666735

присвоенных при совместном ранжировании. Подсчитываем отдельно сумму рангов, пришедшихся на долю элементов первой выборки, и отдельно — на долю элементов второй выборки — Таблица №5.

Так как в ранжируемой объединенной выборке есть совпадающие ранги, то необходимо проверить правильность ранжирования:

Общая сумма рангов = 372,5 + 447,5 = 820

Расчетная сумма рангов: ΣRi = (n•(n+1))/2 = (40•(40 + 1)/2 = 820

Равенство реальной и расчетной сумм рангов соблюдено.

3) Определяем значение Uэмп — эмпирическую величину критерия Манна-Уитни по формуле:

где n1 ― количество испытуемых в первой выборке; n2 ― количество испытуемых во второй выборке;

Tx ― большая из двух ранговых сумм;

nx ― количество испытуемых в выборке с большой суммой рангов.

Из таблицы №4 видно, что большей из двух ранговых сумм оказывается сумма рангов у выборки мужчин, обратившихся в службу знакомств — 447,5.

Uэмп-муж = (17 • 23) + ((17 • (17 + 1)) / 2) ― 447,5 = 391 + (306 / 2) ― 447,5 = = 544 ― 447,5 = 96,5

Поскольку в нашем случае n1≠ n2 , подсчитаем Uэмп и для второй ранговой суммы — 372,5, подставляя в формулу соответствующее ей значение — nx :

Uэмп-жен = (17 • 23) + ((23 • (23 + 1))/2) ― 372,5 = 391 + (552/2) ― 372,5 = = 667 ― 372,5 = 294,5

Так как меньшее значение критерия Манна-Уитни свидетельствует о

21

больших различиях, то в качестве эмпирического значения U–критерия берется меньшее значение Uэмп. В нашем случае мы принимаем за Uэмп =

= 96,5 — значение U‒критерия для выборки мужчин, обратившихся в службу знакомств, что подтверждает теоретические ожидания исследователей о том, что мужчинам приходится преодолевать субъективно более интенсивное внутренне сопротивление.

5) Определяем критические значения Uкр по таблице критических значений критерия Манна-Уитни для соответствующих n, причем меньшее n принимаем за n1 = 17, а большее n принимаем за n2 = 23

6) Построим «ось значимости»:

Так U–критерий Манна‒Уитни является исключением из общего правила принятия решения о достоверности различий, то можно констатировать

достоверные различия, если Uэмп ≤ Uкр.

Uэмп = 96,5

Uкр = 109 (p = 0,99)

Uэмп ≤ Uкр (p = 0,99) Hₒ отклоняется, H1 принимается с вероятностью ошибки I рода α=1 – p = 0,01

22

Статистическое решение: Hₒ отклоняется. H1 принимается с

вероятностью ошибки α=0,01. Мужчинам при обращении в службу знакомств приходится преодолевать субъективно более интенсивное внутренне сопротивление, чем женщинам.

Содержательный вывод: статистически достоверно, что при обращении в службу знакомств мужчинам из исследованной выборки пришлось преодолеть субъективно более интенсивное внутренне сопротивление, чем женщинам.

23

Задание №4

По методике Тулуз-Пьерона исследовалось оперативное внимание у 10 детей в возрасте от 5 лет до 10 лет. Зависит ли скорость выполнения корректурной пробы (среднее число просмотренных знаков за 10 минут) от возраста (для соблюдения интервальности шкалы месяцы переведены в доли года)?

24

Решение №1.4

1) Принятие решения о методе математической обработки.

Так как в нашем случае необходимо выявить наличие взаимосвязи между двумя метрическими признаками, измеренными на одной выборке, следовательно для данного исследования целесообразно использовать коэффициент линейной корреляции Пирсона.

2) Коэффициент линейной корреляции Пирсона относится к группе параметрических методов и поэтому его следует применять только тогда, когда известно или доказано, что распределение результативного признака является нормальным.

а) Для того, чтобы убедится в нормальности распределения результативного признака (скорости выполнения корректурной пробы ― Vi), произведем необходимые расчеты (Таблица №6) показателей асимметрии и эксцесса, и сопоставим их с критическими значениями (по Н.А. Плохинскому):.

