
||||||||
|
' |
= 2y − |
2 |
|
2 y −2 = 0 |
|
y |
=1. |
|||
z |
y |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Находим вторые частные производные и их значения в критиче- |
|||||||||
ской точке: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z'xx' = 6 = A,z'yy' |
= 2 = C,z'xy' = 0 = B. |
|
|
Вычисляем значение ∆ =AC –B2 = 12.
Так как ∆>0, то в критической точке существует экстремум. С учетом того, что А, В>0, то это минимум.
Вычисляем значение минимума функции zmin = −11.
Нетрудно проверить, что функция z = 3x2 − y2 +12x −2 y + 2 не имеет экстремумов, т.к. в этом случае ∆ < 0.
3.Найдите градиент и производную по направлению вектора аr функции z в точке М .
z = (m −2n)x2 y +(n −2m)xy2 +(n −m)xy + m, ar ={m −4, n −3}, M (5 −m, n −6).
Пример: z = 3x2 y − 2xy2 + 3xy +1, ar = {−1;2}, M (−3;1).
Находим частные производные и их значения в точке М:
z'x = 6xy −2 y2 +3y, z'y = 3x2 −4xy +3x. |
|
|
|||||
z'x( −3;1) = −17, |
z'y ( −3;1) = 30. |
|
|
|
|
||
Полученные значения являются координатами градиента функции |
|||||||
в заданной точке, т.е. grad z = |
{−17;30}. |
|
|
|
|||
Вычисляем производную функции в точке М по |
направлению |
||||||
вектора аr: |
r |
|
|
|
|
|
|
z'ar = grad( z ) ar |
= −17 |
−1 |
+30 |
2 |
= 77 |
≈ 34,4. |
|
|
a |
12 + 22 |
|
12 + 22 |
5 |
|
13
Контрольная работа № 4 Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения.
1. Найдите неопределенные интегралы [2, c.4-18].
а) ∫ |
[ mx3 +( m −n )x +( −1)m n ]dx |
|
, |
|
|
|
|
||||||||
|
( −1)n x +( 2m −3n ) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) ∫ |
|
[ nx2 +( n −5 )x +( −1)n m ]dx |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x2 −( n +1)x + n |
|
|
|
|
|
|||||||
Пример: ∫ |
( 3x3 |
+ 4 )dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 − x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выделяем целую и дробную части функции: |
|
|
|||||||||||||
3х3+4 |
|
I x2-x-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
-( 3x3-3x2-6x) |
I 3x+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3x2+6x+4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
-(3x2-3x-6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x+10, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
таким образом |
|
3х3 + 4 |
|
= (3х+3) + |
9 |
х+10 |
|
. |
|||||||
|
х2 − х− |
2 |
х2 |
− х− |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раскладываем знаменатель на простейшие множители:
х2-х-2 = 0; х1 = -1, х2 = 2. Тогда х2-х-2 = (х+1)(х-2).
Раскладываем дробную часть на сумму простейших дробей:
|
|
9х+10 |
|
= |
|
|
А |
|
|
+ |
В |
|
= |
А( х−2 ) + В( х+1) |
= |
|
|||||||||||||||
|
х2 − х− |
2 |
|
х+1 |
х− |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 − х−2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
( А+ |
В)х+( −2А+ В) |
, |
|
|
|
А+ В = 9 |
|
|
А= −1/ 3 |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
х2 − х−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2А+ В =10, |
|
В = 28 / 3 |
|
||||||||||||||||
Интегрируем целую часть и простейшие дроби: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
( 3x3 + 4 )dx |
|
= ∫( 3х+3 |
+ |
−1 / 3 |
+ |
28 / 3 |
)dx = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x2 − x −2 |
|
х+1 |
х |
−2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= 3 |
х2 |
+ 3х - |
1 |
Ln |
|
x +1 |
|
+ |
28 |
Ln |
|
x −2 |
|
+ С. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14
2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функ-
ций [2, c. 21-32].
y = (−1)m x2 / 3n +(−1)m+1n / 3, y2 = n(x + n) / 3.
Пример: у = (х+3)2, у2 = 8(х+3).
