Глава 2. Математическая и компьютерная модель Лефевра-Николиса с нечеткими параметрами.
2.1. Разработка математической модели.
где
-
миграционный поток вида X.
Для получения неподвижных точек и линий приравняем правые части к нулю:
Из
второго уравнения следует, что гипербола
является особой линией фазового портрета,
на котрой производная 
вследствие
чего фазовые траектории должны пересекать
эту линию только в напрвалении,
параллельном OX.
Преобразуя уравнения получаем:
На
этой линии производная 
вследствие
чего фазовые траектории должны пересекать
эту линию только в направлении,
параллельном ОY.
Точка
пересечения особых линий является
особой неподвижной точкой модели
Лефевра-Николиса. Ее координаты получаются
из решения системы уравнений 
Тип особой точки можно определить методом линеаризации: введением нововй системы координат с центром в особой точке:
В результате подстановки в систему дифференциальных уравнений и отбрасывания
нелинейных членов второго порядка малости преобразовывается модель в новую систему координат:
После подстановки получается следующая система:
Характеристическое уравнение имеет следующий вид:
Уравнение имеет следующие корни:
В
зависимости от знака дискриминанта
особая точка может быть фокусом или
узлом: при 
особая
точка является фокусом или узлом: при
неустойчивым узлом.
Для устойчивости особой точки необходимо, чтобы действительная часть корня была отрицательной, т. е. чтобы выполнялось следующее соотношение:
Переменные b1 и b2 являются границами интервала для параметра b, при попадании внутрь которого в экзосистеме образуется устойчивый фокус. Интервал устойчивости имеет границы:
.
При значениях параметров b меняется фазовый портрет от устойчивого фокуса до устойчивого предельного цикла.
2.2. Разработка архитектуры компьютерной модели и пользовательского интерфейса для управления моделью.
Фазовый портрет модели исследуется с помощью Симулинк-модели.
Программа для управления:
%SIM_LEVEVR_NIKOLIS построение фазовых портретов модели Лефевра-Николиса
% Выбор варианта задается управляющей переменной Vib
a = 1;
c=1;
d=1;
b1=c*(a/d)^2+d-2*a*sqrt(c/d); % первая граница b > b1 - фокус
b2=c*(a/d)^2+d; % вторая граница b < b2 - устойчивая
xs=a/d; % особая точка
if Vib==0 % устойчивый фокус: b1 < b < b2
b=1.5;
ys=(b*d)/(c*a);
xmin=0.5;
xmax=2.5;
ymin=0.7;
ymax=1.8;
elseif Vib==1 % предельный цикл: b > b2
b=3;
ys=(b*d)/(c*a);
xmin=0;
xmax=4;
ymin=0.5;
ymax=5;
end
xp=[0.1 0.3 0.5];
yp=[0.1 0.3 0.5];
hold on
for j=1:3
x0=xs+xp(j); y0=ys+yp(j);
opts=simset('InitialState',[x0 y0],'FixedStep',0.1,...
'Solver','ode4','MaxDataPoints',1000);
[t x]=sim('Lefevr_Nikolis',[],opts);
plot(x(:,1),x(:,2));
axis([xmin xmax ymin ymax]);
end
xu=a/d; yu=(b*d)/(c*a);
plot([xu xu],[ymin ymax],'k:',[xmin xmax],[yu yu],'k:');
axis([xmin xmax ymin ymax]);
xg=xmin:0.05:xmax;
yg=(b/c)./xg;
yg1=((b+d)*xg-a)./(c*xg.^2);
plot(xg,yg,'k:',xg,yg1,'k:');
axis([xmin xmax ymin ymax]);
%set(gca,'Ytick',[-1 -0.5 0 0.5 1]);
%set(gca,'Xtick',[-1 -0.5 0 0.5 1]);
xlabel('x','FontSize',16);
ylabel('y','FontSize',16);
hold off
return
Фазовый портрет:
Устойчивый фокус:
Заключение.
Исследовал модель Лефевра-Николиса в пакте Матлаб. С помощью программы привел в действие Симулинк-модель. При определенном интервальном значении меняется фазовый портрет, происходит бифуркация Хопса. В полном объеме видно изменение положения фигур на графике. Ознакомился с интервальными и нечеткими представлениями чисел, так же их вычислении.