Таблица №6

25

n = 10

MV = Σ Vi /n = 509,4/10 = 50,94

Dv= (Σ(Vi – MV)2)/n = 3812,7/10 = 318,27

σv= (Dv)½ = (318,27) ½ = 19,526

Показатели асимметрии (A) и эксцесса (E) с их ошибками репрезентативности (mA, mE) определяются по формулам:

В нашем случае:

A= (Σ(Vi – MV)3)/n • σv3 = 100675,63/(10 • (19,526)3) =

= 100675,63/10 • 7444,574 = 100675,63/74445,74 = 1,352 mA = (6/n) ½= (6/10)½ = (0,6)½= 0,7746

E = ((Σ(Vi – MV)4)/n • σv4 ) – 3 = (2858162/(10 • (19,526)4)) – 3 = = (2858162/1453627,4) – 3 = 1,966 – 3 = – 1,034

mE = 2 • (6/n) ½= 2 • (6/10)½ = 2 • (0,6)½= 2 • 0,7746 = 1,5492

б) Показатели асимметрии и эксцесса свидетельствуют о достоверности отличия эмпирического распределения от нормального в том случае, если они превышают по абсолютной величине свою ошибку репрезентативности в 3 и более раза:

26

В нашем случае:

tA = |A|/mA = 1,352/0,7746 = 1,745

tE = |E|/mE = 1,034/1,5492 = 0,667

Так асимметрия и эксцесс не превышают в три раза свою ошибку репрезентативности, то можно заключить, что распределение признака (скорости выполнения корректурной пробы) не отличается от нормального.

в) Произведем проверку по формулам Е.И. Пустыльника: рассчитаем критические значения для асимметрии и эксцесса.

Aкр = 3 • (6 • 9/11 • 13)½ = 3 • (54/143)½ = 3 • (0,378)½=3 • 0,615 = 1,844 Aэмп = 1,352

Aэмп < Aкр

Eкр = 5 • (24 • 10 • 8 • 7/11 • 11 • 13 • 15)½ = 5 • (13440/23595)½ = = 5 • (0,5696)½ = 5 • 0,755 = 3,774

Eэмп = – 1,034

Eэмп < Eкр

Оба варианта проверки по Н.А. Плохинскому и по Е.И. Пустыльнику, дают один о тот же результат: распределение скорости выполнения корректурной пробы в группе испытуемых детей не отличается от

27

нормального распределения, следовательно можно продолжать исследование для определения взаимосвязи между двумя признаками с помощью коэффициента линейной корреляции Пирсона.

3) Формулируем нулевую (Hₒ) и альтернативную (H1) гипотезы:

Hₒ : rB,V = 0

Корреляция между показателями возраста и скоростью выполнения корректурной пробы значимо не отличается от нуля (является случайной).

H1 : rB,V ≠ 0

Корреляция между показателями возраста и скоростью выполнения корректурной пробы значимо отличается от нуля (является не случайной).

4) Произведем необходимые расчеты для коэффициента линейной корреляции, а полученные результаты занесем в Таблицу №7.

Таблица №7

28

Опираясь на данные полученные в Таблице №7, рассчитаем стандартное отклонение и ковариацию для двух переменных – Bi и Vi

DB= (Σ(Bi – MB)2)/n =14,862 /10 = 1,486

σB= (DB)½ = (1,486) ½ = 1,219

Dv= (Σ(Vi – MV)2)/n = 3812,7/10 = 318,27

σv= (Dv)½ = (318,27) ½ = 19,526

COVB,V = Σ(Bi – MB )•(Vi – MV)/n = 162,89/10 = 16,289

Подсчитаем значение коэффициента линейной корреляции Пирсона:

rB,V = COVB,V / σB • σv

= 16,289 / 19,526 •1,219 = 16,289 /23,802 = 0,684

5) Проверяем на значимость полученный коэффициент корреляции rB,V с помощью таблицы критических значений коэффициента линейной корреляции Пирсона:

Для облегчения процесса принятия решения построим «ось значимости»:

Видно, что полученный коэффициент корреляции «попал в зону неопределенности»: следовательно уже можно отклонить нулевую гипотезу, но ещё нельзя принять альтернативную.

29

6)Продолжим проверку значимости полученного коэффициента

корреляции с помощью таблицы критических значений t−критерия Стьюдента: .

а) вычисляем эмпирическое значение r–критерия в ситуации проверки гипотезы по формуле t−критерия Стьюдента:

rэмп = 2,652

б) вычисляем количество степеней свободы — ν:

ν = n – 2, где n – количество испытуемых выборке. В нашем случае ν = 10 — 2 = 8

определяем критические значения rкр по таблице критических значений t−критерия Стьюдента для ν = 8:

Построим «ось значимости»:

30