Строим графики функций и находим координаты их общих точек: y
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(х+3)4 = 8(х+3), х1 = -3; |
|
|
|
|
(х+3)3 = 8, х2 = -1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Вычисляем площадь фигуры, ограниченной графиками заданных |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 / 2 |
|
|
|
3 |
|
|
|||||
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + |
3) |
|
|
(x +3) |
|
−1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
S = ∫[ 8(x +3) −(x +3) |
|
|
|
|
]dx = [ 8 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
] |
−3 = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 / 2 |
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
−3 |
23 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
− |
= |
|
|
|
− |
|
|
= |
|
|
|
≈ 2,67. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 / 2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3. Найдите общее решение дифференциального уравнения [2, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
c.62-66]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = mxm−2n ym / n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример: у′ = 4х3у3/2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися перемен- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Записываем производную как отношение дифференциалов |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dy |
= 4х3у3/2, разделяем переменные |
|
dy |
|
= |
4x3 |
dx и интегрируем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
|
y3 / 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ у−3 / 2dy = 4∫x3dx .
Имеем у-1/2/(-1/2) = 4х4/4 + С.
Окончательно получаем
у = 1/(х3+С)2.
15
4. Решите задачу Коши [2, c.67-71]. y′+(−1)m xy = nxn−2m + m, y(1) = 2m −3n.
Пример: у′ - у/х = 3х2 +2, у(1) = -4.
Это линейное дифференциальное уравнение.
Ищем общее решение в виде y =u v, тогда у/ = u′v + uv′ и u′v + uv′ - uv/x = 3x2 + 2.
Находим v из уравнения
v′ - v/x = 0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем, имеем
∫ dv |
= ∫ dx |
, ln v = ln x v = x. |
||||||
v |
x |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда u′x = 3x2+ 2, |
u′= 3x + 2/x . |
|||||||
|
|
2 |
|
3x |
2 |
|
|
|
u = |
= |
+ln |
x |
+C . |
||||
∫ 3x + |
dx |
|
||||||
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общее решение имеет вид: y = (3x2/2 + 2ln x + C) x . Находим С из начального условия: - 4 = 3/2 +C, C = -11/2 .
Получаем решение задачи Коши: y = (3x2/2 + 2ln x - 11/2) x .
Контрольная работа № 5 Теория вероятностей
1. Студент может сдать первый экзамен с вероятностью р1= =m/(m+1), второй – с р2= n/(n+1), третий – с р3= m/(m+n). Какова вероятность того, что студент сдаст: а) три экзамена; б) ровно два экзамена; в) только один экзамен; г) хотя бы один экзамен; д) не сдаст экзамены
[3, c.9-20].
Пример: р1=2/3, p2=3/5, p3=4/7.
Рассмотрим три независимых события А1, А2, А3 – студент сдаст 1-й, 2-й, 3-й экзамен. По условию имеем
Р(А1)=2/3; P(A2)=3/5; P(A3)=4/7.
Событие А – студент сдаст 3 экзамена – выражается как А= А1 А2 А3. По формуле вероятности произведения независимых со-
бытий получаем
P(A)= P(A1) Р( А2 ) Р( А3 ) = 23 53 74 = 358 ≈ 0,23.
16
Событие В – студент сдаст ровно 2 экзамена – равносильно следующему: В = А1 А2 А3 + А1 А2 А3 + А1 А2 А3 , где слагаемые есть несовместные события. По формулам вероятности суммы несовместных событий и вероятности произведения независимых событий имеем
Р( В) = Р( А1 )Р( А2 )Р( А3 ) + Р( А1 )Р( А2 )Р( А3 ) + Р( А1 )Р( А2 )Р( А3 ) =
= 23 53 (1− 74 ) + 23 (1− 53 ) 74 +(1− 23 ) 53 74 ==10546 ≈ 0,44.
Событие С – студент сдаст ровно 1 экзамен. Аналогично получаем следующее:
Р( С ) = Р( А1 )Р( А2 )Р( А3 ) + Р( А1 )Р( А2 )Р( А3 ) + Р( А1 )Р( А2 )Р( А3 ) =
= 23 (1− 53 )(1− 74 ) +(1− 23 ) 53(1− 74 ) +(1− 23 )(1− 53 ) 74 =10529 ≈ 0,28.
Для события D – студент не сдаст все экзамены – также имеем:
P( D ) = P( A1 )P( A2 )P( A3 ) =(1− 32 ) (1− 53 ) (1− 74 ) = 352 ≈ 0,06.
Событие Е – студент сдаст хотя бы 1 экзамен –противоположно событию D. Поэтому
P( E ) =1− P( D ) =1− 352 = 3533 ≈ 0,94.
2. Имеется (4+(-1)n) лотерейных билетов, из которых каждый (m+2) выигрышный. Составить закон распределения случайной величины – числа выигрышных билетов из имеющихся. Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение этой случайной величины [3, c.20-24].
Пример. Число билетов – 3, каждый 20-й выигрышный.
