Логинов Избранные разделы курса Векторный анализ (теория и примеры) 2009
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
i |
|
j |
|
k |
|
|
|
rot V = = |
∂ |
|
∂ |
|
∂ |
|
|
=(-1,-1,-1). |
∂x |
|
∂y |
∂z |
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
y |
|
z |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В качестве поверхности с краем C выберем круг, полученный в сечении плоскостью x+y+z=0 шара x2+y2+z2≤ a2 и ориентированный нормалью (1,1,1) (рис. 3.11).
Рис. 3.11
Тогда |
|
|
∫ ydx + zdy + xdz = ∫∫ |
(rot V, dS)= ∫∫ (rot V, n) |
|
C |
Φ |
Φ |
dS = −3 ∫∫dS = = −3 µФ= − 3 π a2.
Φ
Пример 3.7. Вычислить интеграл
∫( x2 − yz)dx + ( y2 − xz)dy + (z2 − xy)dz ,
AmB
взятый по отрезку винтовой линии x=a cos ϕ , y=a sin ϕ , z= h ϕ
2π
от А(а,0,0) до B(a,0,h) (рис. 3.12).
Рис. 3.12
61
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
i |
|
j |
|
k |
|
|
|
Решение. rot V = |
|
∂ |
|
∂ |
|
∂ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∂x |
|
∂y |
∂z |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
x2 − yz y 2 − xz z 2 − xy |
|
|
= (−x + x, − y + y, −z + z) =(0,0,0), поэтому интеграл не зависит от пути интегрирования и вместо винтовой линии выберем отрезок,
x = a
соединяющий точки A, B. y = 0 , t [0, h] . Тогда интеграл будет z = t
равен
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
h |
3 |
|
|
|
|
∫( x2 − yz)dx + ( y2 − xz)dy + (z2 − xy)dz = ∫t 2dt = |
|
. |
||||||||
|
|
|
3 |
||||||||||
|
|
AmB |
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 3.8. Доказать формулу |
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
dx |
dy |
dz |
|
1 |
|
∫([n, r], ds), где Ф – область, ле- |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
µΦ = |
∫ |
cos α |
cos β |
cos γ |
= = |
|
|||||||
|
|
|
|||||||||||
2 |
∂Φ |
|
x |
y |
z |
2 |
|
∂Φ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жащая в плоскости с единичной нормалью n , ограниченная кривой ∂Φ , c согласованной ориентацией.
Решение. Находим векторное поле
V = [n, r] = ( z cos β − y cos γ, x cos γ − z cos α, y cos α − x cos β) ,
далее вычисляем ротор этого поля
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
i |
|
j |
|
k |
|
|
|||
rot V = |
|
∂ |
|
∂ |
|
∂ |
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∂x |
|
∂y |
∂z |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
z cosβ − y cos γ |
x cos γ − z cos α |
y cos α − x cosβ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62
= (2 cos α,2 cos β,2 cos γ) =2 n .
По формуле Стокса получим
|
dx |
dy |
dz |
= ∫(V , ds)= ∫∫(rot V ,dS )= ∫∫(2n, n)dS = |
||
∫ |
cos α |
cos β |
cos γ |
|||
∂Φ |
x |
y |
z |
∂Φ |
Φ |
Φ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
= 2∫∫dS = 2µΦ ,
Φ
откуда и следует требуемое соотношение.
Пример 3.9. Вычислить ∫( y − z)dx + (z − x)dy + ( x − y)dz , где С –
C
контур x=a sin2t, y=a sin t cos t, z=a cos2t , t [0,π].
Решение. Контур лежит в плоскости x+z=a (рис. 3.13) , далее
|
x |
|
y |
|
a |
2 |
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
= tg t = |
|
, y2=x z , y2=x (a – x) , или |
x − |
|
|
+ y 2 |
= |
|
|
|
|
. Таким |
|||
|
y |
|
z |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||
образом, этот контур является эллипсом с полуосями |
|
a |
, |
a |
|
(рис. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.14). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.13
63
|
Рис. 3.14 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
i |
|
j |
|
k |
|
|||
Вычисляем ротор rot V = |
|
∂ |
|
∂ |
|
∂ |
= (−2,−2,−2) , для |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
y − z |
z − x |
x − y |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора нормали n = 1 (1,0,1) определяется скалярное произведе-
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ние (rot V , n)= −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . Тогда интеграл будет равен |
|
|
||||||||||
∫( y − z)dx + ( z − x)dy + ( x − y)dz = ∫∫(rot V ,dS )= − 2 |
|
∫∫dS = |
||||||||||
2 |
||||||||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Φ |
|
Φ |
|
|
= −2 |
|
π |
a |
|
a |
|
= −πa2 . |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
3.3.3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования в пространстве
Определение. Область D называется поверхностно односвяз- ной, если для любой кусочно гладкой замкнутой кривой Г (контура Г), лежащей в D, можно указать ориентированную допустимую
поверхность Ф, расположенную в D, краем которой является Г.
