Решение задач по комбинаторике и по основным теоремам теории вероятностей
1) В журнале 10 страниц , необходимо на страницах поместить 4 фотографии. Сколькими способами это можно сделать , если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии ?
4 |
|
10! |
|
10! |
7 8 9 10 5040СП |
|
А10 |
(10 4)! |
|||||
|
6! |
|
||||
2) Сколько можно записать четырехзначных чисел , используя без повторения все десять цифр?
4 |
|
10! |
7 8 9 10 5040СП |
|||||
А10 |
|
6! |
|
|
|
|
||
3 |
|
9! |
|
|
9! |
7 8 9 504СП |
||
А9 |
(9 3)! |
|||||||
|
|
6! |
|
|||||
Ответ : 5040 504 4536способов
3) Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги из 10 по математике, находящихся в библиотеке?
Решение: Искомое число способов равно числу сочетаний из 10 книг по три, так как порядок выбора трех книг не имеет значения. Следовательно, находим:
C3 10 9 8 120 Ответ: 120 способов.
10 1 2 3
4) Из 5 карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад выбираются одна за другой три карточки и располагаются в ряд (в порядке появления) слева направо. Какова вероятность, что получится слово «два»?
Решение: Выбор трех карточек из имеющихся пяти можно осуществить А35 , так
как порядок карточек имеет значение при этом условии. Вычисляем: Значит, число всех возможных элементарных
событий равно 60. А3 3 4 5 60
5
Из этих событий только одно благоприятствует событию – получению слова «два». Следовательно:
P |
1 |
Ответ: 1/60. |
|
60 |
|||
|
|
5) Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 4 области. Вероятность попадания в первую область – 0,4, во вторую – 0,3. Найдите вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую область, либо во вторую?
Решение: Обозначим события: А – стрелок попал в первую область, В – стрелок попал во вторую область. Эти события несовместны, так как они не могут произойти одновременно, поэтому верна теорема сложения вероятностей, откуда находим:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,4+0,3=0,7 Ответ: 0,7.
6) Для Московской области среднее число дождливых дней в августе равно 15. Какова вероятность, что первые два дня августа не будут дождливыми?
Решение: Обозначим события: А – 1 августа не будут дождя, В – 2 августа не будет дождя. Необходимо рассмотреть событие А*В – «1 и 2 августа не будет дождя». В данной задаче: P( А) 1631
При вычислении Р(В) результат зависит от того, будет ли дождь 1 августа. Следовательно, необходимо найти условную вероятность РА(В) – вероятность того, что 2-го августа не будет дождя в предположении, что 1-го августа – не
дождливый день. Тогда получаем:
P( А В) Р( А) РА (В) 1631 1530 318
7) Набирая номер телефона, абонент забыл две цифры и набрал их наудачу. Определить вероятность того,
что найдены нужные цифры.
Решение.
Пусть С – событие, состоящее в том, что набраны две нужные цифры.
Всех равновозможных, единственно возможных и несовместимых случаев набора двух цифр из 10 столько,
сколько можно составить различных размещений из 10 цифр по 2, т.е.
2
А10 = 10·9 = 90 Благоприятствует событию С только один случай из этих 90.
Таким образом, искомая вероятность Р(С) = 1 90
Ответ: Р(С) = 1 90 .
8) Найти вероятность того, что при 9 бросаниях монеты «орел» выпадет ровно 4 раза.
Решение.
«Успех» означает выпадение «орла» и его вероятность p = 0,5. «Неудача» означает выпадение «решки» и ее вероятность q = 0,5. Бросания предполагаем независимыми друг от друга.
Это частный случай общей схемы Бернулли, в котором n=9, k = 4, p = 0,5, q = 0,5.
По формуле Бернулли
4 |
4 |
9-4 |
9 |
Р9(4) = С9(0,5)(0,5) = 9! · (1) = 6·7·8·9 · 1 = 7·2·9 = 63 ≈ 0,246
4!5! |
2 |
1·2·3·4 |
512 |
512 |
256 |
Ответ: 0,246.
9) За один выстрел стрелок поражает мишень с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах он хотя бы раз попадет в мишень.
Решение.
Считаем, что все 5 выстрелов производятся независимо друг от друга. «Успех» означает попадание в мишень при одном выстреле.
Его вероятность p = 0,1. «Неудача» означает выстрел мимо мишени.
Ее вероятность равна q = 1-0,1 = 0,9.
Число k «успехов» отлично от нуля: kЄ {1,2,3,4,5}, n =5, p = 0,1, q = 0,9.
А – событие, заключающееся в том, что при 5 выстрелах будет хотя бы 1 попадание.
Тогда Ā – событие, при котором число «успехов» равно нулю, т.е.стрелок все 5 раз «промазал».
0 |
0 |
5 |
5 |
Р(А) = 1- Р(Ā) = 1- Р5(0) = 1- С5·0,1·0,9 = 1- 0,9 ≈ 1-0,5905 ≈ 0,4095
Ответ: 0,4095.
10) В магазин поступили электрические лампочки одного типа, изготовленные на четырех ламповых заводах: с 1-го завода 250 шт., со 2-го — 525 шт., с 3-го — 275 шт. и с 4-го — 950 шт. Вероятность того, что лампочка прогорит более 1500 часов, для 1-го завода равна 0,15, для 2-го — 0,30, для 3-го — 0,20, для 4-го — 0,10. При раскладке по полкам магазина лампочки были перемешаны. Какова вероятность того, что купленная лампочка прогорит более 1500 часов?
Решение: Пусть A — событие, состоящее в том, что лампочка прогорит более 1500 часов, а Н1, Н2, Н3 и Н4 — гипотезы, что она изготовлена соответственно 1, 2, 3 или 4-м заводом. Так как всего лампочек 2000 шт., то вероятности гипотез соответственно равны
Далее, из условия задачи следует, что
Используя формулу полной вероятности (11), имеем
11) На склад поступило 1000 подшипников. Из них 200 изготовлены на 1-м заводе, 460—на 2-м и 340 - на 3-м. Вероятность того, что подшипник окажется нестандартным, для 1-го завода равна 0,03, для 2-го — 0,02, для 3-го — 0,01. Взятый наудачу подшипник оказался нестандартным. Какова вероятность того, что он изготовлен 1-м заводом?
Решение: Пусть A — событие, состоящее в том, что взятый Подшипник нестандартный, а 
- гипотезы, что он изготовлен соответственно 1-м, 2-м
или 3-м заводом. Вероятности указанных гипотез составляют
Из условия задачи следует, что
Найдем |
, т. е. вероятность того, что подшипник, оказавшийся нестандартным, |
изготовлен 1-м заводом. По формуле Бейеса имеем
Таким образом, вероятность гипотезы, что подшипник изготовлен 1-м заводом, изменилась после того, как стало известно, что он нестандартен.
12) Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Какова вероятность того, что 8 выстрелов дадут 5 попаданий?
Решение: Здесь n=8;
m=5; p=0,6;
q=1-0,6=0,4.
Используя формулу (13'), имеем