По формуле Бернулли для n = 3, p = 1/20 = 0,05 вычисляем вероятности появления 0,1,2,3 выигрышных билетов из имеющихся:
Р3( 0 ) = С30 0,050 (1−0,05 )3 = 0,953 ≈ 0,9574, Р3(1) = С31 0,051 (1−0,05 )2 = 3 0,05 0,952 ≈ 0,1354,
Р3( 2 ) = С32 0,052 (1−0,05 )1 = 3 0,052 0,951 ≈ 0,0071, Р3( 3) = С33 0,053 (1 − 0,05 )0 = 0,053 ≈ 0,0001.
Проверка: Р3( 0 ) + Р3(1) + Р3( 2 ) + Р3( 3 ) ≈1,0.
Закон распределения случайной величины Х – число выигрышных лотерейных билетов из 3-х – приведен в таблице.
17
|
хк |
|
0 |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
рк |
|
0,8574 |
|
0,1354 |
|
0,0071 |
0,0001 |
(зна- |
|
Вычисляем |
числовые |
характеристики |
случайной |
величины |
||||
чения вероятностей округлены до сотых). |
|
|
|
||||||
|
Математическое ожидание - |
|
|
|
|||||
|
М(Х) = р1х1 +…+ ркхк ≈ 0 0,86 +1 0,14 + 2 0,01+3 0 = 0,16. |
||||||||
|
Дисперсия – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(X) = p1x12 +…+ pkxk2 |
- M2(X) ≈ |
|
|
|
≈ 02 0,86 +1 2 0,14 + 2 2 0,01+32 0 −0,162 ≈ 0,15.
Среднее квадратическое отклонение –
σ( Х ) = D( X ) ≈ 0,15 ≈ 0,39.
3.Среднее число клиентов, приходящих в фирму в течение часа, равно n/(n+m). Какова вероятность того, что в течение двух часов в фирме появятся: а) 1 клиент; б) 2 клиента; в) 0 клиентов; г) хотя бы
один; д) не менее трех клиентов [3, c.29-32]. Пример: λ = 0,65клиента/час.
Вероятность появления к событий за время t определяется форму-
лой Пуассона |
|
|
P (t) = |
(λt)k e −λt |
. |
|
||
k |
k! |
|
По условию задачи λ = 0,65,t = 2 λt =1,3.
а) Р1(2) = 1,31 е-1,3 ≈ 0,353; б) Р2(2) = 1,32 е-1,3/2 ≈ 0,230; в) Р0(2) = 1,30 е-1,3 ≈ 0,273.
Событие – появление хотя бы одного клиента – противоположно событию – не появление клиентов в течение 2-х часов, поэтому
г) Рк≥1(2) = 1- Р0(2) = 1 – 0,273 = 0,727.
Событие – появление не менее 3-х клиентов противоположно событию – появление 0 или 1, или 2-х клиентов, поэтому
д) Рк≥3(2) = 1 – (Р0(2) + Р1(2) + Р2(2)) = = 1 – (0,273 + 0,354 + 0,23) = 0,143.
4. Случайная величина Х- месячная заработная плата работника предприятия распределена по нормальному закону с параметрами
а= 2 +(−1)m m /(m + n) тыс.р.; σ = 0,6 +(−1)n m / 20 тыс.р. Каков процент
18
работников, получающих: а) более (1+m/(m+1)) тыс.р.; б) менее
(2+n/(n+1)) тыс.р.; в) от 1,5 до 2,5 тыс.р. [3, c.24-29]. Пример: а = 1,74; σ = 0,42.
Вероятность попадания значения нормально распределенной случайной величины в интервал (α; β) определяют по формуле Лапласа
β − |
а |
α |
−а |
|||
Р(α<x<β) = Ф |
– Ф |
σ |
. |
|||
σ |
|
|
|
|||
Значения Ф(x) находят по приложению. |
||||||
а) α = 2; β = +∞. |
|
|
|
|
|
|
+∞−1,74 |
2 |
−1,74 |
||||
P(x>2)= Ф |
|
−Ф |
|
|
|
= Ф(+∞) – Ф(0,62) = |
|
|
|
||||
0,42 |
|
|
0,42 |
= 0,5 - 0,23 = 0,27; |
|
|
|
|
|
|
б) α = -∞; β=3. |
|
|
|
|
||
Р(Х<3) = Ф( 3 −1,74 ) −Ф( |
−∞−1,74 ) =Ф( 3,24 ) −Ф( −∞) = |
|||||
0,42 |
|
|
0,42 |
|
||
= 0,499+0,5 = 0,999; |
|
|
|
|
|
|
в) α = 1; β=4 |
|
|
|
|
||
Р(1<Х<3) = Ф( |
4 −1,74 |
) − |
Ф( |
|
1−1,74 |
) =Ф( 5,62 ) −Ф( −1,76 ) = |
|
0,42 |
|||||
0,42 |
|
|
|
=0,5 +0,46 = 0,96.