Например, шар является поверхностно односвязной областью, тор не является поверхностно односвязной областью (рис. 3.15).
64
Рис. 3.15
Теорема 1. Для того, чтобы интеграл ∫ Pdx + Qdy + Rdz не за-
висел от пути в поверхностно односвязной области D, необходимо и достаточно, чтобы rot V =0 в области D.
Теорема 2. Для того, чтобы интеграл ∫ Pdx + Qdy + Rdz не за-
висел от пути интегрирования в поверхностно односвязной облас- ти D , необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выра- жение было полным дифференциалом
Pdx+Qdy+Rdz = du.
3.4. Формула Остроградского–Гаусса
Определение. Объемно односвязной областью называется об- ласть D, удовлетворяющая следующему свойству. Любая замкну- тая кусочно-гладкая не самопересекающаяся поверхность, распо- ложенная в D , является границей области целиком лежащей в D. Можно сказать, что объемно односвязная область характеризу-
ется отсутствием полостей внутри области.
Если в объемно односвязной области W задано поле V=(P,Q,R) c непрерывными частными производными по соответствующим переменным, то справедлива формула
|
|
∂ |
∂ |
∂ |
|
|
+ |
|
+ |
|
||
|
|
P + |
Q + |
R |
|
|
|
|
||||
∫∫∫ |
|
|
|
|
|
dxdydz = |
∫∫Pdydz |
|
Qdzdx |
|
Rdxdy . |
|
∂x |
∂y |
∂z |
|
|
||||||||
W |
|
|
∂W |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
65 |
|
|
|
|
|
Дивергенция векторного поля определяется по формуле
div V = ∂P + ∂Q + ∂R . ∂x ∂y ∂z
Тогда, используя векторные обозначения, формулу Остроград- ского–Гаусса можно записать в виде
∫∫∫ |
div V dW = ∫∫ (V,dS). |
W |
∂W |
Формула Остроградского–Гаусса будет верна и для областей, допускающих разбиение на конечное число областей указанного типа.
Пример 3.10. Вычислить интеграл
I = ∫∫(x − y + z)dydz + ( y − z + x)dzdx + (z − x + y)dxdy ,
Φ
Φ = {| x − y + z | + | y − z + x | + | z − x + y |= 1} .
Решение. Поверхность Φ показана на рис. 3.16.
Рис. 3.16
66
По формуле Остроградского–Гаусса I =3 ∫∫∫dxdydz . Сделаем
|
B |
u = x − y + z |
|
замену переменных v = y − z + x , в этом случае в новых коорди- |
|
w = z − x + y |
|
натах граница области ∂ |
будет определяться уравнением |
|u|+|v|+|w|=1. Якобиан отображения равен
1−1 1
|
D(u, v, w) |
= 1 |
1 |
|
−1 = 2 + 2 = 4. Для |
обратного отображения |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
D( x, y, z) |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
якобиан будет равен |
|
D(x, y, z) |
= |
1 |
, поэтому интеграл I будет ра- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(u, v, w) 4 |
|
|||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
вен |
3 |
∫∫∫dudvdw = |
2 |
|
2 2 |
=1. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4 |
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Пример 3.11. |
Доказать, что если Ф – замкнутая простая поло- |
|||||||||||||||||
жительно ориентированная поверхность, |
то ∫∫(a, dS )=0, где a – |
Φ
постоянное векторное поле.
Решение. Утверждение непосредственно следует из формулы Остроградского–Гаусса.
Пример 3.12. Объем области W равен µW = 1 ∫∫(r, dS ), где ∂W –
3 ∂W
положительно
следует из формулы Остроградского–Гаусса. ориентированная граница области W.
Решение. Утверждение непосредственно
Пример 3.13. Объем конуса, ограниченного гладкой конической поверхностью F(x,y,z)=0 и плоскостью с единичной нормалью m
67
равен µW = 1 hµΦ , где µΦ – площадь основания, h – высота кону- 3
са (рис. 3.17). Предполагается, что нормаль m к плоскости направлена в сторону вершины конуса.
