Вопрос 23

(Сформулировать теорему Коши о существовании и единственности решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка)

Пусть функция f(x), непрерывна на промежутке TR.Тогда для любой точки и для любых чисел решения задачи Коши существует и единственно.

(Доказать свойства частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка)

Линейный Оператор(действует на множестве функций имеющих производную до n-го порядка включительно).линейное неоднородное уравнение будем записывать в виде , а однородное

Свойства решений линейных д.у.n-го порядка.

1) если ирешения однородного д.у., то для любого α,β– тоже решенияд.у.Док-во. =0следствие решения линейного однородного д.у. образуют линейное пространство.

2)если и -решения то их разность равна нулю.Док-во:

3)если решение ., а решение то их сумма решение .Док-во:

Вопрос 24

(Сформулировать определения линейно зависимой и линейно независимой систем функций)

1) Система функций называется линейно зависимой на (a, b), если существуют такие числа ,из которых хотя бы одно отлично от нуля, что для любогоx (a, b) имеет место равенство:

Замечание: Если заданы две функции и то их линейная зависимость равносильна условиюпропорциональности этих функций:, гдеA- некоторая постоянная.

2) Система функций называется линейно независимой на (a, b), если равенство имеет место для x (a, b) только тогда, когда

Замечание:При задании двух линейно независимых функций и ,их отношением будет некоторая функция, не являющаяся постоянной:

(Сформулировать и доказать теорему о вронскиане линейно зависимых функций)

Если система функций линейно зависима на интервале (a, b), то вронскиан этой системы тождественно равен нулю на этом интервале.

-Доказательство:

Если функции линейно зависимы на интервале (a, b), то найдутся числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что для любого x (a, b) (1)

Продифференцируем по x равенство (1) n - 1 раз и составим систему уравнений:

Будем рассматривать эту систему как однородную линейную систему алгебраических уравнений относительно . Определитель этой системы - определитель Вронского (2). При любомx (a, b) эта система имеет нетривиальное решение , следовательно, в каждой точке её определитель равен нулю. Итак,W(x) = 0 при любом x (a, b), т.е. W(x) = 0 на (a, b).

Вопрос 25

(Сформулировать определение линейно зависимой и линейно независимой систем функций. Сформулировать и доказать теорему о вронскиане системы линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка)

1) Система функций называется линейно зависимой на (a, b), если существуют такие числа ,из которых хотя бы одно отлично от нуля, что для любого x (a, b) имеет место равенство:

2) Система функций называется линейно независимой на (a, b), если равенство имеет место для x (a, b) только тогда, когда

Определителем Вронского называется определитель

-Теорема:

Пусть решение ДУс непрерывными коэффициентами. Чтобы эти функции были линейно независимы на (а, b)

-Доказательство:

Допустим противное

СЛАУ имеет нетривиальное решение

Рассмотрим - решение ДУ

Примем

Задача Коши ,,… имеет единственное решение.Система линейно независима. Противоречие!

Пусть для. Предположим, что решение линейно зависимо для . Противоречие!Теорема доказана.