Таким образом, заработную плату более 2-х тыс.р. имеют 27% работников, менее 3-х тыс.р. – 99,9% и от 1 до 4-х тыс. р. – 96% работников.
Контрольная работа № 6 Математическая статистика
Сначала необходимо выбрать номер своего варианта. Для этого число (10m+n) следует поделить на 4. Остаток от деления и будет номером варианта (остатку 0 соответствует 4-й вариант). Затем к каждому значению х исходной табл. 6.1 следует прибавить m, а к каждому значению у прибавить n. Полученные данные используют для выполнения следующих заданий:
1.Для признака Х составить вариационный ряд, вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение. Построить гистограмму [4, c. 186195, c . 198-208].
19
2.По критерию согласия Пирсона проверить гипотезу о соответствии выборочных данных теоретическому закону распределения случайной величины Х на уровне значимости 0,05 [4, c. 334-341].
3.Вычислить выборочный коэффициент корреляции между случайными величинами Х и У. Найти выборочное уравнение линейной регрессии. Построить теоретическую линию линейной регрессии
[4, c. 250-269].
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.1 |
|
|
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
|
Вариант 4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X – брак, % |
|
X – производитель- |
X – средний балл |
|
X – объем произ- |
|||||
|
|
ность, т/мес., |
|
диплома, |
|
|
водства, млн. шт., |
||||
|
Y – себестоимость, |
|
|
|
|||||||
|
р. |
|
Y – прибыль, тыс. |
Y – зарплата, тыс |
.Y – себестоимость, |
||||||
|
|
р. |
|
р. |
|
|
р. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
N |
X |
|
Y |
X |
|
Y |
X |
Y |
|
X |
Y |
1 |
2,1 |
|
14 |
5,15 |
|
143 |
4,88 |
4,00 |
26 |
81 |
|
2 |
3,2 |
|
10,5 |
7,02 |
|
200 |
3,95 |
2,57 |
27 |
78,4 |
|
3 |
2,2 |
|
15,1 |
5,48 |
|
152 |
3,64 |
2,38 |
29 |
71,2 |
|
4 |
2,6 |
|
13 |
5,44 |
|
154 |
4,16 |
2,70 |
30 |
76 |
|
5 |
2,5 |
|
14,25 |
4,46 |
|
131 |
3,96 |
3,00 |
30 |
79,3 |
|
6 |
2,4 |
|
14,52 |
4,44 |
|
120 |
3,88 |
2,53 |
28 |
77,6 |
|
7 |
2,2 |
|
14 |
5,61 |
|
156 |
3,78 |
2,47 |
29 |
76,8 |
|
8 |
3,1 |
|
13,6 |
5,31 |
|
148 |
4,28 |
2,90 |
25 |
84,6 |
|
9 |
1,8 |
|
16,14 |
5,68 |
|
165 |
4,18 |
2,71 |
37 |
75,4 |
|
10 |
2,3 |
|
14,79 |
5,48 |
|
153 |
4,10 |
2,66 |
36 |
71,2 |
|
11 |
3,1 |
|
12,63 |
5,2 |
|
141 |
3,62 |
2,10 |
32 |
74,4 |
|
12 |
2 |
|
15,6 |
5,81 |
|
162 |
4,22 |
2,73 |
28 |
77,6 |
|
13 |
2,5 |
|
14,25 |
6,39 |
|
171 |
4,07 |
2,64 |
45 |
64 |
|
14 |
2,1 |
|
17,5 |
5,62 |
|
140 |
3,91 |
4,20 |
31 |
75,2 |
|
15 |
2,3 |
|
14,79 |
6,02 |
|
175 |
3,75 |
2,70 |
30 |
76 |
|
16 |
2,1 |
|
15,33 |
5,31 |
|
148 |
3,25 |
2,15 |
32 |
74,4 |
|
17 |
2,6 |
|
18 |
4,8 |
|
120 |
3,50 |
2,30 |
38 |
83,4 |
|
18 |
2,8 |
|
13,44 |
5 |
|
148 |
3,80 |
2,48 |
30 |
79,4 |
|
19 |
2,3 |
|
14,79 |
5,05 |
|
151 |
4,71 |
3,03 |
26 |
80 |
|
20 |
2,6 |
|
14,7 |
5,89 |
|
164 |
3,61 |
2,37 |
36 |
67,4 |
|
21 |
2,4 |
|
14,52 |
5,91 |
|
163 |
4,58 |
2,50 |
40 |
68 |