Рис. 3.17
Решение. Поместим начало координат в вершину конуса. Боковую поверхность конуса, ориентированную внешней нормалью,
обозначим Ф1 , а основание, ориентированное нормалью − m , обозначим Ф2 . Тогда
3µW = ∫∫∫3dxdydz =∫∫∫div r dxdydz = |
∫∫(r, dS )= ∫∫(r, n)dS )+ |
||
W |
W |
∂W |
Φ1 |
|
+ ∫∫(r, n)dS . |
|
|
|
Φ2 |
|
|
Для |
боковой поверхности |
конуса скалярное произведение |
(r, n)= 0 |
и ∫∫(r, n)dS = 0 . Для |
поверхности основания конуса |
|
Φ1 |
|
(r, n)= (r,−m)= h , поэтому ∫∫(r, n)dS = h ∫∫dS = hµΦ . |
||
|
Φ2 |
Φ2 |
Пример 3.14. Вычислить ∫∫(V , dS ), где Ф – часть конической
Φ
68
поверхности x2+y2=z2 , 0≤ z ≤ a, ориентированной внешней нормалью, а поле V = (x2 , y2 , z 2 ) .
Решение. Дополним поверхность до замкнутой поверхности. Основание, ориентированное нужным образом, обозначим Ф0, тогда интеграл по замкнутой поверхности будет вычисляться по формуле Остроградского–Гаусса
∫∫(V , dS )= ∫∫∫div V dxdydz = 2∫∫∫(x + y + z) dxdydz =
Φ+Φ0 |
|
W |
|
|
W |
|
|
|
|
||
2π |
a |
h |
|
|
|
|
|
2π |
a |
h |
|
= 2 ∫dϕ∫dh∫r(r cos ϕ + r sin ϕ + h)dr = 2 ∫ dϕ∫dh∫rhdr = |
|||||||||||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
a |
h |
a |
π |
|
|
|
|||
|
|
= 4π∫hdh∫rdr = 2π∫h3dh = |
a4 . |
|
|||||||
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Интеграл по верхней части поверхности будет равен |
|
||||||||||
|
|
∫∫(V , dS )= ∫∫a2dxdy = a2µD = πa2 . |
|
||||||||
|
|
Φ0 |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
∫∫(V , dS )= |
π |
a4 − πa4 = − |
π |
a4 . |
|
|
||||
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
Φ |
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.5.Элементы теории поля
3.5.1.Основные определения
Для вектора будет использоваться обозначение a или a . Функция u(x,y,z) , заданная в области D, будет называться скалярным полем. В случае задания трех функций P, Q, R можно говорить о векторном поле V=(P,Q,R).
Градиент скалярного поля u определяется как векторное поле
|
∂u |
|
∂u |
|
∂u |
|
|
V = grad u = |
, |
, |
. |
||||
|
|
|
|||||
∂x |
∂y |
|
∂z |
|
69
Функция u называется потенциалом векторного поля, а само поле называется потенциальным. Связь между потенциалом и координатами векторного поля задается соотношением
du=Pdx+Qdy+Rdz .
Определение 1. Интеграл ∫ (V, ds) для замкнутой кривой С на-
C
зывается циркуляцией векторного поля по C. Замкнутая кривая называется контуром, а интеграл по контуру обозначается
∫ (V, ds) и представляет собой работу векторного поля вдоль
C
этого контура. Поле называется безвихревым, если его ротор ра- вен нулю.
Определение 2. Поле V называется соленоидальным, если для него существует векторное поле W, такое, что V = rot W. Такое
векторное поле W называется векторным потенциалом поля V .
Упомянутые ранее утверждения можно сформулировать в виде теоремы.
Теорема (условия потенциальности поля). Пусть в поверхност- но односвязной области D задано непрерывно дифференцируемое поле V=(P,Q,R). Тогда эквивалентны следующие три условия:
1) |
циркуляция векторного поля ∫ (V, ds) равна нулю |
|
C |
вдоль любого контура, лежащего в D;
2)поле V потенциальное, т. е. существует дважды непрерывно дифференцируемая функция, градиентом которой и являет-
ся данное поле. При этом ∫ (V, ds) = u(B) - u(A);
AB
3)поле V безвихревое.
3.5.2.Поток векторного поля
Будем считать, что V=(P,Q,R) – это поле скоростей (рассматривается стационарный поток жидкости). Векторной линией поля V
70